向量值函数在定向曲线上的积分ppt课件

1、第三节第三节 向量值函数在定向曲线上的积分向量值函数在定向曲线上的积分( (第二类曲线积分第二类曲线积分) )二、问题的提出二、问题的提出四、第二类曲线积分的计算四、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的概念三、第二类曲线积分的概念一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量1、 带有确定走向的曲线称为定向曲线带有确定走向的曲线称为定向曲线AB 用用 表示起点为表示起点为 A , 终点为终点为 B 的定向的定向曲线曲线(弧弧).的的反反向向曲曲线线记记为为定定向向曲曲线线 .代代表表两两条条不不同同的的曲曲线线与与曲曲线线 的参数方程写作：的参数方

2、程写作：定向曲线定向曲线AB ,:, )(, )(, )(battzztyytxx .,btBatA 对对应应终终点点对对应应其其中中起起点点表表示示：的的参参数数方方程程也也可可用用向向量量定定向向曲曲线线AB ,:,)()()()(batktzjtyitxtrr .)(的的点点的的向向径径上上对对应应参参数数表表示示其其中中ttr 2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致与曲线的走向相一致 .切向量为：切向量为：在其上任一点处的在其上任一点处的曲线曲线由参数方程给出的定向由参数方程给出的定向 )(, )(, )(tztytx .,

3、取取负负号号时时当当取取正正号号时时其其中中当当 baba一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 挪动到点 B, 求移cosABFW “(分割)大化小 “(近似)常代变“(求和)近似和 “取极限变力沿直线所作的功处理方法:动过程中变力所作的功W.ABF ABFABLxyO( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j1kMkMABxy1) “(分割)大化小.2) “(近似)常代变L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1

4、),(kkyx近似替代, ),(kk那么有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1那么用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykxO3) “(求和)近似和4) “取极限nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO2. 定义定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧弧,假设对 L 的恣意分割和在部分弧段上恣意取点, 都存在,在定向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分,LyyxQxy

5、xPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim那么称此极限为向量值函数或第二类曲线积分.在L 上定义了一个向量函数极限记作记作),(yxF( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y jLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ称为对称为对 坐标坐标x 的曲线积的曲线积分分;称为对坐标称为对坐标 y 的曲线积分的曲线积分. LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(,称为定向积分曲线称为定向积分曲线L.d),(d),(称为积分表达式称为积分表达式yyxQxyxP ,d称为定向弧元素称

6、为定向弧元素ryx d,d.,的投影元素的投影元素称为定向弧称为定向弧的坐标的坐标为为Lrd假设记, 对坐标的曲线积分也可写作rd)d,d(yx LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(oxyABL二、问题的提出二、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力变力 F F 沿曲线沿曲线 L L 所作的功所作的功,:BAL平面光滑曲线弧平面光滑曲线弧 jyxQiyxPyxF),(),(),(力力常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1 jyixMMiiii . ABFW,),(),(),(

7、jQiPFiiiiii 取取,),(1 iiiiiMMFW ,),(),(iiiiiiseFW 即即oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy ,d),(),( LsyxeyxF ,coscos),( jiyxe 若若记记,dcos),(cos),( LsyxQyxPW 则则,),(),(1 niiiiiiseFW ,),(),(lim10 niiiiiiseFW 三、第二类曲线积分的概念三、第二类曲线积分的概念,),(dcos),(cos),(,dcos),(dcos),(,),(coscos),(,),(),(),(,上上的的积积分分在在定定向向曲曲线线弧弧为为向向量

8、量值值函函数数则则称称积积分分同同时时存存在在与与若若积积分分处处的的单单位位切切向向量量上上点点是是定定向向弧弧有有界界上上在在向向量量值值函函数数线线弧弧面面上上一一条条光光滑滑的的定定向向曲曲为为设设LyxFsyxQyxPsyxQsyxPyxLjiyxeLjyxQiyxPyxFxoyLLLL 1.定义定义记为：记为： LryxFd),(即：即： LsyxeyxFd),(),( LsyxQyxPdcos),(cos),( LryxFd),( , )d( , )cosd ,( , )d( , )cosd ,LLLLP x yxP x ysQ x yyQ x ys若记那么：那么： LryxFd

9、),( LyyxQxyxPd),(d),( LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(rdsyxed),( )dcos,d(cosss )d,d(yx ,d称为定向弧元素称为定向弧元素ryx d,d.,的投影元素的投影元素称为定向弧称为定向弧的坐标的坐标为为Lrd.d),(d),(分分也也称称为为对对坐坐标标的的曲曲线线积积 LyyxQxyxP,称为定向积分曲线称为定向积分曲线L.d),(d),(称为积分表达式称为积分表达式yyxQxyxP 3. 第二类曲线积分存在的充分条件：第二类曲线积分存在的充分条件：4.4.第二类曲线积分的性质第二类曲线积分的性质1) 第二类曲线积分具有线性

10、性质第二类曲线积分具有线性性质.d),(,)(),(必必存存在在第第二二类类曲曲线线积积分分连连续续时时上上的的曲曲线线弧弧或或分分段段光光滑滑在在光光滑滑当当 LryxFLyxF LLLyQxPyQxPyQxPyQxPdddd)dd()dd(22112211 2) 对于定向积分曲线弧的可加性对于定向积分曲线弧的可加性.d),(d),(d),(d),(d),(d),(,2121 LLLyyxQxyxPyyxQxyxPyyxQxyxPLLL则则则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)3LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的

11、方向有关. LLyyxQxyxPyyxQxyxPd),(d),(d),(d),(二、第二类曲线积分的计算二、第二类曲线积分的计算,d),(d),(,0)()(,)(),(,),(, ),(:, )(, )(22存存在在则则第第二二类类曲曲线线积积分分且且一一阶阶连连续续导导数数为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有及及以以在在上上有有定定义义且且连连续续在在的的参参数数方方程程为为平平面面光光滑滑定定向向曲曲线线弧弧 LyyxQxyxPtytxbatytxLyxQyxPbattyytxxL定理定理ttytytxQtxtytxPyyxQxyxPbaLd)()(),()()(),(d),(d),

12、( 且且根本思绪根本思绪:计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分特殊情形特殊情形.:)(:)1(baxxyyL .d)()(,)(,ddxxyxyxQxyxPyQxPbaL 则则.:)(:)2(dcyyxxL .d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 则则例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的的一一段段弧弧到到上上从从为为抛抛物物线线其其中中计计算算BAxyLxxyL 解一：解一：)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的的定定积积分分化化为为对对 y,2yx ABLxxyxxydd 1122d)(yyyy. 11到到从从 y 114d2yy.54 例例1.

13、)1 , 1()1, 1(,d2的的一一段段弧弧到到上上从从为为抛抛物物线线其其中中计计算算BAxyLxxyL 解二：解二：)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的定积分的定积分化为对化为对 xxy xy OBAOL 01:,: xxyAO10:,: xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxxxd10 阐明：阐明：2) 第二类曲线积分也是化为定积分进展计算，第二类曲线积分也是化为定积分进展计算，但此时定积分的上、下限要根据标题中给定但此时定积分的上、下限要根据标题中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不

14、一定小于上限一定小于上限 .3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性曲线的定向问题，要慎用对称性. 普通地，普通地，在曲线积分化为定积分后再对定积分思索能在曲线积分化为定积分后再对定积分思索能否用对称性简化计算否用对称性简化计算 .,),(, ),()1方方程程代代入入要要用用曲曲线线上上定定义义在在yxLyxQyxP.)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLxyL

15、 例例2yBAoaax解解: (1) L: (1) L的参数方程为的参数方程为,0:,sin,cos ttaytaxxyLd2 0ttad)sin( 334a 那那么么ta22sinyBAoaax(2) L 的方程为的方程为,:, 0aaxy xyLd2 aaxd0.0 那那么么被积函数一样，起点和终点也一样，但途径不被积函数一样，起点和终点也一样，但途径不同积分结果不同同积分结果不同.)0 ,()0 ,()2(的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点aBxaA 解解例例22222,.1.(Fx y ixyjLLxxy设有一平面力场一质点在场力作用沿曲线运动 求场力所做的功为直线与抛物线所围区

16、域的边界 按逆时针方向绕行）概念与性质可以推行到空间曲线概念与性质可以推行到空间曲线, 空间有向曲线弧空间有向曲线弧 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),( rzyxFd),(.d),(d),(d),( zzyxRyzyxQxzyxP概念与性质可以推行到空间曲线概念与性质可以推行到空间曲线, 空间有向曲线弧空间有向曲线弧 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),(,),(),(处处的的单单位位切切向向量量上上点点是是zyxzyxe rzyxFd),( szyxezyxFd),(),(.d),(d),(d),( zzyxRyzyxQxzyxP sRQP

17、d)coscoscos(,),( 处处的的切切向向量量的的方方向向角角为为上上点点zyx:计算方法计算方法 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(.:,)()()(:battzztyytxx ttztztytxRtytztytxQtxtztytxPbad)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例422223()d2dd ,:, :01.yzxyz yxzxt ytzt t计算其中为的一段弧解解 ttttttttd322)(10223264 原原式式tttd)23(1046 .3515273 例例5)(.)0(:,ddd222222222取取逆逆时时针针方

18、方向向的的交交线线与与为为其其中中计计算算axyxzazyxzxyzxy 解解: : 曲线曲线 的参数方程为的参数方程为,sin2,cos22taytaax , )20:(2sin ttaztttattatad2cos)cos1(8cos)cos1(4sin82023333 原式原式tttttad2cos4cos2cos2sin8205233 .43a 例例6., 2, 1:,d)(d)(d)(22为顺时针方向为顺时针方向轴正向看轴正向看从从其中其中计算计算CzzyxyxCzyxyzxxyzC ozyxC解解: : 曲线曲线 C C 的参数方程为的参数方程为,sin,costytx )02:(

19、sincos2 tttz 02 原式原式tttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos )sin)(cos2(tt .2 20d)12cos2cos2sin2(tttt例例7.d)2(d)1(,)0(sin)0 ,()0 , 0(3的值最小的值最小的积分的积分到到从从使该曲线使该曲线求一条曲线求一条曲线中中的曲线族的曲线族和和在过点在过点 LyyxxyAOLaxayAO 三、两类曲线积分之间的联络：三、两类曲线积分之间的联络：,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 的方向角为的方向角为处的切向量处的切向量上点上点yxL LLsQ

20、PyQxPd)coscos(dd 则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 可以推行到空间曲线上可以推行到空间曲线上 例例.)1 , 1()0 , 0(,d),(d),(2的的一一段段弧弧到到从从为为沿沿抛抛物物线线其其中中积积分分化化为为对对弧弧长长的的曲曲线线把把yxLyyxQxyxPL 解解,10:,2 yyx L的方程为的方程为,412cos2yy ,411cos2y 原式原式 LsyyxQyyxyP.d41),(41),(222四、小结四、小结1、第二类曲线积分的概念、第二类曲线积分的概念2、第二类曲线积分的计算、第二类曲线积分的计算3、两类曲线积分

21、之间的联络、两类曲线积分之间的联络思索题思索题 当当曲曲线线L的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？思索题解答思索题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0 时时，L取取顺顺时时针针方方向向.一、一、

22、填空题填空题: :1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、 设设0),(),( dyyxQdxyxPL, ,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对应于对应于L的的_点点, ,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _. .练练 习习 题题二、二、 计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分: : 1 1、 Lxydx, ,L其其中中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( (按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其其中中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中为为有有向向闭闭折折线线ABCD, ,这这里里 的的CBA,依依次次为为点点( (1 1, ,0 0, ,0 0