《线性变换和矩阵》ppt课件

1、一、内容分布一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换坐标变换 7.3.3 矩阵独一确定线性变换矩阵独一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵-类似矩阵类似矩阵二、教学目的二、教学目的: 1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定及给定n 阶矩阵和基，求出关于这个基的矩阵为阶矩阵和基，求出关于这个基的矩阵为的线性变换的线性变换 2由向量由向量关于给定基的坐标，求出关于给定基的坐标，求出()关于这关于这个基的坐标个基的坐标 3知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出知线性变换关于某个基的

2、矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵关于另一个基的矩阵.三、重点难点三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换坐标变换, 类似类似矩阵矩阵. 如今设如今设V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，令维向量空间，令是是V的一个线性变换，取定的一个线性变换，取定V的一个基的一个基 令令 12,n nnaaa12211111)(nnaaa22221122)(nnnnnnaaa2211)(设设 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211n 阶矩阵阶矩阵A 叫做线性变换叫做线性变换关于基关于基 的的矩阵矩阵. 显然显然,A的第的第j 列就是列就是(j

3、)关于基关于基 的坐的坐标标.上面的表达经常写出更方便的方式上面的表达经常写出更方便的方式: ,21n(1) (1) Annn)()(,),(),(),(21212112,n :fA 由此可知由此可知: 取定取定F上上n维向量空间维向量空间V的一个基之后，对于的一个基之后，对于V的每的每一个线性变换一个线性变换，都有独一确定的，都有独一确定的n阶矩阵阶矩阵A与之对与之对应这样一来，从应这样一来，从L(V)到到Mn(F)必然存在着一个对必然存在着一个对应关系应关系-映射，无妨记为映射，无妨记为练习:教材P284-习题第1题设设V 是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间, 是是V 的一

4、个基的一个基, 关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 而而()的坐标是的坐标是 问问: 和和 之间有什么关系呢之间有什么关系呢? ,21n),(21nxxx).,(21nyyy),(21nyyy),(21nxxx设设.),(21212211nnnnxxxxxx由于由于是线性变换，所以是线性变换，所以 2 2.)(,),(),()()()()(21212211nnnnxxxxxx将将1代入代入2得得 .),()(2121nnxxxA最后，等式阐明，最后，等式阐明， 的坐标所组成的坐标所组成的列是的列是 ),()(21n关于.21nxxxA综合上面所述综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：我们得到

5、坐标变换公式：定理定理7.3.1 7.3.1 令令V V是数域是数域F F上一个上一个n n 维向量空间，维向量空间，是是V V的一个线性变换，而的一个线性变换，而关于关于V V的一个基的一个基 的矩阵是的矩阵是 ,21nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211假设假设V中向量中向量关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 ，而而()的坐标是的坐标是 ， ),(21nxxx),(21nyyy那么那么nnxxxAyyy2121332( )( ),( )237( ( )( ( )(237)63( ( )( 3,0,6,0)f xfxf xxxf xf xxxxf x232323在Fx中

6、,1,x,x ,x 是一个基,线性变换 :其中求:关于基1,x,x ,x 的坐标.解法一:所以,关于基1,x,x ,x 的坐标为( ( )73300620f x2323解法二:易知 关于基1,x,x ,x 的矩阵为01000020A=00030000故关于基1,x,x ,x 的坐标为0100002000030000例在空间例在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量单位向量 作为作为 的基的基.令令是将是将 的每一向的每一向量旋转角量旋转角的一个旋转的一个旋转. 是是 的一个线性变换的一个线性变换.我我们有们有 2V21,2V2V2V .cossin,sinc

7、os212211所以所以关于基关于基 的矩阵是的矩阵是21,cossinsincos设设 ，它关于基，它关于基 的坐标是的坐标是 ,而而 的坐标是的坐标是 .那么那么 2V21,xx21, 21, yy2121cossinsincosxxyy例例3 3 令是数域上一个令是数域上一个n n维向量空间，维向量空间，是的一个位似，那么关于恣意基的矩阵是是的一个位似，那么关于恣意基的矩阵是特别地，的单位变换关于恣意基的矩阵是单位矩特别地，的单位变换关于恣意基的矩阵是单位矩阵；零变换关于恣意基的矩阵是零矩阵阵；零变换关于恣意基的矩阵是零矩阵:k 00kkk引理引理7.3.2 设设V是数域是数域F上一个上

8、一个n 维向量空间，维向量空间， 是是V的一个基，那么对于的一个基，那么对于V 中恣意中恣意n个向量个向量 ，有且仅有，有且仅有 V 的一个线性变的一个线性变换换，使得，使得:,21nn,21niii, 2 , 1)(证证 设设 nnxxx2211是是V中恣意向量中恣意向量.我们如下地定义我们如下地定义V到本身的一个映到本身的一个映射射：nnxxx2211)(我们证明，我们证明，是是V的一个线性变换。设的一个线性变换。设Vyyynn2211那么那么 .)()()(222111nnnyxyxyx于是于是 ).()()()(.)()()()(22112211222111nnnnnnnyyyxxxy

9、xyxyx设设 那么那么 .Fa).()()()(221122112211axxxaaxaxaxaxaxaxannnnnn这就证明了这就证明了是是V的一个线性变换。线性变换的一个线性变换。线性变换显然显然满足定理所要求的条件：满足定理所要求的条件：niii, 2 , 1)(假设假设是是V的一个线性变换，且的一个线性变换，且 niii, 2 , 1)(那么对于恣意那么对于恣意.2211Vxxxnn),()()()()()(221122112211nnnnnnxxxxxxxxx从而从而 .定理定理7.3.3 7.3.3 设设V V 是数域是数域 F F 上一个上一个n n 维向量空间，维向量空间，

10、 是是V V 的一个基，对于的一个基，对于V V 的每一个线的每一个线性变换性变换，令，令关于基关于基 的矩阵的矩阵A A与与它对应，这样就得到它对应，这样就得到V V 的全体线性变换所成的集合的全体线性变换所成的集合L LV V到到F F上全体上全体n n 阶矩阵所成的集合阶矩阵所成的集合 的一的一个双射，并且假设个双射，并且假设 , ,而而 ， 那那么么 (3) (3) (4) (4) ,21n,21n)(FMn)(,vLAB,FaaAaBAAB证证 设线性变换设线性变换关于基关于基 的矩阵是的矩阵是A。那么那么 是是 的一个映射。的一个映射。,21nA)()(FMVLn到nnnnnnaa

11、aaaaaaaA212222111211是是F上恣意一个上恣意一个n阶矩阵。令阶矩阵。令 ., 2 , 1,2211njaaannjjjj由引理由引理7.3.2，存在独一的，存在独一的 使使 )(VL., 2 , 1,)(njjj反过来，设反过来，设显然显然关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是A. 这就证这就证明了如上建立的映射是明了如上建立的映射是 的双射的双射. ,21n)()(FMVLn到设设 我们有我们有 ).(),(ijijbBaA.),()(,),(),(),()(,),(),(21212121BAnnnn由于由于是线性变换是线性变换, 所以所以 niiijniiijnibb11.,

12、 2 , 1),(因此因此 .),()(,),(),()(,),(),(212121ABBnnn 所以所以关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是AB。7式成立，至于式成立，至于6式成立，是显然的。式成立，是显然的。,21n推论推论7.3.4 7.3.4 设数域设数域F F上上n n 维向量空间维向量空间V V 的一个线性的一个线性变换变换关于关于V V 的一个取定的基的矩阵是的一个取定的基的矩阵是A A，那么，那么可逆必要且只需可逆必要且只需A A可逆，并且可逆，并且 关于这个基的关于这个基的矩阵就是矩阵就是 . . 11A证证 设设可逆。令可逆。令 关于所取定的基的矩阵是关于所取定的基的矩阵是B

13、。由由7， 1.1AB然而单位变换关于恣意基的矩阵都是单位矩阵然而单位变换关于恣意基的矩阵都是单位矩阵 I .所以所以AB = I . 同理同理 BA = I . 所以所以.1 AB留意到留意到5，可以看出，可以看出 同理同理 所以所以有逆，而有逆，而 .1 反过来，设反过来，设 而而A可逆。由定理可逆。由定理7.3.3，有，有 于是于是 ,A.)(1AvL使.1IAA我们需求对上面的定理我们需求对上面的定理7.3.1和定理和定理7.3.3的深化意义的深化意义加以阐明加以阐明: 1. 取定取定n 维向量空间维向量空间V的一个基之后的一个基之后, 在映射在映射: 之下之下, (作为向量空间作为向

14、量空间)A( )( )nL VMF研讨一个笼统的线性变换研讨一个笼统的线性变换, 就可以转化为研讨一个就可以转化为研讨一个详细的矩阵详细的矩阵. 也就是说也就是说, 线性变换就是矩阵线性变换就是矩阵.以后以后,可可以经过矩阵来研讨线性变换以经过矩阵来研讨线性变换,也可以经过线性变换也可以经过线性变换来研讨矩阵来研讨矩阵. 2. 我们知道我们知道, 数域数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间V 同构同构于于 , V上的线性变换上的线性变换 nF)(:转化为转化为 上一个详细的变换上一个详细的变换: nFnnxxxAxxx2121也就是说也就是说, 线性变换都具有上述方式线性变换都具有上述方式

15、. ( ) 的坐标的坐标 引言：普通地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换在V中的两个不同基下的矩阵普通不同.为了利用矩阵研讨线性变换，显然需求讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系。引例：设引例：设 ，且，且 关于基关于基 ， 的矩阵为的矩阵为 求关于基求关于基 的矩阵的矩阵分析分析: :此题不能直接用定义做此题不能直接用定义做, ,因因 的对应关系不清楚的对应关系不清楚, ,由定义是求由定义是求B B使使 B B，又由题知又由题知 ，而，而 与与 间的关系易得，因此可经过上述知转化一下。间的关系易得，因此可经过上述知转化一下。 2FL124231A 101121,1212，A),

16、()(),(212121,21,解：设解：设 B B，因因 ，所以，所以 其中其中 . .于是于是 1212212212( (),()( (),()( ()(),()( (),()T ATTAT12121),(),(1212 ，22211,T),(1101),(),(2121211101T12341ATTB设线性变换设线性变换关于基关于基 的矩阵是的矩阵是 A , 关于基关于基 的矩阵是的矩阵是 B , 由基由基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵T, 于是有于是有:,21n,21n,21n,21n定理定理7.3.5 ATTB1 1212( (),(),()( (),(),()nnT 121212

17、12( (),(),()(,)( (),(),()(,) .nnnnAB 1212(,)(,)nnT 12121212112(,)( (),(),()( (),(),()(,)(,)nnnnnBTATTAT 1BTAT定义：设定义：设 A，B 是数域是数域 F 上两个上两个 n 阶矩阵阶矩阵. 假设存假设存在在F上一个上一个 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 T 使等式使等式成立，那么就说成立，那么就说B与与A类似，记作：类似，记作： . ATTB1BA n阶矩阵的类似关系具有以下性质：阶矩阵的类似关系具有以下性质：1. 自反性：每一个自反性：每一个n阶矩阵阶矩阵A都与它本人类似，都与它本人类似，由于

18、由于2. 对称性：假设对称性：假设 ，那么，那么 ；由于由由于由.1AIIABA AB .)(11111BTTTBTAATTB得BA CB CA 3. 3. 传送性：假设传送性：假设且且那么那么现实上，由现实上，由 得得BUUCATTB11和).()()()(111TUATUTUATUC因此因此: 线性变换在不同基下的矩阵是类似的线性变换在不同基下的矩阵是类似的. 反过来，一对类似矩阵可以是同一个线反过来，一对类似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵性变换在不同基下的矩阵.(证明略证明略-教材教材P283P284)TATATTTATTATTAATnnnn1111111)()( 问题：问题：Th7.3.5Th7.3.5阐明，阐明， 关于关于V V的不同基的矩阵的不同基的矩阵是类似的；且一切彼此类似的矩阵可看成同一是类似的；且一切彼此类似的矩阵可看成同一线性变换在不同基下的矩阵。这自然会提出问线性变换在不同基下的矩阵。这自然会提出