宁波大学高数总复习2ppt课件

1、一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab1xix1ixxabyO解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变

2、常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOibaxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(1

3、. 定积分的定义 乘积和式的极限矩形公式 梯形公式近似计算抛物线法公式6. 若在若在 a , b 上上那么.0d)(xxfba,0)(xf推论推论1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf那么xxfbad)(xxgbad)(定积分性质定积分性质推论推论2.xxfbad)(xxfbad)()(ba 7. 设设, )(min, )(max,xfmxfMbaba那么)(d)()(abMxxfabmba)(ba 8. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba2) 其他变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattf

4、x)()(xxf)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 定理定理2.函数 , 那么一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题例例1. 求求.de1elim10 xxxxnn解解: 因为因为 1,0 x时,xxnxe1e0所以xxxxnde1e100 xxnd1011n利用夹逼准则得0de1el

5、im10 xxxxnn,nxnnnnnnnnnI1212sinsin1sinlim解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式nkknkn11sin知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin(2019考研) 11limnnn例例2. 求求例例4. 证明证明.e2dee222042xxx证证: 令令,e)(2xxxf那么xxxxf2e) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,e1)(421f2e)2(f,e1)(min42,0 xf22,0e)(maxxf故220

6、4e2dee22xxx二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法考虑考虑: 下列作法是否正确下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttttttcbcadcos99例例10. 选择一个常数选择一个常数 c , 使使0d)(cos)(99xcxcxba解解: 令令, cxt那么xcxcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使)(cbca即2bac可使原式为 0 .例例

7、16.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 . 0)( xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 )(2d)(22fxxfabba(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 baxxfaabfd)(2)(22(2019 考研) 证证: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因而 ),(, 0)()(baxafxf(2)

8、设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa, 0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2即 )(2d)(22fttfabba(3) 因 0)()(ff)()(aff在a, 上用拉格朗日中值定理),(),( )(aaf代入(2)中结论得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(221. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、 体积、弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2.

9、基本方法基本方法 : 元素法元素形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.转动惯量 .定积分的应用 第六章 例例1. 求抛物线求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyxO使它)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS故为最小值点, 因而所求切

10、线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x, 1 , 0)(33上的唯一极小值点在是因此xSx 11MBAyxO例例2. 设非负函数设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得xyO又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd

11、)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小值点, 因而5a时 V 取最小值 .1)(xf例例4. 证明曲边扇形证明曲边扇形),(0,0rr 绕极轴.dsin)(323rVox)(rr drd证证: 先求先求d,上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积.doxV体积元素rrddrsin2 roxVddsin2rrrd)(02dsin)(323r故dsin)(323rVox旋转而成的体积为rOxy224xxyOyx)d5(dxu 故所求旋转体体积为xxxd5)2(225157516xxxVd)2(552220uVdd2APxd2ud例例5. 求由求由xy2与24

12、xxy所围区域绕xy2旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为曲线与直线的交点坐标为),4,2(A曲线上任一点)4,(2xxxP到直线xy2的垂直距离为xx2251),(2如图为数轴以uxy u那么微分方程 第七章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 三个标准类型三个标准类型可分离变量方程可分离变量方程 齐次方程齐次方程 线性方程线性方程 齐次方程齐次方程形如形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程的方程叫做齐次方程

13、 .令令,xyu ,xuy 则代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分两边积分, 得得xxuuud)(d积分后再用积分后再用xy替代替代 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量: 一阶线性方程一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分逐次积分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd

14、 则),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 则高阶线性微分方程 线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.(叠加原理叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, )()(2211xyCxyCy数数) 是该方程的通解是该方程的通解.为任意常21,(CC那么那么线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结

15、构 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那那么么是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .定理定理 4.),2, 1()(mkxyk设分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1则)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. 定理

16、定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解, 则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常系数常系数 齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转

17、化转化),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根,ir若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项)

18、(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广: :)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 : :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为Yy *y非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法xmxPyqypye)(. 1

19、为特征方程的为特征方程的 k (=0, 1, 2) 重根重根,xmkxQxye)(*则设特解为则设特解为sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 为特征方程的为特征方程的 k (=0, 1 )重根重根, ixkxye*则设特解为则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.空间解析几何 第八章 一、内容小结一、内容小结 空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空间直线

20、与平面的方程空间直线与平面的方程),( :000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 为直线上一点; 面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系线面之间的相互关系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn ,1111111pzznyym