2015秋高中数学2.2.2对数函数及其性质(第3(精)

1、2.2.2对数函数及其性质（第三课时）我们知道，物体作匀速直线运动的位移 s 是时间广的函数，即沪滋，其中速度卩是常量，定义域 t 0,值域 s 0；反过来，也可以由位移 s和速度$（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即 t = ,这时，位移Vs 是自变量，时间乃是位移 S 的函数，定义域 s 0,值域 t 0.（定义域为（0.+OO）,值域为（0,+8）问题 2：函数中，谁是谁的函数? V（时间上是位移 S 的函数）函数歹兀的定义域、值域分别是什么？问丿问题 3：函数歹吒与函数/=-之间有什么关系？v（一个解析式的两种不同形式，都是函数解析式，自变量和函数值恰好互换） 问题 4：在指数函数

2、 y = 2A中，x 为自变量，y 为因变量。如果把 y 当成 自变量，x 当成因变量，那么 x 是 y 的函数吗？如果是，那么对应关系 是什么？如果不是，请说明理由。师生共同探讨、交流，揭示规律，过程如下：指数函数 y = 2x中，x 是自变量，y 是 x 的函数，定义域为 xGR,值域为 yw （0, +8）。由指数式与对数式的互化有：x = log2y 对于 y 在（0, +8）中任何一个值，通过式子 x=log2y, x 在 R 中都有唯一的值和它对应.因此，它也确定了一个函数：x = log2y , y 为自变量，X 为 y 的函数，定义域是ye （0, +8 值域是 xWR.由于，

3、函数兀=log2y 与函数 y = 2A是一个解析式的两种不同形式， 都是函数解析式而且自变量与函数值恰好相反，故我们引入一个新的概 念，称函数 X = 1002 丘（，+00）是函数 y =2v（xER）的反函数.问题 5：请同学仿照解决问题 4 的过程，探讨对数函数尸 10 酎（0,且 和指数函数尸/ U0,且好 1）是否也互为反函数？仿照问题 4 的探讨过程，完全有学生自主研究，大胆总结，如下:指数函数 y = /中，X 是自变量，y 是 X 的函数，定义域为 xe R,值域为 ye (0, +8 )。由指数式与对数式的互化有： x=logay 对于 y 在(0, +8)中任何一个值，

4、通过式子 x = log,y, X 在 R 中都有唯一的值和它对应因此， 它也确定了一个函数： x = logz, y, y 为自变量，x 为 y 的函数，定义域是 yw (0, +8),值域是 xR.由于， 函数 x = logay 与函数 y = R 是一个解析式的两种不同形式， 都是函数解析式，而且自变量与函数值恰好相反， 故我们引入一个新的概念， 称函数 x=】 og“y(yw(0,+8) 是函数 y = (xeR)的反函数.问题 6：由问题 5,我们总结了函数 x = ogay(yG(0,+oo)是函数 y = a (xER)的反函数，但是总感觉函数 x = log“y(yw(),+

5、x)有些怪怪的，不舒服，到底是 哪里的问题呢？又怎样解决呢？在函数工 To 酎中，丿是自变量，工是函数但习惯上，我们通常用 x 表示自变量，y 表示函数为此，我们常对调函数Io 彌中的字母工、把它写成戶 1。时这样，那 么，对数函数 yulOgaX (xe(0, +oo)是指数函数 yd (xGR)的反函数.问题 7：由问题 6 知对数函数尸 lo%r (xG (0, +oo)是指数函数丿=a* (xGR) 的反函数，那么反过来，指数函数 yS (xGR)是否也是对数函数尸 lo 时(XG (0, +00)的函数呢？答案是肯定的，对数函数尸 10 护(xG (0,+QO)是指数函数 y=x (

6、xGR)的反函数；同时，指数函数尸 f (xGR)也是对数函数尸 loj (xG (0, +x)的 反函数因此，指数函数尸/ (xGR)与对数函数尸 10 卩(xG (0, +Q)互为反函数.反函数概念:指数函数尸/ (xR)与对数函数尸 1。&注(xe (0, +oo)互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反曲数。问题 8：通过以前的学习，我们知道研究一个新函数过程往往是，定义 解析式一一图像性质。反函数的定义与解析式都研究完了，那么，互为 反函数的两个函数的图像具有怎样的特点呢？发现，y = T 与 y = log2x 的图像关于直线 y=x 对称，y = 3、与 y = lo

7、g3x的图像也关于 y=x 对称。问题 9：根据问题 8,我们是否能说互为反函数的两个函数都关于直线 y=x 对称呢？(师生共同再利用儿何画板在同一个坐标系中依次画出指数函数.v=/ (xeR) 与对数函数 y=ox (xe (0, +oo),并观察。)图像反函数的性质:互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称。例 1.求下列函数的反函数：(1) 7=4 (xwR,尸 0.25 IxwR,尸(*) 匕丘&, /=(V2) (曲龙，(5) j=lgHx0),(6) 7=2 log4x(jr0)解：(1)所求反函数为：jlog4x(x0), (2)所求反函数为：尸 logo.25 x(x0)所求反函数为：j=log, x (x0),(4)所求反函数为：尸 k)g“x (x0)X所求反函数为：尸 4 匚 2 (xeR)跡所求反函数为：尸 10 (xeR),例 2函数尸 3”的图象与函数 y = log3x 的图象关于（）A.y 轴对称 B. x 轴对称 C.原点对称