工程力学静力学与材料力学弯曲刚PPT课件

1、返回总目录第1页/共114页返回总目录第2页/共114页第3页/共114页第4页/共114页返回总目录第5页/共114页返回第6页/共114页第7页/共114页 在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线挠度曲线（deflection curve）。 第8页/共114页 根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系： EIM1第9页/共114页横截面形心处的铅垂位移，称为挠度挠度（deflection），用w表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转

2、过的角度，称为转角（slope），用 表示；第10页/共114页横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移轴向位移或水平位移水平位移（horizontal displacement），用u表示。 在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。 第11页/共114页 在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系： 在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即 很小，因而上式中tan。于是有tanddxwxwddw w（x），称为挠度方程（deflection equation）。 第12页/共114页第13页/共114页 机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两

3、齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。 此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。 第14页/共114页第15页/共114页返回第16页/共114页第17页/共114页第18页/共114页第19页/共114页第20页/共114页EIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw,第21页/共114页 采用向下的w坐标系，有EIMxw22dd第22页/共114页第23页/共114页第24页/共114页

4、第25页/共114页梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。 左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q ，梁的弯曲刚度为EI 、长度为l。q、EI 、l均已知。第26页/共114页 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。 第27页/共114页 从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程： 21( )02M xq lxxl x第28页/共114页21( )02M xq lxxl 将上述弯矩方程代入小挠度微分方程

5、，得 212EIwMq lx 第29页/共114页积分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD第30页/共114页固定端处的约束条件为： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCqlD 第31页/共114页316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI第32页/共114页336qlxlEI 434424qwlxl xlEI 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。 于是，将

6、 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEI第33页/共114页加力点B的挠度和支承A、C处的转角。简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。第34页/共114页 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。 首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。 在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。第35页/共114页 于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为 1P3

7、044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl第36页/共114页 211P2d30d44wlEIMxF xxx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx第37页/共114页积分后，得 211P2d30d44wlEIMxF xxx 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连

8、续条件确定。 第38页/共114页12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw 在支座A、C两处挠度应为零，即x0， w10; xl， w20 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2第39页/共114页12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ;

9、xl/4，1=2D1D2 =02P211287lFCC第40页/共114页 将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEI第41页/共114页 确定约束力, ,判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度 与转

10、角 分段写出弯矩方程第42页/共114页返回第43页/共114页第44页/共114页第45页/共114页第46页/共114页第47页/共114页简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。C截面的挠度wC ；B截面的转角 B。第48页/共114页321CCCCwwww1. .将梁上的载荷变为三种简单的情形。123BBBB第49页/共114页2. .由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB33323131161241第50页/共114页3. 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加 将上

11、述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角: : ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811第51页/共114页第52页/共114页第53页/共114页悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。C截面的挠度wC和转角 C。第54页/共114页1. . 首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形 为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。 第55页/共114页 分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于

12、承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为 再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角 第56页/共114页两种情形下自由端的挠度和转角分别为再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI EIqlEIqlCC323148161,第57页/共114页将简单载荷作用的结果叠加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487第58页/共114页返回第59页/共114页第60页/共114页第61页/共114页第62页/共

13、114页第63页/共114页 max第64页/共114页钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角 =0.5。根据刚度要求确定该轴的直径d。 B第65页/共114页根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。BEIlaFB3P由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为 第66页/共114页由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为 BEIlaFB3P B根据设计要求，有 第67页/共114页B根据设计要求，有 B其中， 的单位为rad（弧度），

14、而 的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径 111mmm10111m100.52063101802120643-493d第68页/共114页返回第69页/共114页第70页/共114页第71页/共114页第72页/共114页第73页/共114页第74页/共114页第75页/共114页第76页/共114页3-3=04-3=1lMA ABFAyFAxql ABMAFAyFAxFB第77页/共114页532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFBy第78页/共114页FBxBl AMAFAyFAxFBy第79页/共114页Bl

15、AMAFAyFBy第80页/共114页MBBl AMAFAyFAxFBxFBy第81页/共114页MBBl AMA第82页/共114页MBBl AMA第83页/共114页B Al第84页/共114页FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMAFAyFAxFB第85页/共114页wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFB第86页/共114页FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4

16、/8EIwB(FBy)= - - Fbyl 3 /3EIBl AMAFAyFAxFB第87页/共114页返回第88页/共114页第89页/共114页第90页/共114页二梁的受力( (包括载荷与约束力) )是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？ 正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相互关系。第91页/共114页FPABC 第92页/共114页第93页/共114页第94页/共114页 试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状第95页/共114页第96页/共114页第97页/共114页第98页/共114页 试根据连续光滑性质以及约束条件，画

17、出梁的挠度曲线的大致形状第99页/共114页第100页/共114页第101页/共114页Bl AMBFByMAFAyBl AMAFAyMBFBy第102页/共114页Bl Al ABMBFByMAFAyMBMAFByFAy第103页/共114页FQc=0=0 c=0FQC FQC MCMCl/2 AqCBl/2qCBl Aq第104页/共114页第105页/共114页FPABCDFPABD第106页/共114页ABCDABD第107页/共114页ABDT CABCDT C第108页/共114页第109页/共114页 提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。而弹性位提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性

18、位移。而弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度（移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度（EI）有）有关。关。 对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的情形，挠度与梁长的三次方成比例；转角则与梁力作用的情形，挠度与梁长的三次方成比例；转角则与梁长的二次方成比例。长的二次方成比例。 因此因此, ,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩惯性矩I 外，主要是减小梁的长度外，主要是减小梁的长度l。当梁的长度无法减小。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。时，则可增加中间支座。第110页/共114页 因此因此, ,