求导法则(一)

1、§ 3.2求导法则（一）教学内容1. 函数的和、差、积、商的求导法则；2. 反函数的求导法则；3. 复合函数的求导法则 . 教学重点与难点导数的运算法则及导数基本公式 .简要复习上节内容1. 导数的定义；2. 导数的定义的几种形式；3. 可导的充要条件；4. 函数可导与连续的关系；5. 导数的几何意义、物理意义 .一、导数的四则运算法则设 uu( x), vv( x) 都在 x 处可导，则有 (uv)uv ； (uv)uvu v ；(cu) cu ； ( u ) vu 2 uv .v v我们现在只证明 .证 设 f ( x) u( x)v( x) 则f ( x)limf ( xh)f

2、 ( x) = lim u( xh)v( xh)u( x)v( x)h0= lim u( xh0= lim u( xh0例 1f ( x)x3hh 0hh)v(x h) u( x h) v( x) u( x h)v( x) u( x)v( x)hh) v( xh)v( x) +lim v( x) u( xh) u( x)=uv u vhh0h4cos xsin，求 f( x) ， f () .22解 f( x) =3x24 sin x ， f () = 324 .24例 2求 yx2 log a x3tan x1的导数 .sin x解 y2x log a xx23sec2 xcos x .x

3、ln asin2x=2x log axx3sec2 xcsc x cot x .ln a二、反函数求导法法则 ： 若 x( y) 单调、连续，在y 处可导 . 且( y) 0. 则它的反函数yf ( x) 在对应点 x 处可导，单调 . 且 f (x)1( y)证由单调性当x0时， y0从而y1，又因为 yf (x) 连续，xxy当 x0 ， y0 ，从而 f (x)1.( y)利用以上定理可以证明：(arcsin x)1，(arccos x)1；1x21x 2(arctan x)12 ，(arc cot x)12 .1x1x三、复合函数求导法则法则： 设 yf ( (x) 是由y f (u)

4、, u(x) 复合而成 . 若 u( x) 在 x 处可导， 而 yf (u) 在 u 处可导 . 则 yf ( x) 在 x 处可导且 dydy dudxdu dx证y f (u) 在 u 处可导，则有limyf (u) ，y(u)，其中ufu0u0 .可以推得yf (u) uu用 x 0 除以式有yf ( u)uu ，所以xxxdylim f(u)ulimu = dy du .dxx 0xx0x du dx这个法则相当重要， 称为复合函数的 链式法则 . 复合过程可推广到多个情形.例 3 求 (e3x )解 ye3x 为 y eu , u3x 复合而成，所以 dydy du =eu 3 =

5、3e3 x .dxdu dx例 4求 y (ln tan x)解yln tan x 由 yln u, utan x 复合而成，所以dydy du=1sec2x2 csc 2xdxdu dxu注：在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程，可直接写出结果.例 5yln( x1x2 )解 y1(1x)=1.x2x11x21x2例 6f ( x)x2a 2a arccos ax解 f ( x)xa1(a2 ) =xa 2x.222222x22xa1a 2xaxxax例 7y( f (axb) n解 y nfax bn 1 f(ax b a .()例 8yarctg (ln( axb)解y11a .1ln

6、 2 (axb) axb例 9已知 f ( x)x( x1)( x2)( x100)，求 f(0)法 1： f(0)= limf ( x)f (0) = limx( x1)( x 2)( x100)100 ！.x0x0x 0x法2：f( x)( x1)( x 2)( x100)x( x1)( x2)( x 100) .=100 ！例 10设 f ( x)1g ( x) sin ,x 0g (0) =0，证明： f (0) =0x且 g(0)0, x 0f (x)f (0)g( x) sin 1证 f(0) = lim=limx ，又因x 0x0x 0xg (0) =limg( x)g(0)li

7、mg( x) =0，且 sin11 ，x 0x0x 0xx故易知 f (0)=0.例 11设 f ( x) 在 1,1 上有界， g( x)f ( x) sin x2 ，求 g (0)解 g (0) =lim g( x)g( 0)lim f ( x) sin x 2lim f ( x)x 0 .x 0x0x 0xx 0小结1. 函数的和、差、积、商的求导法则；2. 反函数的求导法则；3. 复合函数的求导法则 .作业作业 : p1038奇数题，预习：§ 3.2P808615奇数题；§ 3.2求导法则（二）教学内容1. 隐函数的导数；2. 由参数方程所确定的函数的导数；教学目的

8、1. 熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法；2. 掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法；3. 熟练掌握对数求导法；4. 理解和会求相关变化率 .教学重点与难点掌握隐函数与参数式所确定的函数的二阶导数的求法，相关变化率的计算.复习上节内容1. 函数的和、差、积、商的求导法则；2. 反函数的求导法则；3. 复合函数的求导法则 .一、隐函数的导数1. 隐函数的定义 ：形如 yf (x) 的函数为显函数 . 而由方程 F ( x, y)0 或 f (x, y)g( x, y)所确定的函数为隐函数2. 隐函数求导法 ：将方程两端对 x 求导（ y 看成 x 的函数），然后解出 y

9、例 1 已知 eyxye 0，求 dy .dx解： ey y xyy0 从而 yy.xey例 2 已知 y52 y x 3x70 ，求 dyx 0 .dx解： 5 y4 y2 y 1 21x60 则 y21x6 1 .2 5 y4将 x0 代入原方程里得 y 0所以 dy1.dx x 023. 对数求导法 （多用于求幂指函数 f ( x)g (x ) 与多因式函数求导问题，两边取对数，变显函数为隐函数，再使用隐函数求导法求导）例 3y(tan x)sin x ，求 y解： ln ysin x ln tan x ,1ycos x ln tan xsin x1sec2 x .ytan x所以 y(

10、tan x)sin x cos x ln tan xsin x1sec2 xtan x法 2： yesin x lntan x ，所以 yesin ln tan xcos xln tan xsin x1sec2 x .tan x例 4 y( x1)( x2)( x 3)( x 4)解： ln y1 ln( x1)ln(x2)ln( x3)ln( x4) ,21 y11121x1y2 x1xx 34所以 y1 1111 (x 1)( x 2) .2 x 1 x 2 x 3 x 4( x 3)( x 4)二、参数方程求导法设参数方程为x(t ), ，y(t).t,显 然 若 x(t ) 存 在 反

11、 函数t1 ( x) 则 y1 (x) 为 x 的复合函数，若 x(t ) ， y(t ) 可导，且dydy dtdy(t )(t ) 0 ，则由复合函数求导法则有：dt，dxdt dxdx =(t )dt例 6已知椭圆参数方程为xa cost, ，求椭圆在 t处的切线方程yb sin t.4解： 先求 t处所对应的椭圆上的点 M 0的坐标为 (2 a,2 b) ，在点422M 0 处切线的斜率 kdyb costb , 所以所求的切线方程为dx t4asin tt4ay2 bb (x2 a).2a2例 7求三叶玫瑰线 ra sin 3 在处的切线方程3解：先将其化为参数方程xa sin3co

12、s ,在处对应点为 (0,0) ,ya sin3 sin .3kdy3acos3sinasin 3cos3dx 33acos3cosasin 3sin3所以所求的切线方程为y3x.小结1. 隐函数的求导法；2. 对数求导法；3. 由参数方程所确定的函数的导数的求法作业作业 : p104 24 ，25， 26；§ 3.2 求导法则（三）高阶导数教学内容函数的高阶导数；教学目的1.会求函数的一阶二阶导数和简单函数的n 阶导数；2. 掌握抽象函数的一阶二阶导数的求法 . 教学重点与难点抽象函数的一阶二阶导数的求法复习上节内容1. 函数的和、差、积、商的求导法则；2. 反函数的求导法则；3.

13、 复合函数的求导法则 . 一、高阶导数的概念我们知道 yf ( x) 的导函数f ( x)仍为x 的函数，当然可以继续求导数. 称yf ( x) 的导数( y )( f ( x)为yf ( x)的二阶导函数，记为y ，或f( x)、d 2 ydx 2类似的我们可以三阶、四阶 n 阶导数，记为 y = ( y ) ， y (n) ( y( n 1) ) ，由此可见高阶导数的求导法为反复求导法例 1 y ax b，求 y .解 ya ， y=0.例 2证明 y2xx 2，满足关系 y3 y 10 .证y22x=1 x，2xx22x2x 22xx 2(1x)2 2 x22xx21 2 xx212 2

14、x xy =，2xx23y3(2xx2 ) 2则 y 3 y1 0.二、 n 阶求导公式例 3求 yex 的各阶导数解：y (n )ex .例 4 已知 y sin x ，求 y( n) ( x) .解：ycos xsin( x)2y =sin xsin( x2)2y( n)sin( xn)同理可以推得(cos x) (n)cos( xn)22例5yln(1x) ，求y( n)(x) .解：y1x(1x) 1,y(1)(1x) 2 , y( 2)(1)(1 x) 3 1y( n)(1)n 1( n1)! (1x) n在求 n 阶导数的过程中 . 关键是找规律，最后归纳到一般 .例 6 求 yx

15、u 的 n 阶导数解： yuxu1 ， yu(u1)x u2 ， yu(u1)( u2)x u 3 ，y (n)u(u1)(u2)(un1) xun .特别地，当un 时，(xn)( n)!n .下面我们来导出和、差、积的n 阶导数公式 .1.(u v) (n )( u) ( n )( v) ( n ) .2.(uv)( n) =u( n)vnu (n1)vn(n1) u(n2) vuv(n ) .2!其中， (uv) (n) 有点特别 . 事实上，(uv)u vuv(uv)u v2u vuv(uv)u v3u v3u vuv(uv)( n ) =u(n )vnu (n1)vn(n1) u (n2) vuv(n )2!此公式称为莱布尼茨公式 .例 7 使用莱布尼茨公式计算 yx 2 e2 x 的 20 阶导数解：令 vx2 , ue2x，且 u( k)2k e2 x ，所以20( x2 e2x )( 20)C 20ku( 20k ) v( k) =C200 u( 20)v (0 ) +C201u(19) v +C202u( 18) vk 0=220 e2 x x2 +2 219 e2 x 2x + 2019 218 e2x 2= 220 e2 x ( x220 x 95) .2例 8试