随机模拟与实验实用教案

1、1布丰（Buffon）投针试验(shyn) 例子：布丰（Buffon）投针试验 将一根长为l的细针随机(su j)地投掷于标有无数平行线的平面上，假定平行线间距为2l，则针与平行线相交的概率为1/。sin)2/()2 , 0(), 0(进入阴影区，则，由下图可知，针与平行线相交为彼此独立。定义事件，且与分别服从均匀分布与，则线的距离为与上边平行，角度为针的中心点为解：设落在平面上的细oAlBAlUUDDoolBDBB2lO第1页/共29页第一页，共29页。2随机数及其产生(chnshng) 定义：如果一个实数列ui与均匀分布的独立随机变量序列Ui的样本序列具有相同的统计特性，则称之为随机的，该

2、数列中的各个数称为均匀分布随机数，简称随机数（Random Number）。 随机数的产生有三种方法： 1）将已有的随机数存表，需要时直接使用： 美国兰德公司在1950年曾将100万个在（0，1）区间内的实数存入计算机外存储器，以便在仿真过程中进行随机调用。2）将计算机连接到物理设备（如噪声源）上获得(hud)随机数流。（随机性和均匀性最好，但产生过程太复杂，未能得到推广。）3）通过数学算法产生随机数（伪随机数）。这种方法容易与计算机结合，因而得到广泛的应用。 第2页/共29页第二页，共29页。3伪随机数 伪随机数的产生：用户只需给定一个初始的 随机数（种子值），调用该算法，即可按某个固定的公

3、式计算出下一个“随机”数。随后，以新产生出来的“随机”数作为种子，再计算出新的“随机”数。重复调用该算法即可产生出一系列的“随机”数，以满足系统仿真的需要。 伪随机数本质上不是随机的。但只要计算公式选择得当，通过比较严格地统计检验，仍然可以产生出一系列近似于U(0,1)分布并且相对独立的随机数流，这种随机数流对于大多数仿真模型，是能满足需要的。因此，仍然是目前广泛应用的工程(gngchng)方法。第3页/共29页第三页，共29页。4伪随机数的算法(sun f)伪随机数是按照一定的计算公式产生的一列数，主要借助于如下的递推公式： un=f(un-1,un-2,un-k)该公式（或算法）也称为随机

4、数发生器（RNG）。常用的伪随机数的算法有：1）平方取中法（Von Neumann 40年代发明）2）乘法取中法 3）线性同余法：简单、实用伪随机数发生器的特点：1）产生的随机数序列具有循环周期性。可以证明，任何产生伪随机数的算法总会进入循环，这样为了保证随机数序列不产生重复的数据，就要求循环的周期足够长。2）算法过程具有再现(zixin)性：在初始化时，如果赋予相同的种子值，将产生完全相同的随机数序列。第4页/共29页第四页，共29页。5伪随机数的算法(sun f)（续） 线性同余法 1）设置(shzh)y0，即设置(shzh)种子 2）yn=kyn-1(mod N)，un=yn/N 三组常

5、见的参数 N=1010，k=7，周期5107 （IBM随机数发生器）N=231，k=216+3，周期5108 （ran0） N=231-1，k=75，周期2109第5页/共29页第五页，共29页。6一般(ybn)随机数的产生方法 大部分计算机语言都提供了产生01间隔均匀分布随机数的标准函数或方法：C语言中的rand函数，VB中的randum函数， java语言中的Randnum类。 由均匀分布的随机数可构造出任(chrn)一分布F(x)的随机数，最基本的方法是逆变换法：的密度函数。是其中，。因为的分布函数正好是则进行变换，可得：对均匀随机变量），由它的反函数（假定它是严格单调的给定分布) 1

6、, 0()()(1)()()()()()()()()(111UufxFduduufxFuPxUFPxXPxFxFXUFXUFxFUxFxFUX第6页/共29页第六页，共29页。7一般随机数的产生(chnshng)方法（续） 例如：利用变换法产生指数分布随机数的方法(fngf)。 因此，X的模拟方法(fngf)为 1）产生均匀分布随机数ui； 2）计算指数分布随机数：xi=-ln ui /)1ln(1)(1)(1UUFXexFx，其反函数为为的指数分布的分布函数参数为第7页/共29页第七页，共29页。8泊松分布随机变量(su j bin lin)的产生方法从泊松分布的分布律可知(k zh)，采用

7、前述方法很不适用。由于!iiepP Xii11(1)!1iiieppii因此，采用递推法构成泊松分布：1）产生(chnshng)均匀分布随机数；2）3）若uF，令X=i，停止；4）5）转向3）。0,;ipeFp/(1),1;ppiFFp ii 第8页/共29页第八页，共29页。9正态分布随机变量(su j bin lin)的产生方法标准正态随机变量的分布函数 的反函数不存在显式，因此也不能用逆变法产生。故采用如下方法(fngf)：设UiU(0，1)，i=1,2,n，且相互独立，由中心极限定理可知，当n较大时2/21( )2xtxedt1()(0,1)()niiiiUnE UZNnD U第9页/

8、共29页第九页，共29页。10实验平台(pngti)介绍产生(chnshng)各种分布的随机数统计并显示各种( zhn)分布的概率密度或分布律显示均值实验自相关序列并显示Rx将显示的结果保存为*.bmp文件波形显示区域第10页/共29页第十页，共29页。11实验执行(zhxng)步骤1. 选择执行的实验内容2. 在出现(chxin)正确结果后，选择“保存”3. 选择结果保存的目录4. 输入保存结果的文件名，必须为*.bmp文件5. 选择“保存”12453第11页/共29页第十一页，共29页。12实验(shyn)平台介绍 实验平台包含的源文件 StdAfx.cpp：VC工程(gngchng)自带

9、文件，不能修改 random.cpp和random.h：工程(gngchng)主文件，不能修改 Scope.cpp和Scope.h ：画图程序，不能修改 randomDlg.cpp和randomDlg.h：主界面程序，包括对各个按钮的动作的响应，还包括对各种随机变量的输入参数的设定 MyRand.cpp和MyRand.h：各种分布的随机变量的产生程序，实验过程中主要完成MyRand.cpp中的函数即可第12页/共29页第十二页，共29页。13MyRand.cpp的函数(hnsh) unsigned int CMyRand:MyRand(unsigned int seed) 函数功能：采用线性同

10、余法，根据输入的种子数产生(chnshng)一个伪随机数，如果种子不变，则可以重复调用该函数产生(chnshng)一个伪随机序列 参数： seed作为调用函数的输入种子，同一个伪随机数序列可采用同一个seed 实现思路：利用CMyRand类中定义的全局变量：S, K, N, Y。其中K和N为算法参数，S用于保存种子数，Y为产生(chnshng)的随机数 注意事项：Y的初值的计算第13页/共29页第十三页，共29页。14MyRand.cpp的函数(hnsh) double CMyRand:AverageRandom (double min,double max) 函数功能(gngnng)：产生一

11、个在minmax范围内精度为4位小数的平均分布的随机数 参数：min和max代表该均匀随机变量的取值范围，精确到小数点后4位。该参数在randomDlg.cpp中OnAverage ()和OnAverageStat()函数中已经设置第14页/共29页第十四页，共29页。15MyRand.cpp的函数(hnsh) double CMyRand:NormalRandom(double miu, double sigma, double min, double max) 函数功能：产生均值为miu，方差(fn ch)为sigma的正态分布的随机数 参数： miu为均值， sigma为方差(fn ch

12、)， min和max 为均匀分布随机变量的取值范围。 所有参数在randomDlg.cpp的OnNormal()和OnNormalStat()函数中设置。 实现思路：利用中心极限定理，通过多个独立的均匀随机变量之和构成正态随机变量第15页/共29页第十五页，共29页。16MyRand.cpp的函数(hnsh) double CMyRand:ExpRandom(double lambda, double min, double max) 函数功能：产生参数为lambda的指数分布的随机数 参数： lambda为指数分布的参数， min和max 为均匀分布随机变量的取值范围。所有参数在random

13、Dlg.cpp的OnExp ()和OnExpStat ()函数中设置。 实现思路(sl)：利用逆变换法第16页/共29页第十六页，共29页。17MyRand.cpp的函数(hnsh) unsigned int CMyRand:PoisonRandom (double lambda, double min, double max) 函数功能：产生参数为lambda的产生泊松分布的随机数 参数： lambda为泊松分布的参数， min和max 为均匀分布随机变量的取值范围(fnwi)。所有参数在randomDlg.cpp的OnPoison ()和OnPoisonStat ()函数中设置。 实现思路

14、：利用递归法第17页/共29页第十七页，共29页。18MyRand.cpp的函数(hnsh) double CMyRand:Ex(void) 函数功能：计算任意分布(fnb)的随机过程的均值。本函数在randomDlg.cpp的OnSelf()函数中调用。第18页/共29页第十八页，共29页。19MyRand.cpp的函数(hnsh) double* CMyRand:Rx(double lambda, int points) 函数功能：计算泊松过程的自相关序列 参数： lambda为泊松过程的参数， points为输入随机数序列的个数。所有参数在randomDlg.cpp的OnSelfStat

15、 () 函数中设置。 返回：函数返回一个动态分配的数组头指针，产生的Rx序列保存于该数组中 注意(zh y)：不要在本函数中释放该数组的内存第19页/共29页第十九页，共29页。20randomDlg.cpp注意事项 可以修改本程序中调用的MyRand.cpp中函数的输入参数，以观测参数变化后的效果。但是，不要修改其他与MyRand.cpp无关的代码，以免出现(chxin)错误！第20页/共29页第二十页，共29页。21 实验安排： 第一次：伪随机数、均匀随机变量和正态随机变量 第二次：指数随机变量、泊松随机变量、均值( jn zh)和自相关。第21页/共29页第二十一页，共29页。22第22页/共29页第二十二页，共29页。23第23页/共29页第二十三页，共29页。24(1)随机数的产生(chnshng)第24页/共29页第二十四页，共29页。25(2)产生一个在minmax范围(fnwi)内精度为4位小数的平均分布的随机数已知随机变量(su j bin lin)密度函数为 : 第25页/共29页第二十五页，共29页。26(4)泊松分布(fnb)的随机数(3)产生(chnshng)一个指数分布的随机数第26页/共29页第二十六页，共29页。27实验平台(pngti)介绍产生各种(