非线性方程求根习题课

1、非线性方程的解法非线性方程的解法 内容复习内容复习 对分区间法对分区间法 简单迭代法简单迭代法迭代法的加速迭代法的加速 3 12 3 34Newton法与弦截法法与弦截法v二分法求根二分法求根-根据控制精度要求确定区间根据控制精度要求确定区间对分次数对分次数v简单迭代公式的构造方法简单迭代公式的构造方法 迭代格式的收敛性判断迭代格式的收敛性判断(压缩映射原理压缩映射原理) 迭代格式收敛阶的确定迭代格式收敛阶的确定v迭代法的加速过程迭代法的加速过程vNewton法及其变形法及其变形v弦截法弦截法典型例题v选择合适的的迭代法确定非线性方程的根选择合适的的迭代法确定非线性方程的根 二分法二分法根据精

2、度要求确定区间对分次数根据精度要求确定区间对分次数 简单迭代法的构造及其加速简单迭代法的构造及其加速323322101 3 1 61112131 411( ).,.( ),( )( ),( )f xxxxxxxxxxx 例例1 1：用用迭迭代代法法求求方方程程在在区区间间，内内的的一一个个实实根根 考考察察下下述述几几种种设设计计方方案案333311111211 3 1 6111112 0 252121 6 12 0 611 3 1 61( )( ),( )() . , . ,( ).()( .). . , . kkxxxxxxxxx 解解迭迭代代函函数数为为有有迭迭代代公公式式在在区区间间内

3、内发发散散3322121 3 1 6220 9211 3111 3111 61 3111 3 1 6 . , . ,( ).+( )+1.6.+ . , . kkxxxxxx 有有此此外外迭迭代代公公式式在在区区间间内内收收敛敛2121( )( )+,xx 迭代函数为233331211 3 1 6( )( ),( ) . , . ,xxxxxx 迭迭代代函函数数为为有有22333133 1 31 41212 1 6111 3 1 6.( ). . , . kkxxxxx 迭迭代代公公式式在在区区间间内内发发散散322232222331210311 3 1 6122 1 60 5613131 3

4、1( ),( )() . , . ,.( ).()( .)xxxxxxxxx (4)(4)迭迭代代函函数数为为有有33222311 3 1 61 31 39 1 311 611 531 611 3 1 6 . , . .( ). . , . kkxxxx 此此外外有有迭迭代代公公式式在在区区间间内内收收敛敛(4)(4)的的迭迭代代速速度度比比(2)(2)快快102220 1 20*, , ,kkxxxkx例：求迭代公式的值。，迭代初值22110012 22 2002122( ),( )()()xxxxxxxxxxx 因因此此迭迭代代函函数数为为 (x)=(x)=此此外外有有 (x)(x)因因此

5、此，此此迭迭代代函函数数收收敛敛，设设收收敛敛到到则则迭迭代代公公式式两两端端取取极极限限，有有解解得得不不符符合合题题意意舍舍去去 ，即即此此迭迭代代过过程程最最终终收收敛敛到到10101 21 2421 2 , , ln()ln , kxxkkkxxx例：用迭代方法求方程x=4-2 在内的实根 ，证明：迭代过程x=4-2 对于任意初值x均发散；迭代公式对于任意初值x均收敛110101 2,( ),( ), , xff x 证证明明：f(x)=x-4+2f(x)=x-4+2因因此此为为含含根根区区间间1221 222221( ) ( ),( )ln , ( )lnlnxxxxxxx 4-24

6、-201101 2411242111111 21424222241 22 , ,ln()( )( )lnln , ( )lnlnlnln() , lnkxkkkxxxxxxxxx 对对于于任任意意初初值值x x迭迭代代格格式式x=4-2x=4-2 均均发发散散（2 2）, ,因因此此迭迭代代公公式式对对于于任任意意初初值值x x均均收收敛敛v根据给定方程求根的迭代格式，判断迭代根据给定方程求根的迭代格式，判断迭代法是否收敛，如果收敛确定其收敛阶。法是否收敛，如果收敛确定其收敛阶。 根据定义判断迭代是否收敛根据定义判断迭代是否收敛 利用数列收敛判据确定迭代序列的极限是利用数列收敛判据确定迭代序列

7、的极限是否存在否存在v收敛阶的确定收敛阶的确定 利用函数利用函数Taylor展开式，根据迭代格式收敛阶的定展开式，根据迭代格式收敛阶的定义判断义判断 根据迭代格式收敛阶定理根据迭代格式收敛阶定理12121301222*.( )()( )lim()()()( )lim()()kkkkkkkkxf xNewtonxxfxxxfxxxfxxxfx 例例 设设为为的的单单根根，证证明明迭迭代代公公式式存存在在如如下下关关系系22211202222*()()= ()()()()+() ,!()()()-=-()()()()-()()-()-()(kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkf xxff x

8、f xfxxxxxxxfxf xfxxxxfxfxfx xxxfxx xfxxf 证明：将在进行Taylor展开介于和之间，两边除以，则即)kx两边取极限得证。122112(-)()limlim=-()()kkkkkkkkxxx xfxxxxxfx 两两边边取取极极限限，有有（21122112121211221-() ()=-()() ()()()()-, ()()()()(-)()-()()kkkkkkkkkkkkkkkkxxf xfxxxfxf xf xf xfxf xf xfxfxxfxfxxfx 证证明明：(2)(2)根根据据NewtonNewton迭迭代代法法（223130312 3

9、1122 3003( )(),()( )()()xxc xcxxxxc xxxccc 例例: :设设试试选选 使使迭迭代代收收敛敛。证证：由由局局部部收收敛敛性性原原理理知知，在在根根附附近近有有因因为为因因此此：2000*teffenson()()()()( )( ),( )( )( )()()( )( )( ) ( ),( )lim( )kkkkkxxf xf xf xfxf xf xxxf xf xf xxf xf xfxf xf xf xff xx f xxx 例例:S:S方方法法利利用用代代替替NewtonNewton法法的的迭迭代代函函数数为为由由已已知知条条件件是是的的单单根根，

10、即即，由由微微分分中中值值定定理理知知介介于于之之间间222221*( )( )( )( ) ( )( )( )()()lim( )lim( )()( )( )( )( )( )( )( )xxxxf xf xxxxff xff xf xxxxxxffxfx fx ffxxf xf xf x 上上式式两两端端取取极极限限，得得对对迭迭代代函函数数求求导导数数两两端端取取极极限限v确定给定迭代格式的系数，使其具有尽可能高的确定给定迭代格式的系数，使其具有尽可能高的收敛阶次收敛阶次2101234.kkkkaaaxxxx例例 设设计计的的迭迭代代公公式式使使其其收收敛敛的的阶阶尽尽可可能能的的高高2

11、0123aaxxx解解：迭迭代代函函数数为为 (x)=(x)=201224212353212aaxxaaxx(x)=(x)=(x)=(x)=0(),()()aaaa令令所所设设计计的的迭迭代代公公式式具具有有三三阶阶精精度度，即即满满足足012012120122133060331848331848,kkkkaaaxxxx 因因此此有有解解得得：因因此此所所设设计计的的迭迭代代公公式式为为人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维