平行线、角平分线联手演绎等角对等边

1、平行线、角平分线联手演绎等角对等边平行线、角平分线联手作为条件，能解决许多问题二者联手演绎等角对等边，就是一个典型例1、如图1所示，BE是/ ABC的角平分线，点 D是边BA上的一点，DF/ BC,交BE 于点F,请你猜一猜BD与 DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。解：猜想：BD=DF证明：因为，BE是/ ABC的角平分线,所以，/ ABF=Z CBF,因为，DF/ BC,所以，/ DFB=Z CBF,所以，/ DFB玄ABf所以，BD=DF等角对1等边）例2如图2所示，BF是厶ABC的角平分线，过点图1F作DF/ BC,交BA于点D,3 / 3图2F作DF/ BC,交BA于点D,请你猜一猜

2、BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。解：猜想：BD=DF证明：因为，BF是/ ABC的角平分线，所以，/ ABF=Z CBF,因为，DF/ BC,所以，/ DFB=Z CBF,所以，/ DFB玄ABF所以，BD=DF等角对等边）例3、如图3所示，BF、CF是厶ABC的角平分线，过点交BC于点E, 请你猜一猜DE与BD CE之间有怎样的大小关系？证明你的猜想。分析：利用原题的结论，不难得到： BD=DF,CE=EF, 而 DE=DF+EF,所以，DE=BD+CE.解：猜想：DE=BD+CE.证明：因为，BF是/ ABC的角平分线,所以，/ ABF=Z CBF,因为，DF/ BC,所以，/

3、DFB=Z CBF,所以，/ DFB玄ABF所以，BD=DF等角对1等边）同理可得：EF=CE, 因为，DE=DF+EF, 所以，DE=BD+CE.例4、如图4所示，BD是/ ABC的角平分线，AD/ BC,那么， ABD是等腰三角形 吗？为什么？证明你的猜想。分析：根据我们对原题的剖析和结论，应该比较容易得到：AB=AD根据等腰三角形的定义，知道 ABD是等 腰三角形。证明的过程读者可以自己完成。DF/ BC,交 BE图5例5、如图5所示，BE是/ ABC的角平分线，点 D是边BA上的一点, 于点F,如果/ ABC=60 , BF=6cm求：三角形BDF的面积。解: 因为，BE是/ ABC的

4、角平分线,所以，/ ABF=Z CBF,因为，DF/ BC,所以，/ DFB=Z CBF, 所以，/ DFB玄ABF 所以，BD=DF等角对等边）,所以， BDF是等腰三角形，如图6,过点D作DGL BF,垂足为G根据等腰三角形三线合一的性质，得：BG=GF,因为，BF=6cm 所以，BG=GF=3cm,因为，/ ABC=60，所以，/ DBF=30 ,在直角三角形 BDG中，设 DG=xcm贝U BD=2xcm2 2 2根据勾股定理，得：(2x) -x =3 =9, 解得，x= . 3 ,111 2 所以，三角形BDF的面积为：6泊川3 =3 3 (cm)。2例6、如图7所示，点P是/ AOB的角平分线上的一点，过点P作PC/ 0A,交0B于点C,如果/ AOB=60 , 0C=4cm点P到0A的距离PD为 分析：因为 0P平分/ AOB / AOB=60 ,所以，/ AOP =/ POB =30°,因为，PC/ OA,得:/ AOP =/ OPC =30°,所以，PC=OC=4|/ PCB玄 POB +/ OPC =60°,点P是/ AOB的角平分线上的一点， PD丄OA过点P作PE丄OB贝U PE=PD,在直角三角形PCE中，/ PCE=6