平行四边形的性质及判定

1、平行四边形的性质及判定1 平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等. 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形.平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍.平行四边形的面积：底乘以高.2.平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.1、平行四边形的性质【例1】 如图，四边形 ABCD为平行四边形，即 AB II C

2、D , AD II BC 通过证明三角形全等来说明: AB CD , AD BC （对边相等）AO CO , BO DO （对角线互相平分）【例2】 如图，点E,F是平行四边形 ABCD对角线上的两点, 明理由且BEDF ,那么AF和CE相等吗？请说【例3】 如图所示，已知四边形ABCD，从 AB II DC :AB DC :AD II BC ;AD BC ; A C ；（6） BD中取两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合。【例4】如图，在平行四边形平行四边形ABCD 中,EF II BC , GH II AB , EF与GH相交于点0，图中共有【

3、例5】如图，在平行四边形ABCD 中，AD 5, ABEC的长度分别为（)A. 2 和 3 B .3和2C. 4和 13 , AE平分 BAD交BC边于点E，则线段BE ,D. 1和4如图【例6】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（）A . 2个B . 3个C. 4个D . 5个【例7】 如图，平行四边形 ABCD中，AB AC .对角线AC , BD相交于点0 ,将直线AC绕点0顺时 针旋转，分别交BC , AD于点E , F . 证明：当旋转角为90时，四边形 ABEF是平行四边形； 试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总保持相等.【例8】 在平行四边形 ABCD中，点A、A、A

4、、4和C、C2、C3、C4分别为 AB和CD的五等分点，点B1、B2和Di、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形 ABCDC2 CjA 心心叭*【例9】如图，在平行四边 ABCD中，AC、 面积为（A. 3).B. 6 C. 12BD为对角线，BC 6 , BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（)A. 2B . 3C . 5D . 1553【例10】现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想 用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案.【例11】如图3，一个平行四边形被分成面积

5、为Si、S2、S3、S4四个小平行四边形，当 CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时.【例12】【例13】【例14】【例15】 S1S4与S2S3的大小关系为 . 已知点C与点A、B不重合时，图中共有 个平行四边形,如图1,。1 ,。2,。3,。4为四个等圆的圆心，A , B , C , D为切点,线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是01 , 02 , 03, 04, 05为五个等圆的圆心， 直线，A , B , C , D , E 为切点, 将这五个圆 分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是请你在图中画出一条直；如图2, 请你在图中画出一条如图,

6、求证：E,F是平行四边形 ABCD的对角线AC上的两点，AE(1) ADF 也 CBE ;(2) EB II DF .CF .已知：在平行四边形 ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于E , AE DG .如图，CE于F，交AD于G .求证:ABC的平分线 BG交已知：如图，平行四边形ABCD内有一点E满足ED AD于点D , EBC 请找出与BE相等的一条线段，并给予证明.EDC , ECB 45 ,【例16】如图，E、F是平行四边形 ABCD对角线AC上两点，BE II DF，求证：AF CE .【例17】如图，平行四边形 ABCD中，AE BD于E , CF BD于F 求证：AE CF

7、 .【例18】如图,垂足,在平行四边形 ABCD中，连接对角线BD，过A ,C两点分别作 AE BD , CF BD ,E ,F为 求证：四边形 AECF是平行四边形【例19】如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE、AB的延长线交于点F ,连接AE、CF 求证：S ABES efc 【例20】如图，已知等边三角形的边长为 10, P是 ABC内一点，PD II AC , PE / AB , PF / BC，点PE PF D , E, F分另【J在 AB, BC , AC上，贝U PD【例21】如图1，在平行四边ABCD中,A 120 ，则 DA图1【例22】如图2，在平行四边形 AB

8、CD中，DB DC ,A 65 , CE BD 于 E，贝U BCE【例23】已知四边形的四条边长分别是D图2a, b, , d，其中a ,b为对边，并且满足a2 b2 c2 d22ab 2cd则这个四边形是（）A 任意四边形C.对角线相等的四边形B.平行四边形D.对角线垂直的四边形【例24】（2009东营）如图3,在平行四边 ABCD中，已知 AD 8cm , AB 6cm , DE平分 ADC 交BC边于点E，贝U BE等于cm D图3【例25】已知平行四边形 ABCD的周长为60cm ,对角线AC、BD相交于O点，AOB的周长比 BOC的 周长多8cm，则AB的长度为cm 【例26】一个

9、平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长 a的取值范围是 【例27】如图，是某区部分街道示意图， 其中CE垂直平分AF , AB II DC , BC II DF ,从B站乘车到E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E，路线2是B C F E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明.【例28】如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD是平行四边形，BE AC , DF AC , E、F是垂足，G、H分别是BC、AD的中点，连接EG , GF , FH HE为公园中小路，问小明从 B 地经E地，H地到F地，与小强从 D地经F地，G地到E地，谁的路程远.【例29】

10、在平行四边形ABCD中，过A任作一直线 AM，过B、C、D作AM的垂线BE、CF、DG , 垂足分别是E、F、G，求证：BE DG CF .【例30】AC是平行四边形 ABCD较长的一条对角线，点O是ABCD内部一点， OE AB于点E ,OFAD于点F , OG AC于点G，求证:AE ABAF AD AG AC .FAGE OB二、平行四边形性质和判定的综合应用【例31】点A、B、C、D在同一平面内，从 AB II CD，AB CD，BC II AD，BC AD .这 四个条件中任选两个，能使四边形 ABCD是平行四边形的选法有（）种A. 3 B . 4C. 5D. 6【例32】如图，已知

11、： AD是 ABC的角平分线， DE II AB,在AB上截取BF AE，连接DE , EF，求 证：四边形BDEF是平行四边形【例33】已知：如图，在平行四边形 ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点 求证： AFD也 CEB; 四边形AECF是平行四边形.【例34】如图所示，P为平行四边形 ABCD内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四 边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC .【例35】如图，四边形 ABCD中，AB II CD , B D , BC 6, AB 3，求四边形 ABCD的周长.【例36】如图所示，在平行四边形 ABCD中，、F是

12、对角线AC上两点，且AF CE ,求证：四边形BEDF 是平行四边形.【例37】A已知：如图，AD / BC、ED / BF，且AF CE .求证：四边形 ABCD是平行四边形.【例38】如图，在平行四边形 ABCD的各边AB , BC, CD、DA上，分别取 E , F , G , H，使AE CG、 BF DH，求证：四边形 EFGH为平行四边形【例39】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P ,过点P作直线交AD于点E ,交BC于点PE PF，且AP AE CP CF .求证：四边形 ABCD是平行四边形.【例40】如图，在平行四边形 ABCD中，点E , F在AD , BC上，

13、且AE CF , AF与BE交于点M , CE【例41】【例42】【例43】【例44】与DF交于点N，求证：四边形如图，在平行四边形 ABCD中, 四边形MFNE是平行四边形.EMFN是平行四边形点M、N是对角线AC上的点，且ABCD的AD、BC边上的点，且AM CN，DE BF，求证:AE CF .如图，E、F分别是平行四边形求证： ABE也 CDF ;若M ,N、分别是BE、DF的中点，连接 MF、EN，试判断四边形 MFNE是怎样的四边形, 并证明你的结论.如图,0B、过四边形 ABCD对角线的交点0作直线EF交AD、BC分别于E、F,又G、H分别为 0D的中点，求证：四边形 EHFG为

14、平行四边形.如图，为平行四边形.ACD、 ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB AC时，证明四边形 ADFE【例45】如图，点E, F , G, H , M , N分别在NH / MG / BC , ME / NF / AC , 出发，黑蚂蚁沿路线 F N H 爬行，那么（）A.B.C.D.【例46】【例47】【例48】ABC的BC, AC , AB边上，且GF / EH / AB，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从E M GF爬行，白蚂蚁沿路线 F B A黑蚂蚁先回到F点 白蚂蚁先回到F点 两只蚂蚁同时回到 F点哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定ABCD的对边AB、CD为边分别在

15、外作等边 平行四边形.等边 ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且 四边形CDFE是平行四边形.如图，已知AC是平行四边形 ABCD的对角线, BPDQ是平行四边形.ABE、等边 CDF 求证:四边形AECF是FCD BE，所以 AD为边作等边 ADF 求证:ACP和 ACQ都是等边三角形，求证：四边形【例49】如图， ABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点， EF / AB , DF / BE 求证：DF与 AE互相平分.F【例50】已知BD为平行四边形 ABCD的对角线，过C作CE / BD，连接AE交BD的延长线于F， 求证：AF FE A【例51】如图，田村有一口呈四边形的池塘

16、，在它的四个角 A ,B,C,D处均种有一颗大核桃树，田村准备 开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四 边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由【例52】如图，在ABC中， 的延长线上取一点 FACB 90 ，使AF，点E为AB中点，连结CE ,过点E作ED BC于点D，在DE CE .求证：四边形 ACEF是平行四边形.【例53】如图，在平行四边形 ABCD中，DE AB于E , BM MC DC，那么 EMC与 BEM的大小关系怎样？【例54】已知平行四边形 ABCD , BC 2AB , M为AD的中

17、点，CE AB .求证：EMD 3 AEM .【例55】已知：如图，平行四边形 ABCD中，AE、BE、CF、DF分别平分 BE、DF的延长线分别交 AD、BC于点M、N 连接EF，若ADBAD、 ABC、 BCD、CDA,【例56】如图，P为平行四边形 ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交平行四边形于 E、F、H四点，右SAHPE3， SpFCG5，求 Spbd -【例57】已知五边形 ABCDE中，AC II ED , 证：BCP也 QDE.交 BE 于点 P , AD II BC , ?交 BE 于点 Q , BE II CD，求【例58】如图，在 ABC中，AB AC , AD 交 AC 于 F。 求证：2AD=PE+PF ;EBC于D，点P在BC上， PE BC交BA的延长线于 E,【例59】如图，在等腰 ABC中，延长边AB到点D ,延长边CA到点E ,连接DE，恰有AD BC CE DE .求证：BAC 100 .【例60】如图，四边形EFGH中，若1 2，贝U 3必然等于 在平行四边形 ABCD中取一点P，使得 5 6，求证:【例61】【例62】【例63】4请运用结论证明下述问题：如图,78.H如图所示，在平行四边形 AB