[理学]第五章定积分ppt课件

1、第五章第五章 定积分定积分 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 微积分根本公式微积分根本公式 定积分的计算定积分的计算 反常积分反常积分 定积分的几何运用定积分的几何运用 第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义一、定积分引入两个实践问题一、定积分引入两个实践问题二、定积分的定义二、定积分的定义四、定积分的性质四、定积分的性质abxyo?S 曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出一、问题的提出)(xfy

2、 abxyoabxyo用小矩形面积近似取代小曲边梯形面积用小矩形面积近似取代小曲边梯形面积显然，小矩形越多，小矩形总面积越接显然，小矩形越多，小矩形总面积越接近曲边梯形面积近曲边梯形面积四个小矩形四个小矩形九个小矩形九个小矩形察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系曲边梯形如下图，曲边梯形如下图，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任

3、取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 ()iiiSfx 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx 1()niiiSfx 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为01lim()niixiSfx 时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(,max,21xxxxxn曲边梯形面积为曲边梯形面积为设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点0121nnaxxxxxb 把把 区区 间间,ba分分 成成n个个 小小 区区 间间 ，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1

4、 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作乘积作乘积iixf )( ), 2 , 1( i二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法，被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和留意：留意： badxxf)( badttf)( bad

5、uuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在存在定理存在定理区间区间,ba上可积上可积. ., 0)( xfbaSdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xfbaSdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1S2S3S4S123

6、4( )baf x dxSSSS 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义几何意义：几何意义：积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 五、小结五、小结定积分的本质：特殊和式的极限定积分的本质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限准确值准确值定积分定积分求近似以直不变代曲变求近似以直不变代曲变取极限取极限思索题思索题将和式极限：将和式极限：

7、nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分表示成定积分.思索题解答思索题解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边

8、梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割

9、加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关

10、系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第二节第二节 微积分根本公式微积分根本公式 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式、变速直线运动中位置函数与速度、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联络函数的联络二、

11、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数变速直线运动中位置函数与速度函数的联络变速直线运动中位置函数与速度函数的联络变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中 设设函函数数)(xf在在区区

12、间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点， xadxxf)(调查定积分调查定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限的函数或积分上限的函数或变上限的定积分变上限的定积分 如如 果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有

13、有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx )(x x,)( xxxdttf 由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x xlim( )( )xff x ,)( xxxdttf补充补充 ( )( )( )( )u xu xf v xvfx 证证 0( )( )0( )( )u xv xF xf t dt( )0( )u xf t dt ( )0( ) ,

14、v xf t dt ()( )( )vu xxdFxf t dtdx ( )( )( )(Fxu xv xvfxu xf 例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解1cos2xtdtextdtecos12)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：这是分析：这是 型不定式，运用洛必达法那么型不定式，运用洛必达法那么.例例 2 2 设设)(xf在在),( 内内连连续续，且且0)( xf.证证明明函函数数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 内内为为单单调调增增

15、加加函函数数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 0020( )( )( )( )( )( )xxxxf xf t dtf xtf t dtFxf t dt 020( )() ( )( ),( )xxf xxt f t dtFxf t dt )0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.例例 3 3 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，且且1)( xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只

16、有有一一个个解解.证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一个个解解.令令定理定理2 2原函数存在定理原函数存在定理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .定理的重要意义：定理的重要意义：1一定了延续函数的原函数是存在的一定了延续函数的原函数是存

17、在的.2初步提示了积分学中的定积分与原函数之初步提示了积分学中的定积分与原函数之间的联络间的联络.定理定理 3 3微积分根本公式微积分根本公式如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(Cdt

18、tfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分根本公式阐明：微积分根本公式阐明： baxF)( 留意留意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例4 4 求求 .) 1sincos2(20dxxx原式原式 202sincosxxx .23 例例5 5 设设 , , 求求 . . 214102)(xxxxf5)(20 dxxf解解解解212001( )( )( )f x dxf x dxf x dx xyo125|4|

19、42211022110 xxdxxdx例例6 6 求求 222max ,.x xdx 解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx01222201x dxxdxx dx 原原式式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时 ，x1的的 一一个个 原原函函 数数 是是|lnx,dxx 121 12ln |x . 2ln2ln1ln 例例 8 8 计计 算算 曲曲 线线xysin 在在,0 上上 与与x轴轴 所所 围围 成成 的的 平平 面面 图图 形形 的的 面面 积积 .解解 面积面积xyo 0sin xdxA

20、0cos x . 2 3.微积分根本公式微积分根本公式1.积分上限的函数积分上限的函数 xadttfx)()(2.积分上限的函数的导数积分上限的函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结四、小结利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分思索题思索题 设设)(xf在在,ba上延续，那么上延续，那么dttfxa )(与与duufbx )(是是x的函数还是的函数还是t与与 u的函数？它们的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？的导数存在吗？如存在等于什么？思索题解答思索题解答)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx dttfxa )(与与duu