正弦定理(一)(共4页)

1、听 课 记 录课题：正弦定理（一） 教 者：谢宝明【教学过程简记】（一）创设情境:问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预 先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量 点C,测得CB=435m,CBA=,BCA=。由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题?引出课题：“正弦定理（二）猜想、实验：1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出asinA=bsinB=csinC。 3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形

2、的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。（三）证明探究：对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？1、 特殊入手，探究证明 ： 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,， 根据锐角的正弦函数的定义，有，又, 则 ，从而在直角三角形ABC中，。2、推广拓展，探究证明 ： 问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与、 b与sinB”的关系呢

3、？ 探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？ 图1 图2_c_b_a_a_C(bcosA,bsinA)_D(acos(-B),asin(-B)_B(c,0) 图3 图4探究2：能否引入向量，归结为向量运算？ （1）图2中蕴涵哪些向量关系式？学生探究，师生、生生之间交流讨论，得（这三个式子本质上是相同的）, 等,（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?) （3）可取与哪些向量的数量积运算？探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？（1）如图4，建立直角坐标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量的坐标=？ （bcosA-

4、c，bsinA）（3）哪一点的坐标与向量的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐标又为多少？根据平行四边形法则，D（），从而建立等量关系：bcosAc= bsinA= , 整理，得c= bcosA+ acosB（这其实是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）（四）理解定理、基本应用：1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？ （1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。 （2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，

5、知三求一。 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。 2、例题分析例1在中，已知，cm，解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在中，已知，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。3、课堂练习：（1）、引题（问题1）（2）、在ABC中，sinAsinB是AB的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（五）课堂小结：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。（六）作业布置：书面作业：P10习题1.1 1、2【课后点评】本课通过精心设计“发现和解决问题”的过程，注重讲背景、讲过程、讲应用，引导学生主动学习、勇于探索。首先从具体问题情境出发，在教师的指导下，结合学生的已有知识经验，通过自主学习，进行发散式猜想与探究判断，去伪存真，提炼猜想，并通过实验验证，完善猜想。其次，在定理证明阶段，通过新旧知识