求双曲线标准方程的技巧

1、精品资料欢迎下载求双曲线标准方程的技巧在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算，优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。一 双曲线的一般方程例 1求经过点 P 3,2 7 ,Q 62,7的双曲线标准方程。分析 双曲线的标准方程有两种形式：x2 y2 （a ， b ）或 y2 x2a2b2a2b2（ a ， b ），可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。解 设 双 曲 线 方 程 为 Ax 2 By 2 （ AB ）。 因 为 所 求 双 曲 线 经 过 点P3,2 7, Q9 A28B1,1 。故所求双曲6 2,7 ，所以49B解得A 1，B72

2、A1.7525线方程为y2x2。2575说明求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为Ax 2 By2 （ AB ），这样可以简化运算。二 等轴双曲线例等轴双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，与直线 x 2 y 交于两点A B、 ，且 AB215 。求此等轴双曲线的方程。分析根据等轴双曲线的特点，可以设含有一个参数的方程x2 y 2 a2 （ a ），求出 a 即可。解 设等轴双曲线方程为x2 y 2 a2（ a ）。由x2y2a2 , 解得交点 A 、 Bx2y0.2a , a2a ,a22的坐标分别为、。因为 AB4a2a15

3、 a 3 23333332 15 ，所以 a 。故所求双曲线方程为x2 y2 。说明等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质， 比如：离心率 e 2 ，渐近线方程为y x 且互相垂直等等。三 共焦点双曲线例已知过点 32, 2x2y2有共同焦点的双曲线的标准方，且与双曲线164精品资料欢迎下载程。2分析根据双曲线焦点与a2 、 b2 的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为xy216k（k 16），求出 k 即可。4k解 设双曲线方程为x2y2（ k 16），将 32, 2代入，得 k 16k4k。故所求双曲线方程为x2y2。128说明与双曲线x2y2共焦点的双曲线方程可设为x2 2y2a

4、2 22k（babkb2 k a2 ）。根据椭圆与双曲线的关系，与椭圆x2 y2共焦点的双曲线方程可设a2b2为x2y2（ b2 k a2 ），请注意它们的区别。a2kb2k四共渐近线双曲线例 4求经过点3,23，且与双曲线x2 y2有共同渐近线的双曲线方程。916分析因为双曲线x2y2x2y2，因此与的两条渐近线方程为双曲线169169它共渐近线的双曲线方程可表示为双曲线x2y2（）。916解设双曲线方程为x2y2（），因为双曲线经过点3,2 3 ，所以9163222322221 。故所求双曲线方程为x y 1 ，即 x y 。91649164944说明 求共渐近线的双曲线方程也可以讨论焦点

5、分别在两条坐标轴上的情况，以上解法避免了讨论过程，使解题更合理。另外，以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。 显然共轭双曲线有相同的渐近线， 因此求共轭双曲线方程时可以采用这个方法。五 同离心率的双曲线精品资料欢迎下载2 2例 5 求经过点 2,0 ，且与双曲线 x y 的离心率相同的双曲线的标准方程。6416分析 因为一条双曲线和双曲线x2 y2（ a 0，b 0）离心率相同，那么它a2b2的焦点可能在x 轴上，也可能在 y 轴上。若焦点在 x 轴上，它的方程可设为x2 y2 （ aa2b2 0， b 0，）；若焦点在 y 轴上，它的方程可设为y2 x2（a

6、0， b 0，a2b2）。解 （ 1）当所求双曲线的焦点在x 轴上时，它的方程可设为x2 y2 （），6416将2,0 代入，得 1 。此时所求双曲线的标准方程为x2 y2。164（）当所求双曲线的焦点在y 轴上时，它的方程可设为y2 x2（），6416将2,0 代入，得 1 （舍去）。4故所求双曲线的标准方程为x2 y2。4说明已知同离心率与相同渐近线求双曲线方程的方法类似，请你比较它们的区别。六 已知双曲线渐近线的双曲线例求一条渐近线方程为3x 4 y ，一个焦点是4,0 的双曲线方程。分析由 3x 4 y ， 得 x y ，因此借助与共渐近线方程问题的方法，设所43求双曲线方程为x2y2），求出即可。16 （9解根据题意，可设所求双曲线方程为x2 y2（）。又因为焦点在x 轴169上，所以。因为 c ，所以16 9 16，解得 16 。故所求双曲线方程为x22525625精品资料欢迎下载y2。14425说明渐近线方程为x ± y 或 y