平面向量与三角形四心问题

1、平面向量基本定理与三角形四心已知0是. ABC内的一点，厶BOC, .lAOCjAOB的面积分别为 SA , SB , SC ,求证:Sa 0A SbSc 0C 二 0如图2延长0A与BC边相交于点D则BDDC罟0B ID05鱼oBSB ' SC六0CODOA_ SBODSBOA_ Mod Si SCOABod ScodSBOA ' SCOASASb ScSaOASb ScOCoASb ScSa 0A Sb QB SC 0C = 0推论o是abc内的一点，且x0A y0B zOC = 0，则S BOC : S COAS A0x: y:zO是ABC的重心有此定理可得三角形四心向量

2、式S aob =1:1:1= OA OB 0C = 00是ABC的内心=a:b:c：=a 0A b*OBO是. ABC的外心二 S boc : S-coa : S-aob =sin2A:sin2B:sin2C二 sin2AOA sin2B OB sin2C OC 二 0O是ABC的垂心 =Sboc : S.coa : S aob =tan A: tan B: tanC二 tan A OA tan B OB tanC OC 二 0B证明：如图O为三角形的垂心,tanA,tanBADCD 二=tan A: ta nB=DB:AD DBS boc : S coa = DB : ADSboc : Sc

3、oa =tan A: tan B同理得 S coa : S aob =tan B ：tanC , S boc : S a°b =tan A：tanCS.boc : S coa : S aob =tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统4.2三角形“四心”的相关向量问题一知识梳理:四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2： 1 ；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直;(3) 内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等。与&

4、quot;重心”有关的向量问题1已知G是 ABC所在平面上的一点,若 GA GB GC=0，则G是厶ABC的()A.重点B.外心 C.内心 D.垂心如图.O图2已知0是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP =0A (AB AC), (0, :：)，则P的轨迹一定通过 ABC的().A.重点B.外心 C.内心 D.垂心【解析】由题意 (AB AC)，当(0,时，由于 (AB AC)表示BC边上ACI ACIsinC(入的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图 3 .0是厶ABC所在平面内一点，动点P满足-二| 匸I ABIsinB( 0,

5、+x),则动点P的轨迹一定通过厶ABCM()A.内心B.重心 C.外心D.垂心解：作出如图的图形 AD丄BC由于|瓦|sinB= |疋|sinC=AD,OP=OA+ X (ABI AB IsinBACI ACIsinC由加法法则知，P在三角形的中线上 故动点P的轨迹一定通过厶ABC的重心 故选：B.与“垂心”有关的向量问题3 P是厶ABC所在平面上一点，若 PA FB二PBPC PA，贝U P是厶ABC的（）A.重点B.外心C.内心D.垂心T T T T T T【解析】由PA PB =PB PC，得田fA P； )=0，即 P3(A=0,所以PB丄CA理可证PC丄AB ,图4已知O是平面上一定

6、点，PA丄BC . P是厶ABC的垂心如图A,:二（0, ：）,则动点的（）.P的轨迹一定通过 ABCA.重点B.外心 C.内心 D.垂心【解析】由题意APAB cosBAC cosC由于AB cosBAC+ AC cosC即cosBBC AC BC+ AC cosCCB =0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点22在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点 P的轨迹一定通过 ABC的垂心，如图.5 若 HABC所在平面内一点，且 hA= HB 2 C2 = HC 则点H是厶ABC的（A.重点 B.外心C.内心D.垂心证明：；ha| - HB=CA2-BC.(HA HB)BA=(CA CB)BA

7、得(HA HB -CA -CB)BA =0即(HC HC)BA =0 . AB _ HC同理 AC _ HB, BC _ HA，故H是AABC的垂心与“内心”有关的向量问题点，且 AB = c , AC = b ,BC=a .若6已知I为 ABC所在平面上的-T i Tal A bl B cIC，则 I 是厶 ABC 的（.A.重点 B.外心C.内心D.垂心图图(a b bAB cAC【解析】£ =iA aB, 13 =IA aC ,则由题意得bea b c7B和7C方向上的单位向量, aI与/ BAC平分线共线，即AI 平分.BAC 同理可证：BI平分.ABC , CI平分.ACB

8、 从而I是厶ABC的内心，如图7已知0是平面上一定点， A, B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足AB AC0P=占 ，丸乏（0,中°°），则动点 P的轨迹一定通过 ABC的lH lACb（）A.重点B.外心 C.内心 D.垂心【解析】由题意得AP表示.BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过 ABC的内心，如图.8 若 O 在 ABC 所 在 的 平 面 内：/'，：，| 厂'，则 O是厶ABC|AC |AB |BC |BA |CA |CB |的（ ）A.垂心 B.重心 C.内心D.外心解：向量的模等于1,因而向量a是单位向量向量

9、r、° 和"等都是单位向量：为邻边构成的四边形是菱形,|BA| |BC| |BC|由向量亠r 、1AC|- 1I AC I |AB|可得AO在/ BAC勺平分线上同理可得OB平分/ ABC, OA平分/ ACB 0是厶ABC的内心.故选：C.与“外心”有关的向量问题2 2 28已知O是厶ABC所在平面上一点，若 OA2 =OB2 =OC2，则O是厶ABC的（）.A.重点B.外心 C.内心 D.垂心图【解析】若OA -OB -Oc2 ,则Oa72 r2-OB -O2 , OA =OB =OC，则 O 是 ABC的外心，如图。9 已知O是平面上的一定点，A, B, C是平面上不

10、共线的三个点，动点P满足(-T、ABACT+ -T(ABcosBACcoCJOP=3C 2:- （0, 二），则动点P的轨迹一定通过 ABC 的（）。A.重点B.外心C.内心 D.垂心【解析】由于OB °C过BC的中点,2当八三（0,：）时,ABcosBAC+ AC cosC示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点 P的轨迹一定通过 ABC的外心，如图四心的相互关系1. 三角形外心与垂心的向量关系及应用设 ABC的外心为O，则点H为 ABC的垂心的充要条件是 OH =OA OB OC 。2. 三角形外心与重心的向量关系及应用设厶ABC的外心为O，则点GABC的重心的充要条件是'Og（OA ob OC）33. 三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设厶ABC的外心、重心、垂心分别为 °、G、H，则°、G、H三点共线（°、G、H1三点连线称为欧拉线），且OG =GH。2相关题目10.设 ABC外心为°,重心为G.取点H,使O- -I :1.求证：（1） H是厶ABC的垂心；（2） 0, G H三点共线，且 °G GH=1 2.【解答】证明：（1）v ABC外心为O,门一门-又1" - I '- 1'"： U- I