《微积分二》二元函数的极限与连续ppt课件

1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 8.3 二元函数的极限与连续1、二元函数的极限2、二元函数的连续性3、二元初等函数首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 二元函数的极限定义 极限),(lim),(),(00yxfyxyx存在 或00lim( , ).xxyyf x yA00,P xyA0( , ) ()f x yAPP当时或 设二元函数 z=f (x , y)在点 P0(x0 ,y0)的邻域内有定义（点P0可以除外），如果当点 P (x , y)无论以何种方式趋向于点P0(x0,y0)时，函数值 f (x , y)可以无限逼近常数A，则称A为函数f (x ,y) 在

2、PP0时的极限，记作首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（2）二元函数的极限也叫二重极限00( , )(,)lim( , );x yxyf x y说明：（1）定义中 的方式是任意的；0PP （4）如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的 值 则函数的极限不存在 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.则有

3、21kkk 值不同极限不同 !),(yxf故在 (0,0) 点极限不存在 .例1. 讨论函数首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 222200ln 1limxyxyx y222200limxyxyx y220011limxyyx 0ln 1lim1uuu等价无穷等价无穷小的替换小的替换222200sin()limxyxyxy 220sinlim1.u xyuuu令解： 原式=例2. 求二重极限例3. 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 练习：020000sin()31.lim2. lim(1)243.lim4.limxyxxyyxxyyxyxxyxyxyxyxy首页上

4、一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定义84(二元函数在某点的连续性) 设函数f(x, y)满足条件 (1)在点(x0, y0)的某邻域内有定义 (2)极限),(lim),(),(00yxfyxyx存在 (3) ,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 则称函数f(x, y)在点(x0, y0)处连续 否则称点(x0, y0)是函数f(x, y)的间断点 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 直观上来看，若函数在区域 D 上连续，则其对应的空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个连续曲面。 如果函数f(x, y)在平面区域D内每一点都连续 则称函数f(x, y)在区

5、域D内连续 连续函数222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy例如在（0,0）处间断首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 直观上来看，若函数在区域 D 上连续，则其对应的空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个连续曲面。 如果函数f(x, y)在平面区域D内每一点都连续 则称函数f(x, y)在区域D内连续 连续函数二元连续函数与一元连续函数有类似的性质：1、二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数.2、二元连续函数经过复合运算后仍为二元连续函数.首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 有界闭区域上二元连续函数的性质（有界性与最大、最小值定理）（介值定理）若函

6、数 在有界闭区域D上连续，则 在D上有界，且能取得最大值和最小值.( , )f x y( , )f x y若函数 在有界闭区域D上连续， 为D中任意两点，且 则对任何满足不等式 ( , )f x y12,P P12()(),f Pf P12()(),f Pf P的实数 ，必存在点 ，使得0PD0().f P首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 举例 2223lim()xyxy由变量x,y的基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的函数叫二元初等函数.二元初等函数：二元初等函数在其定义区域上都是连续的. 函数f(x, y)3xy在定义区域 内连续，故在点(1, 2)处的极限值等于这点的函数值f(1, 2)5 2R例4. 求二重极限13首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例5. 讨论函数 22221()sin( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xyx yxyf x yx y的连续性.解 当 时，函数为初等函数，故连续.( , )(0,0)x y 当 时( , )(0,0)x y