2016届广西来宾市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)概要1讲解

1、 2015-2016 学年广西来宾市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1 复数 z= （3- 2i） i，则 z-2 一=（ ） A .- 2 - 9i B .- 2+9i C. 2 - 9i D. 2+9i 2 2. 已知集合 A=y|y=x , B=x|y=lg （1 - x） ，则 A QB=（ ） A. 0, 1 B . 0, 1） C. （-a, 1） D. （-a, 1 3. 某市 8 所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数， 则这组数

2、据的平均数和方差分别是（ ） 8 S 7 9 1 7 4 2 0 3 A. 91 5.5 B. 91 5 C. 92 5.5 D. 92 5 4. 在等差数列an中， a7=8，前 7 项和 S7=42，则其公差是（ ） 5. 设函数 f （x） JF:*，则不等式 f （x） 2 的解集为（） 1 - lo g2X, A . （0，1 U（ 2，+a） B . 0，+a） C . 0，1 D . （ 0，+a） 6. （ x0, w0, 0v X n）的图象的一部分如图所示，则此函数的 解析式为（ ） A . 2cm2 B . 9 ? cm3 C . 37 Fem3 D . 3cm3 左视囹

3、 第 2页（共 20页） 第 1页（共 20页）第 2页（共 20页） K 3H y=3sin (x+ ) 4 4 n 37T D y=3sin (px+ ) 则该程序运行后输出的 k 值是(A . 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 已知 P 是直线；3x+4y+13=0 的动点，PA 是圆 C: x2+y2- 2x - 2y - 2=0 的一条切线，A 是切点，那么 PAC 的面积的最小值是（ ） A. 5 二 B . 4 二 C. 3=D. 2 二 _ 11. 已知 A , B , C, D 均在球 O 的球面上，AB=BC=1 , AC=.，若三棱锥 D- ABC 体积 的最大值

4、是 则球 O 的表面积为（ ） 4 - n B 12. 设函数 f (x)是奇函数 f (x) (x R)的导函数，f (- 1) =0,当 x0 时，xf (x)- f (X)v 0,则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是( ) A. (-s,- 1 )U( 0, 1) B . (- 1 , 0)U( 1, +s) C. (-s,- 1)U (- 1 , 0) D. (0, 1)U( 1, +s) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 已知向量；=（2, 1）, fc= （x, - 1）,且；-1 与 I共线，则 x的值为_ . 14. 若数列 an的前 n项和

5、为 Sn,对任意正整数 n都有 Sn=2an - 1,则 Se等于 _ -y0 15. 设变量 x, y 满足约束条件玄+応 1，则目标函数 z=5x+y 的最大值为 _ Lx+2yl16已知双曲线：-=1 (a 0, b0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px ( p0)的准线 aZ b2 分别交于 A、B 两点，0 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2 , AOB 的面积为 二，则该 抛物线的标准方程是 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 n n C. y=3sin (=x+ .) 9 某程序框图如图所示, 16厂 nD 第 4页(共 20 页) 17.在 ABC 中，角

6、A , B, C 的对边分别为 a, b, c,且满足 ccosB= (2a+b) cos ( n- C). (1) 求角 C 的大小； (2) 若 c=4,A ABC 的面积为.，求 a+b 的值. 18进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行， 我市环保局对该市 2015 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中 随机抽取 50 个作为样本进行分析报告， 样本数据分组区间为 (5, 15 , (15, 25 , (25, 35, (35 , 45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1 )求 a 的值； (2)如果空气质量

7、指数不超过 15,就认定空气质量为 特优等级”则从今年的监测数据中 随机抽取 3 天的数值，其中达到 特优等级”的天数为 X 求 X 的分布列和数学期望. 19. 如图，已知三棱柱 A1B1C1 - ABC 中，侧棱与底面垂直， AB=BC=AA 1,/ ABC=90 M 是 BC的中点. (1) 求证：A1B /平面 AMC 1； (2) 求平面 A1B1M 与平面 AMC 1所成角的锐二面角的余弦值. 20. 已知椭圆 C： 一 - =1 (ab0)过点A、，离心率为丄亍，点 F1, F2分别为其左右焦点. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一

8、条切线与椭圆 C 恒有两个交点 P, Q, 且 厂.工？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数 f (x) =ex- ax，其中 e 为自然对数的底数，a 为常数. (1 )若对函数 f (x)存在极小值，且极小值为 0，求 a 的值；第 5页(共 20 页) 请在 22、23、24 题中任选一题作答.选修 4-1:几何证明选讲 22如图，在厶 ABC 中，CD 是/ ACB 的平分线， ACD 的外接圆交 BC 于点 E, AB=2AC , (1) 求证：BE=2AD ; (2) 求函数 AC=1 , BC=2 时，求 AD 的长. 选修 4-4 :坐标系与参数方程

9、 (n)求曲线 C 上的点到直线 I的距离的最大值. 选修 4-5 :不等式选讲 4 24.设函数 f (x) =| x- |+| x+m| ( m0) tn (1) 证明：f (x) 4; (2) 若 f (2 ) 5，求 m 的取值范围.(2)若对任意 x 0, ，不等式 f (x) ex (1 - sinx)恒成立，求 a 的取值范围. 23已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 标方程为： : . -一.，曲线 C 的参数方程为: 6 2 (I )写出直线 I的直角坐标方程； x 轴的正半轴重合，直线 I的极坐 =2+2cosa y=2sinCt (a 为参第 6页(共 20

10、页) 2015-2016 学年广西来宾市高三(上)期末数学试卷(理 科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 复数 z= (3- 2i) i，则 z-2 一=( ) A .- 2 - 9i B .- 2+9i C. 2 - 9i D. 2+9i 【考点】复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】 解：复数 z= (3 - 2i) i=3i +2, 则 z- 2 一= ( 2+3i)- 2 ( 2 - 3i) =2+3i

11、 - 4+6i= - 2+9i, 故选：B. 2 2. 已知集合 A=y|y=x , B=x|y=lg (1 - x) ，则 A QB=( ) A. 0, 1 B . 0, 1) C. (-a, 1) D. (-a, 1 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中 y 的范围确定出 A，求出 B 中 x的范围确定出 B,找出 A 与 B 的交集即 可. 【解答】 解：由 A 中 y=x20,得到 A= 0, +a), 由 B 中 y=lg (1 - x),得到 1 - x 0,即 xv 1, B= (- a, 1 ), 则 A QB=0, 1), 故选：B. 3. 某市 8 所中学生参加比赛

12、的得分用茎叶图表示(如图)其中茎为十位数，叶为个位数, 则这组数据的平均数和方差分别是( ) 8 8 7 9 1 7 斗 2 0 $ A. 91 5.5 B. 91 5 C. 92 5.5 D. 92 5 【考点】茎叶图. 【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的平均数与方差即可. 【解答】 解： 把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下； 87、 88、 90、 91、 92、 93、 94、 97； 平均数是 二(87+88+90+91 +92+93+94+97) g 2 i 2 2 2 2 S2= (87 - 91.5) 2+ ( 88- 91, 5) 2+ ( 90 - 91.5) +(

13、 97 - 91.5) 2 =5, 8 故选：A. 4. 在等差数列an中，a7=8，前 7 项和 S7=42，则其公差是( ) =91.5, 第 7页(共 20 页) 1 1 2 2 A- 土 B 土 C-二 D 二二 :- 【考点】 等差数列的通项公式. 【分析】由通项公式和求和公式可得 ai和 d 的方程组，解方程组可得 【解答】解：设等差数列a/的公差为 d, T a7=8，前 7 项和 S7=42, ai+6d=8, 7ai+ | d=42, 2 解得 ai =4, d= 故选：D xl 5设函数 f (x) =j 、 则不等式 f (x)w 2 的解集为( ) 1 1 口 呂尹，x

14、Al A (0, 1 U( 2, +s) B 0, +s) C 0, 1 D ( 0, +s) 【考点】分段函数的应用 【分析】 分 x 1 两种情况列出不等式解出. 【解答】 解：(1)当 XW 1 时，21-x 0,.0W xw 1 (2)当 x 1 时，1 - log2x w 2,解得 x , x 1 综上，不等式 f (x)w 2 的解集是0, 1 U( 1, +8) =0, +8) 故选 B 6 (x+卫)(2x - ) 5的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( ) K K A - 40 B - 20 C 20 D 40 【考点】二项式系数的性质 【分析】由于二项式展开

15、式中各项的系数的和为 2,故可以令 x=1，建立 a 的方程，解出 a 的值，然后再由规律求出常数项 【解答】 解：令x=1则有1 +a=2，得a=1，故二项式为(x+ ) (2x - ) 5 X I 故其常数项为-22X C53+23C52=40 故选：D 7若某几何体的三视图(单位： cm)如图所示，其中左视图是一个边长为 2 的正三角形， 则这个几何体的体积是( )第 8页（共 20页） 2 厂 3 厂 3 3 A. 2cm B. - cm C. 3 cm D. 3cm 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积. 【解答】

16、解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为 二的四棱锥, 故这个几何体的体积是 一 X 一 （1+2）x 2 X =二（cm3）. 故选：B. 【考点】由 y=Asin（3X+0）的部分图象确定其解析式. 【分析】首先根据函数的图象确定函数的最值， 进一步求出函数的周期及 3,再根据函数的 最值确定,最后求出函数的解析式. 【解答】 解：根据函数的图象，得知： A=3 , Ox+O） （ A 0, 3 0, Ov V n）的图象的一部分如图所示，则此函数的 H H C. y=3sin (x+ ) H 3 开 y=3sin (x+ ) it 3 开 D. y=3sin (x+ )

17、M 1川I 左视囹 其中直角梯形两底长分别为 8.函数 y=Asin 第 9页（共 20页） T=2 (5 - 1) =8,第 10页（共 20页） 所以： 2兀 TT 3 一 一 8 4 当x=1 时，f (1) =3, 0V V n, 解得： n 忙， 9 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 值是（ ） A 5 B 6 C. 7 D 8 【考点】程序框图. 【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的 V 100,输出 K 的值为 7. 【解答】解：执行程序框图，有 k=1, S=0 满足条件 SV 100, S=2, K=2 ; 满足条件 SV 100, S=6, K=3 ; 满足

18、条件 SV 100, S=14, K=4 ; 满足条件 SV 100, S=30, K=5 ; 满足条件 SV 100, S=62, K=6 ; 满足条件 SV 100, S=126, K=7 ; 不满足条件SV 100,输出 K 的值为 7. 故选：C. 10. 已知 P 是直线；3x+4y+13=0 的动点，PA 是圆 C: x2+y2-2x - 2y - 2=0 的一条切线，A 是切点，那么 PAC 的面积的最小值是（ ） A. 5= B . 4 二 C. 3=D. 2 二 【考点】 直线与圆的位置关系. 【分析】求出圆的标准方程， 以及三角形的面积， 将面积的最值问题转化为点到直线的距

19、离 问题是所以函数的解析式: 故选：A H TT f (x) =3sin ( ) S, k 的值，当 S=126, K=7 时不满足条件 S 第 11页（共 20页） 解决本题的关键. 【解答】解：圆的标准方程为（x - 1） 2+ （y - 1） 2=4, 则圆心坐标为 C （1 , 1）,半径 R=2, 则厶 PAC 的面积 S= _ ：=PA, 2 要使 PAC 的面积的最小，贝 U PA 最小， 即 PC 最小即可，此时最小值为圆心 C 到直线的距离 d” =4, 0 时，xf (x)- f (x)v 0,则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是( ) A . (- m，- 1

20、 )U( 0, 1) B . (- 1 , 0)U( 1, +s) C. (- a,- 1)U (- 1 , 0) D. (0, 1)U( 1, +a) 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】由已知当 x 0 时总有 xf (x)- f (x)v 0 成立，可判断函数 g (x) = _为减 X 函数，由已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，可证明 g (x )为(-a, 0 )U( 0, +a) 上 的偶函数，根据函数 g ( x)在(0, +a) 上的单调性和奇偶性，模拟 g (X)的图象，而不 等式 f ( x) 0 等价于 x?g ( x) 0,数形结合解不等式组即可. 【解

21、答】解：设 g (x) =一，则 g (X)的导数为: X /当 x 0 时总有 xf (x)v f (x)成立, 即当 x 0 时，g (x)恒小于 0, 当 x 0 时，函数 g (x)=为减函数, 函数 g (x)为定义域上的偶函数 f (- 1) 又 g (- 1) =一一=0, 函数 g ( x)的图象性质类似如图: 数形结合可得，不等式 f ( x) 0? x?g (x) 0 x0 (x 0, b0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px ( p0)的准线 a2 b2 分别交于 A、B 两点，0 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2, AOB 的面积为二，则该 抛物线的标准方程是 y2=

22、4x . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】把 x=-亠代入. n ,解得 y，可得| AB | =，禾 1用厶 AOB 的面积为:,可 得丄、工-=一，再利用:-: =2，解得 I 即可得出 p. 2 2a 2 V a a 【解答】解：把 x=- 一代入r- ；-,解得 y= 土. Z 3. Z3L |AB| = ；：, a AOB 的面积为 丄丄 4=:-, 由 L- , i 1- !丄I： =2，解得丄=二. 解得 p=2 . 该抛物线的标准方程是 y2=4x . 2 故答案为：y =4x. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在 ABC 中，角 A , B, C

23、 的对边分别为 a, b, c,且满足 ccosB= (2a+b) cos ( n- C).第 16页(共 20页) (1) 求角 C 的大小； (2) 若 c=4,A ABC 的面积为 ，求 a+b 的值. 【考点】 正弦定理；余弦定理. 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 cosC=- ，由特殊角的三 角函数值即可得解. (2)利用三角形面积公式可求 ab=4,由余弦定理即可解得 a+B 的值. 【解答】(本题满分为 12 分) 解：(1 ). ccosB= (2a+b) cos ( n- C). sinCcosB= (- 2sinA sinB) cosC, / s

24、in (B+C) = 2sinAcosC , .cosC= , 2 .C= .ab=4, .由余弦定理可得： c2=a2+b2+ab= (a+b) 2 ab=16. 解得：a+B=2 ! 18进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行， 我市环保局对该市 2015 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中 随机抽取 50 个作为样本进行分析报告， 样本数据分组区间为 (5, 15 , (15, 25 , (25, 35, (35 , 45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1 )求 a 的值； (2)如果空气质量指数不超过 1

25、5,就认定空气质量为 特优等级”则从今年的监测数据中 随机抽取 3 天的数值，其中达到 特优等级”的天数为 X 求 X 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列. 【分析】(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，由此能求出 a. (2 )由已知得 X 的取值为 0, 1, 2, 3，且 XB (3, g),由此能求出 X 的分布列和 EX . D 【解答】解：(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1, 得：(0.02+0.032+a+0.018)x 10=1, 解得 a=0.03. (2)利用样本估计总体，该年度空所质量指数在

26、( 5, 15内为 特优等级”(2) ABC=_T abs inC= , 且指数达到 特优等级”的概率为 0.2, 则 X 的取值为 0, 1 , 2, 3,且 XB (3,=), 5 P( x=0) = - =| 二， X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 64 48 M2 1 125 125 125 125 EX= _+1 = = = .I 平面 A1B1M 与平面 AMC 1所成角的锐二面角的余弦值为 斗 20. 已知椭圆 C: 一 - =1 (a b 0)过点 A ： 二亍1,离心率为丄二，点 F1 , a b 占 占 上 F2分别为其左右焦点. (1) 求椭圆 C 的标准方程；

27、(2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 P , Q , 且乔丘?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系. 【分析】(1)由离心率，推出 b=c ,禾U用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出 a、b , 即可得到椭圆 C 方程. (2)假设满足条件的圆存在，其方程为： x2+y2=r2 (0v rv 1),当直线 PQ 的斜率存在时， 设直线方程为 y=kx+b ,联立方程组，令 P (X1 , y1), Q (x? , y?),利用韦达定理，结合 x1X2+y1y2=0 .推出

28、3b2=2k2+2 ,利用直线 PQ 与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判 断当直线 PQ 的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果. 第 19页(共 20页) 2 得 c=1,所以 a2=2, 2 所以椭圆 C 方程为 (2)假设满足条件的圆存在，其方程为： x2+y2=r2 (Ovrv 1) 当直线 PQ 的斜率存在时，设直线方程为 y=kx+b， :V=kx+b 2 2 2 由 2 口 得(1+2k2) x2+4bkx+2b2-2=0 , 三-+丫 二i 令 P (xi, yi), Q (X2, y2), - - I 1-F2k2 l+2k 2 2 3b2=2k2+2. 因为直线 PQ

29、 与圆相切， -一 =. 1+k2 3 所以存在圆； / 一 当直线 PQ 的斜率不存在时，也适合 x2+y2= 1 . 综上所述，存在圆心在原点的圆 x2+y2=满足题意. 21. 已知函数 f (x) =ex- ax，其中 e 为自然对数的底数，a 为常数. (1 )若对函数 f (x)存在极小值，且极小值为 0，求 a 的值； ,0. x (2)若对任意 x 0,.，不等式 f (x) ex (1 - sinx)恒成立，求 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(1)求导函数，对 a 讨论，确定函数的单调性，利用函数 f (x)存在极小值，且极 小值为 0，可

30、求 a 的值； (2)对任意 x 0,.，不等式 f(x)ex( 1-sin x)恒成立，等价于对任意 x 0,., x 不等式 e sinx - ax 0 恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求 a 的取 值范围. 【解答】解: (1)： f (x) =ex - ax,. f (x) =ex - a, 当 aw 0 时，f( x ) 0，函数在 R 上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意； 当 a 0 时，由 f(x ) 0,可得 x In a,由 f (x )v 0，可得 xv lna, x=l na 为函数的极 小值点， 4bk .-， 2b2-2 2 l+2k2 OP

31、 OG， 二 xix2+yiy2=0. 第 20页(共 20页) 由已知，f (Ina) =0,即 Ina=1, a=e； x x (2)不等式 f (x) e (1 - sinx),即 e sinx - ax 0, 设 g (x) =exsinx - ax,贝 U g(x) =ex (sinx+cosx)- a, g (x) =2excosx, x 0,时，g (x) 0,则 g (x)在 x 0，时为增函数，二 g (x) =g (0) =1 -a. 1- a0，即 aw 1 时，g (x) 0, g (x)在 x 0, 时为增函数，二 g (x) min=g (0) =0,此时 g (x

32、) 0 恒成立； 1- av 0，即 a 1 时，存在 xo 0，一，使得 g (x)v 0，从而 x( 0, x)时，g (x) v 0,. g (x)在0, xo上是减函数， x ( 0, X。)时，g (x)v g (0) =0,不符合题意. 综上，a 的取值范围是(-汽 1. 请在 22、23、24 题中任选一题作答.选修 4-1:几何证明选讲 22. 如图，在厶 ABC 中，CD 是/ ACB 的平分线， ACD 的外接圆交 BC 于点 E, AB=2AC , (1) 求证：BE=2AD ； (2) 求函数 AC=1 , BC=2 时，求 AD 的长. 【考点】与圆有关的比例线段.

33、【分析】(1)连接 DE,因为 ACED 是圆的内接四边形，所以 BDEBCA，由此能够证 明 BE=2AD . (2 )由条件得 AB=2AC=2，根据割线定理得 BD?BA=BE ?BC，即(AB - AD ) ?BA=2AD (2AD +CE),由此能求出 AD . 【解答】(1)证明：连接 DE , ACED 是圆的内接四边形， / BDE= / BCA , / DBE= / CBA , BDE BCA , ： 1 一 / AB=2AC , BE=2DE . / CD 是/ ACB 的平分线, AD=DE , 从而 BE=2AD . (2)解：由条件得 AB=2AC=2 , 设 AD=t ,根据