平面向量的方法技巧及易错题剖析

1、百度文库-让每个人平等地提升自我精编习题7平面向量的方法技巧及易错题剖析1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定；(2)两个向量的数量积称为内积，写成 a b ；今后要学到两个向量的外积ax b ,而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“x”代 替；(3)在实数中，若a 0,且a b=0,则b=0；但是在数量积中，若 a 0,且a b=0,不能推出b = 0。因为其中cos有可能为0;(4)已知实数 a、b、c(b 0),则 ab=bc a=c。但是 a b =

2、 b c牟 a c；如右图：a b = | a | b |cos = | b |O A| , b c = | b |c|cos =| b | |OA| a b =b c,但 a c ；>* -r r»it-* >(5)在实数中，有(a b)c = a (b c),但是(a b)c a (b c),显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与 a共线的向量，而一般 a与c不共线。2.平面向量数量积的运算律特别注意：r r rr r r(1)结合律不成乂 ： a b ca b c;,t 八 r r r r z, , r r(2)消去律不成立aba c不能彳#到b c ;r

3、rr r r r(3) a b =0不能彳导至i a = 0或b =0。3 .向量知识，向量观点在数学 .物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形 式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以 高考中应引起足够的重视 、数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；/4 .注重数学思想方法的教学/ .数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形 结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强 应用意识。,化归转化的思想方法

4、。/向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式a2 a2,沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。.分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 （一）平面向量常见方法技巧方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相

5、连，然后再运用向量加法结合律作和。例：化简下列各式： ABBC CA ； AB AC BD CD ； oA od ad ；NQ QP MN MP 。结果为零向量的序号为A、C）,则AP等于（方法二：强化运用向量加法法则例：已知四边形 ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点AB BC ,AAB AD ,0, 1B一 一AB BC ,CAB AD ,0, 1D答案：A方法三：数形结合思想例：已知向量 市、OP2、市满足条件 市 OP2,20,¥OP3 。，且 |OP1110P2110P3|=1,试判断PlP2 P3的形状。方法四：取特例例： ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高

6、的交点为H, 0H m 0A 0B 0c ,则实数答案：122方法五:%应用|a| a解题 22a 1a 1是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可 以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。例：已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60 ,那么1a 3b |等于（）A. 7B. 10C. 13D. 4方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题例1：已知向量a、b满足1a| 6, |b| 4,且a与b的夹角为60 ,求1a b% 1a 3b|。方法七：三角形形状的判断方法由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角青承后

7、再化简、判断已知平面上有互异的四点A、B、C、D,若DB DC 2DA AB AC 0,则 ABC的形状是A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形（二）易错题剖析/【易错题1】若向量a、b满足关系式1a b11a b|,则下列结论中正确的是（）A.以a、b为邻边的四边形是矩形B. a、b中至少有一个零向量或a bC. a、b中至少有一个是零向量D. a、b均为零向量 答案：B解题思路：(1)当a、b均为非零向量时，由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，a b与a b分别是以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线。|a'b11a b|表明这个平行四边形的两条对角线

8、的长相等，所以，以a、b为邻边的四边形为矩形时，a b;(2)当a、b中有零向量时，条件显然满足。综上所述，故选B。/错因分析：误区：错选 A /思考不严密，只注意到了向量 a、b均不为零向量的情形，事实上，当 a、b中有零向量时显然也满由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。【易错题2】“两个向量共线”是这两个向量方向相反的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B。丁/解题思路：两个向量 a与b共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方,向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反这两个向量共线；两个向量

9、共线不能得到这两个向量反向。故选B。错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量共线不能得到这、 两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选D。造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。【易错题3】设点A ( 1, 2), B ( n 1 , 3), C ( 2 , n 1), D ( 2, 2n 1 )。若向量AB与CD共线 且同向，则n的值为()A. 2B. 2C. 2D. 1答案：A解题思路：由已知条件得AB n, 1 , CD 4, n ,由AB与CD共线得n2 4 0 , n 2。当门2 时,、AB、(2, 1), CD=

10、(4, 2),则有 CD 2AB,满足 aB 与 cD 同向，当 n 2 时，AB 2, 1 , CD 4, 2 ,有CD 2AB,此时AB与CD反向，不符合题意。因此，符合条件的只有n 2。故选A。错因分析：误区：由已知可得AB n, 1 , CD 4, n ,因为AB与CD同向且共线，所以n2 4=0, n 2,因此错选Co出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一 / 个条件：方向相同。向量共线的充要条件中的正负决定两个向量是同向还是反向，0,同向； 0,反向。【易错题4】已知1 AB| 8, | AC | 5,则1 BC |的取值范围是()

11、A. 3, 8B. (3, 8)C. 3, 13D. (3, 13) /答案：C1r*-V- *解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出1ABi 8, |AC| 5, BC AC AB。(1)当 ABC存在，即A、B、C三点不共线时，3 |BC| 13 ; _ /(2)当AC与AB同向共线时，|BC3；当AC与AB反向共线时，|BC|13。/IBCI 3, 13,故选 Coz错因分析：误区：错选 Do错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B C共线时， ABC不存在。题目中两向量a、b是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形。【

12、易错题5】已知a 1, 3 , b 2, ，设a与b的夹角为 ，要使为锐角，求的取值范围。解题思路：由 为锐角，得解得| a| b |cos0,即1 223cos >0,且0,/0。若a平行于b,则所以 6。3 0。6，但若a平行于b,综上，失分警示:2日一且3误区：.6o为锐角，cos0。,与为锐角相矛盾,则由a b |a|b|cos知，只需a b0,本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是0,故a b23。，事实上，两向量的夹角0， ,0时，有cos 1 0,对于非零向量 a与b仍有ab 0 ,因此a b 0是两非零向量a与b的夹角 为锐角的必要不充分条件。 即有如下结论：

13、两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是 a b 0且a不平 行于bo【易错题6】已知点A （3,4）与点B （ 1,2）,点P在直线AB上，且1PAi 21PB|, 求点P的坐标。解题思路：设点 P的坐标为（x,y),所以，当点由于1PAiy此时有21PBiP为有向线段3 2(1)1 24 2 21 2AB的内分点时,13 ,2,0.，点P的坐标为1(3,0)。当点P为有向线段32x 14一 y T- 此时有1AB122 22综上所述，点P的坐标为（的外分点时,2,5,8.，点P的坐标为（5,8）。失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点 题必须分类讨论。【易错题7】 ABC中，已知AB AC

14、解题思路：ABAC |AB | |AC |BC AB |BC | AB | cos B. AB AC 0,BC AB 0, CBcosA 0, cosB 0 , cosC5 , 8）。P可能是AB的内分点，也可能是 AB的外分点，因此本0 BCcosA °,中AB 0 , CB CA 0 ,判断 ABC的形状。| BC | | AB | cosB , CB CA | CB | | CA | cosC oCA 0O0,，A、B、C均为锐角。， ABC为锐角三角形。失分警示：误区：: BC AB 0, |BC| 1AB | c0sB 0o ./ B为钝角， ABC为钝角三角形。上述错误在

15、于将BC与AB的夹角看成是 ABC的内角B,向量BC与AB的夹角应为2【易错题8】设二次函数y (a b)x2cx (a b),其中，a、b、c是 ABC的三边，且b a, b c,若二次函数与x轴有交点，试确定/ B的范围。解题思路：由题设 0,即22, 2a c bcosB 2ac 0又 b a, b c, b/60。b2 0由知,60失分警示:cosB误区：由题意得22. 2a c b 02ac 4c24 a2 b20此解法忽视了题设中所给条件 不小于60 。90ob c,事实上，b是三角形的最大边。/ B为三角形的最大角,解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。【易

16、错题9已知在四边形 ABCD中, 试确定四边形ABCD的形状。AB a, BCb CD c DAd 且 abbccdda解题思路：由已知易得 a b c又因为a b同理可得a2c d2,即 a2 b2,2, 2cd, .a bd 0 ,则(a 2ab c2 d22,2c d ,b) = cd,2cd。由可得d2 b2 c2。a2 c2 ,即 |a| |c| , b2d2 即 |b|d|, |AB| |DC|, |AD| |BC|, 四边形 ABCD为平行四边形，且 a c , b d ,又a综上所述，四边形 ABCD为矩形。失分警示：误区：由已知可得 a bab bc,0,又 a b b c

17、c d ab.2ad cd. a (bd)b2 d2 ,即1b| |d L四边形又a b b c ,y. b(a2c (bd),即1aHe|。同理 bcd a,ad,.22cd. . b (ac) d (ac),ABCD为平行四边形，. a c, b d,c) 0, b(a a) 0,即a b 0,a b。综上，四边形为矩形。上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不满足结合律，因此学习向量时一定要认真仔细研读教材,【模拟试题】'一.选择题：1.下列各量中不是向量的是(抛开思维定式的影响，避免误入思维误区。A.浮力B.风速2.下列说法中错误的是(A.零向量是没

18、有方向的 是任意)C.位移)D.密度B.零向量的长度是0 C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向3.设O是正BC的中心,A.有相同起点的向量则向量AO , OB ,B.平行向量OC 是()、/C.模相等的向量D.相等向量4.命题“若 a/ / b，b/ / c ,则 a/ / c ”百度文库-让每个人平等地提升自我12. (a b)11A.总成立B.当a 0时成立C.当b 0时成立D.当c 0时成立5 .已知正方形ABCD的边长为1, AB a，BC/b，则1a b|等于（）A. 0 B. 2 C. 2 d. 2 2 /'、6 .在平行四边形 ABCD中，BC DC BA等于（）A.

19、BC B. DA C. AB D. AC7 .下列等式中一定能成立的是（）A.ABAC BC/ B. ABAC BCC. AB AC CBD.AB AC CB8 .在平行四边形ABCD中，若|BC BA| |BC AB|,则四边形ABCD必是（）A.菱形 / B.矩形 C.正方形D.无法确定二.填空题：9 .已知向量a、 b满足a b b,且1b|1,则1a11a b | 10 .下列各命题的条件是结论的什么条件（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充 分也不充要必条件）11） a b 是 a / / b 的 （2） 1a| |b| 是 a/b 的（3）| a | | b |是

20、a b 的11 .如图，四边形 ABCD为正方形，CE为等腰直角三角形。（1）图中与AB共线的向量有 （2）图中与AB相等的向量有（3）图中与AB模相等的向量有 （4）图中EC与BD相等吗？ （5）图中AB与BA相等吗？ /12 . ABC 中，BCa，CA b，则 AB 等于/三.解答题：13 .如图，已知四边形ABCD是矩形，设点集M A，B，C，D,求集合 T PQ|P、Q M,且P、Q不重合。（用列举法表示）14 .化简 OP QP PS MP MS。15 .有一两岸平行的河流，水流速度为1,小船的速度为72,为使小船从一岸到达另一岸时所走的路程最短，小船应朝什么方向行驶？1. D/提

21、示：密度只有大小没有方向。2. A3. C /4. C提示：由于零向量与任何向量都平行，所以当两非零向量a、 c不平行而b 。时，有a / / b , b / / c ,但这时命题不成立。5. C握示.|a b| |AB BC| |AC| 226. A提示：DC BABC DC BA BC ( BA) BA BC 0 BC或者根据平行四边形 ABCD中，BC BA BD，而BD DC BCBC DC BA BC7. D8. B提示:|BCBA| |BD|, |BCAB|AC|BD |AC|'即平行四边形ABCD的对角线相等，故平行四边形ABCD为矩形。9. 1提示 a b b , a 0, a|a b|b|110. (1)充分不必要