品质统计原理——描样方法与描样分布

1、授课目录第1章导论第2章统计资料的整理与描述第3章机率导论第4章常用的机率分布与统计分布第5章描样方法与描样分布第6章统计估计第7章统计检定第8章变异数分析第9章相关分析与回归模式第 10章 无母数统计检定第 11章 类别资料分析 - 列联表与卡方检定第五章 抽样方法与抽样分布 从被研究的母体中， 随机抽取具有代表性的样本来进行分 析，即是抽样调查 。从人力、财力或时间的观点来看，抽样 调查是比普查有效率。抽样方法抽样调查的方法很多， 若考虑人力、 财力、 时间或母体性 质等因素， 可分为： (1) 简单随机抽样、 (2) 分层抽样、 (3) 群落抽样、 (4) 系统抽样 。(1) 简单随机抽

2、样 (Simple Random Sampling) 系指母体中的任一元素被选中的机率均相同的抽样方 法。 常以抽签方式或乱数表进行 。由简单随机抽样法所 得的样本称之 简单随机样本 ， 简称随机样本 。此法可分 为 抽 出 放 回 ( 每 次 为 1/N) 或 抽 出 不 放 回 1/N ， 1/(N-1) ， 1/(N-n-1) 的抽样方式。（6u!|diues pai印snQ）封瞬蟄醴（£）（u）李封（N）»ux %(”+q+e) -LNX %(”+q+e) -L-u>%q6ui|dujesN>%q乙u>%euuopueyN>%eL（6u!|d

3、iues P!代1S）的旨岳（乙）(4) 系统抽样 (Systematic Sampling)系将母体的元素 排列序後 ，每隔一定时间选取一样本，直到选满为止。 间隔可以时间或空间为单位 。抽样分布样本比例 p? 的抽样分布母体的比例 p 未知，须以抽样方法来估计。通常从母体抽 取 n 个样本，观察其中具有 某种属性的个数为 x，并以 p?= x/n 表示 样本比例 。 p?为 p 的估计值，即估计母体中具有某种属 性的比例 p。根据二项分布，执行 n 次试验中，若每次成功发生的机 率为 p，则随机变数 X的期望值与变异数分别为 Ex = n p，Varx = np(1- p) 。因此可得样本

4、比例 p?的期望值与变异数： E p? =Ex/n =Ex/n= (np)/n = pVar p? =Vx/n =Vx/ n2 = np(1- p)/ n2= p(1- p)/n依中央极限定理， 当 n 很大时， p?之抽样分布近似常态分 布，即p?N(p, p(1- p)/n)当样本数 n 愈大， p?的变异数愈趋近於零，表示样本比例p?会因样本愈大而愈接近母体比例p。将 p?转为标准常态分布，即Z = ( p?- p)/ p(1- p)/n 1/2 N(0, 1)范例、致远管理学院学生有 10%的比例有体重过重的现象， 兹随机抽取 400 位该校学生，试问 体重过重的比例 之期 望值与变异

5、数 又体重过重比例大於 12%之机率SOL： (a) E p? = p =Var p? = p(1- p)/n = *400 =(b) P( p?> =P(p?/ 1/2 > / 1/2 )= P(Z > =公式、查表、 Excel范例、致远管理学院学生之统计学检定，正常下PASS之机率 80%，兹 200 位该校学生进行该课程检定，试问 PASS 的比例 (a) 介於 之机率 (b) 大於之机率SOL： (a) E p? = p =Var p? = p(1- p)/n = *200 =P < p? < = P < Z<=(b) P( p?> ?

6、 P(Z > ? 0公式、查表、 Excel样本平均值 x 的抽样分布利用样本平均值 x 来推论母体的的平均值 m，藉此了解母 体集中趋势。依中央极限定理，从任何以期望值m，变异数s2的母体中，随机抽出 n 个样本 x 1, x 2, ,x n( 当 n 很大)， 则样本平均值 x将趋近母体的期望值为 m、变异数为 s2/n ，即为标准常态分布( x -m)/s 2/n 1/2= Zn ?N(0, 1)即样本平均值 x N(m, s 2/n) 。两样本平均值 x1 x2 的抽样分布 通常是应用在不同母体间某性质差异之比较 ，如工管 系两班学生统计学成绩的差异。由两样本平均值 x1 x2

7、的抽 样分布，去衡量推论母体平均值差m1 - m 2 的状况。两母体分别为 (m1, s 21) 、 (m2, s 22) ，且两者的分布并不一 定是常态 。倘各自从中取出两组样本，因此两组样本互为独 22立，且 x1?N(m1 , s 1/n 1) ， x2 ?N(m2 , s 2/n2)，故22x1- x 2 ?N(m1 - m2, (s 1/n 1)+( s 2/n 2)范例、某工厂有 2条独立的生产线，平均每天产 500 匹布， 即 m1 = m2= 500, s1= 9, s 2= 12 ，假设第 1 条生产线生产 81 天，第 2条生产线生产 36 天，求每天平均生产量 x1， x

8、 2之差小於 1 匹的机率2SOL： (s 21/n 1)= 81/81=1 ，x1?N(500, 1)2( s 22/n 2)=144/36 = 4x 2 ?N(500, 4)22x1- x 2 ?N(m1 - m2, (s 21/n 1)+( s 22/n2) = N(0, 5)P(| x1 x2 |<1) = P(-1< x1 x2<1)= P(1<x1 x2 < 1 )555/ =normsdist-normsdist/范例、 A 公司债券 x1 每日殖利率之平均值为，标准差为， B 公司债券 x2每日殖利率之平均值为，标准差为。倘A 与B 公司债券彼此独

9、立， 兹取 49 天殖利率为样本， 则求 (a) 样本平均值差之期望值 (b) 样本平均值差之变异数 (c)样本平均值差小於的机率SOL：x1?N, 49) ， x2?N, 49)22x1- x 2 ?N(m1-m2, (s 1/n 1)+( s 2/n 2)=N, 49+ 49)(a) E x1- x2= E x1-E x2 =(b) Var x1- x2= Var x 1 +Var x2= 49+ 49=(c)P(x1-x2<=P(x10.x002)2650.1<00.2.0002.615)=P(Z< =/ = normsdist/t 分布的应用 (s 未知时使用 )在介

10、绍样本平均值 x 的抽样分布时， 得知随机样本来自期 望值 m，变异数 s2的母体时，则样本平均值 x N(m , s 2/n)倘母体的变异数 s2 为未知，则s2/n 之值无法求得。此时，若母体是来自常态分布时，可用t 分布 。t 分布考虑母体是常态分布，但母体变异数s2 未知时，以样本变异数 S2 取代之 。t =x = t n-1t = = t n-1 S2 /n范例、某宝石公司卖出蓝宝石之平均价为万元/ 克拉，变异数未知之常态母体， 上周卖出 25 克拉蓝宝石中， 其价格 标准差为万元 / 克拉。求上周卖出 25 克拉蓝宝石中之平均价大於 9万元 /克拉的机率SOL：S2 /n = t

11、n-1，x 8.5= t 241.9/5P( x>9) = P( x 8.5 > 9 8.5)= P(t 24 > =1.9/5 1.9/5/ = tdist, 24, 1)/样本变异数 S2 的抽样分布利用样本变异数 S2 来推论母体的的变异数 s2，藉此了解 母体离散程度。产品品质变异数愈小愈好，以减少不合格 率，降低成品，增加利润。.1 卡方分布的应用：样本变异数 S2 的抽样分布假设 x 1, x 2, ,x n 是一个来自 N(m, s 2) 分配的随机样 本。则其平方和除以 s2 後就依循卡方分配。SS/s 2= ? ni =1 (x i- x ) 2/s 2=

12、c2n-1另S2=? ni =1 (x i- x ) 2/(n-1) = SS/(n-1)c2n-1 = (n-1) S 2 /s 2= ? ni =1 (x i- x ) 2/s 2S2 的分布为 s 2/(n-1)c 2n-1 。故样本变异数的抽样分布为 一个常数乘以卡方分布。另卡方分布的性质：Ex c 2n-1 = n-1T Ex c2n-1= E(n-1) S2/s 2 = (n-1) /s 2ES2 = n-1T ES2 = s 2Varx c 2n-1 = 2(n-1)T Varx c 2n-1 = Var(n-1) S2/s 2= (n-1) 2/s 4 VarS 2=2(n-1

13、)T VarS 2 = 2s 4/(n-1)范例、某公司生产机车引擎，品管部门以引擎轴长的变异数 来判断生产过程是否一致性。假设每个引擎轴长的变异 数为，整批产品的变异数超过，表示此批产品不佳，须 重新调整生产过程。 兹抽样 10 个引擎， 试问须重新调整 生产过程的机率SOL：2 2 2 2P(S2 > =P(n-1)S 2/s 2 >9/= P(c 29> =/=chidist,9)/F 分布的应用：两样本变异数比 S12/S 22的抽样分布比较两母体的的变异数是否相等时 ，可利用样本变异数比S12/S 22 来判定。如比较两超商连锁店营业额之变异、比较两基金操作获利之变

14、异等，以观察两者间之稳定情形。 S12/S 22?1，显示两母体的的变异数 s12, s 22相当接近。假设分别来自二个不同母体的随机样本， 各取样本 n1, n2 其各别样本变异数为 S12 与 S22则(S12/s 12)/S 22/s 22)= Fn1 1,n2 1利用 F 的抽样分配，可求得样本变异数比S12/S 22 的抽样分配。其中样本变异数比 S12/S 22会因样本愈大而愈接近母体 变异数比 s12 /s 22。投资风险的大小，一般由短期投资的可能结果而定。最 常用以衡量短期投资之方法即计算可能结果的变异数 。范例、假设有 A、B 两种投资组合，其平均报酬率为 20%，但SOL

15、：A 投资组合 10 年来获利的变异数为， B 投资组合 8 年来 获利的变异数为， 倘两种投资组合的母体变异数均相等， s12 /s 22，试问 A、B 两种投资组合变异数比大於的机P(S12/S 22> =P(S 12/s 12)/S 22/s 22>=P( Fn11,n2 1>= P(F9, 7 > =/= fdist, 9, 7) /习题1. 从一个常态母体 N(30,400) 中抽出 100样本， 令 x100为样本平均值， 则(a) x100会服从 何者分布 - N(30, 2 2=400/100) ，期望值与变异数为何 (b) P( x100< 32

16、) =。2. 从一个 p = 的白努利试验中抽出 100 样本，组成样本比例 p?。则 (a) p?会近似何种分 布- N, 100) 期望值与变异数为何 (b) P( p?< = 。3. 致远夜市 55%的顾客是女性，从中随机抽取 200 位顾客，且 p? 为这 200 位顾客中女性所 占的比例，则 (a) p?之抽样分布 - N, (b) P( p?> =。4. 某公司生产汽车轮轴，而轮轴的直径呈 N(30, ，单位为 cm。兹要生产 4 个汽车轮轴，并由此 4个样本组成样本平均值 x 。则(a) x会服从何者分布 - N(30, 。 (b) P( x< = 。5. 有两

17、相互独立的常态母体 N(57,12 2 ) 、 N(25,6 2 )中分别抽出 36 个样本，试问 (a) x1 x 2会服从何者分布 - N(32, 5) 。 (b) P( x1 x2> 35) = 。6. 致远管理学院入学考试英文成绩平均值为68分、变异数 25；数学成绩平均值为 54 分、变异数 30，又二科成绩相互独立。兹由所有参加者中，抽取50 位，令 x1 表示英文成绩样本平均值； x 2表示数学成绩样本平均值。试问 (a) x1 x2 会服从何者分布 -N(14, 。(b) P( x1 x2> 16) = 。7. 设 X1, X 2, ,X n为抽取自常态分布 N(m

18、, s 2)的一组随机样本， S为样本标准差。试写出以 下各 个 统计量所 服从的抽样分 布(A) X = N(m, s2/n) (B) X = N(0,1) /n(C) (n 12)S = c2n-1 (D) X = t n-1 。 2 S/ n8. 某养鸡场中， 成鸡重量为平均体重 2 公斤，变异数 s2未知之常态分布。 目前欲批发 1000 只成鸡，但是不知其平均体重为多少。於是从中抽出26 只鸡来称重 ( 抽出放回 )，假设2其样本平均数 X 26 2.2公斤，样本变异数 S2=。试问 x 26大於公斤之机率是多少 =。9. 某学生在致远夜市打工，卖新潮牛仔裤，他决定以新潮牛仔裤卖出价格的变异数来判定 开价是否合理。假定每条新潮牛仔裤的卖出价格变异数为100。若整批新潮牛仔裤卖出价格变异数超过 180，即表示此批新潮牛仔裤开价不合理，需要重新调整开价。从昨天 新潮牛仔裤卖出价格中随机挑取 17 次交易，试求重新调整开价之机率P(S2>200)=2 2 2P(n-1)S 2/s 2>16*180/100) =P(c 29>=。2210. 有两个互相独立的常态母体N(m1, s 12) 、 N(m2, s 22) ，若由这两个母体各自抽出n1，n2个样本，令其样本变异数分别为S12、S22。试写出统计量 (S 12/s