弹塑性力学学习笔记

1、弹塑性力学应力状态：作用在同一点所有不同外法线方向微面上的应力矢量的集合 如何求任意一个已知外法线方向（l,m,n）的截面上的应力分量（）？T是作用在斜面上的合力, 由四面体的平衡可以得到:6 二 Tn 二 Txl Tym Tzn取相互垂直的三条边，作为三个坐标轴，和一个法线方向角为l,m,n的斜面围成一个四面体,Tx =6 +gyxm + izx na可yxJxTy =Exyl +bym +zy nTyhy巧JmTz+iyzm +z nOz丿Jln丿那么，该外法线方向（l,m,n）上的力大小T= Jt：2 2Ty +TzTx ,Ty ,Tz ,分别为T在x轴，y轴和z轴上的分量。又，我们可以

2、知道微面上合外应力T在法向上的投影:所以，又可以知道切应力的大小 变换坐标轴，怎样用一个和新坐标系的坐标轴方向一致的单元体上的应力来表示原先该点的 应力状态？ 设新坐标轴是（X，y: Z）,旧坐标系是（x, y, z）这个问题的实质是把原先某点在新坐标系坐标轴正向为外法线的的平面上的应力分解（投 影）到新坐标系下的坐标轴上去。设原先在（x，y, z）坐标系下用单兀体表示的应力状态是:-xxyxzyx-yyzzxzy二 z现在在新坐标系下（z）用新坐标系下的单元体表示的应力状态:tj r T .xyxT r F a xy yzxxzy zzyCTz则，我们可以先通过-xxyxzyxCyyzzx&

3、#39;zyaz，求以x、y、z 坐标轴为外法线的截面上的应力以X为例: 在以X坐标轴为外法线的截面上的应力为:可yx2£、Ty=巧xy巧zy«12E丿5宀13a1 2«13 '农11«2 2«2 3Ty«212«3 3 ；丿严31那么，“丿3：'1222>32：'1323>33X/ >> yxv zx0( 1*1yzy®12v yz口 zx务11«12°1x打yxxy*C<21a2223T(Jxyy所以，芒31 32a33> /TTI

4、 * xz曾 yz又,Si '吟2<ai 3 )ITyX*TzX*1、Ty=J* ay *0R丿I%，TyZ*Jvjx*丿fC rT r fT r rxvyxvzx01*1Ot 120(. 1 3CTTTx豎yx豎zx11 Ot 1 2 Ot 1 3T r rCJ rT f r“xyy*zyC<2 1 色 2% 3TCJTvxyy豎 zy2*1 2*223<Txr S az31 a32 33 JTTCJJxzyzz丿ft 31a3*2 a 33 J将上面的矩阵两边转置，同理可得y I z 方向上的应力分量，将他们合并得:如何求解一元三次方程：盛金公式一元三次方程 aX

5、A3 + bXA2 + cX + d=0, (a, b, c, d R,且 aO。重根判别式：A=b 3ac;B=bc 9ad;C=c 3bd,总判别式： =B 4AC。当 A=B=0 时，盛金公式( WhenA=B=O , Shengjin ' Formula )：X仁 X2=X3= b/(3a)= c/b= 3d/c。当 =B- 4AC>0 时，盛金公式( WhenX =B 4AC>0 , Shengjin ' formula )： X1=( b (Y1 + Y2)/(3a);X2 , 3=( 2b + Y1 + Y2±3 (Y1 Y2)i)/(6a)

6、;其中 Y1 , 2=Ab + 3a ( B±(B 4AC)/2 , i= 1。当 =B- 4AC=0 时，盛金公式( WhenX =B 4AC =0 , Shengjin ' formula)： X1= b/a+ K; X2=X3= K/2 ,其中 K=B/A , (A工0。当 =B- 4AC<0 时，盛金公式( When =B 4AC<0 , Shengjin ' formula )：X1= ( b 2Acos( B /3)/(3a);X2 , 3= ( b + A(cos( 0 /3) ± 3sin( 0 /3)/(3a) 其中 B =ar

7、ccosT， T= (2Ab 3aB)/(2A) ， (A>0 ， 1<T<1) 。盛金判别法Shengjin 'Dsistinguishing Means ：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ：当 =B 4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ：当 =B 4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ：当 =B 4AC<0时，方程有三个不相等的实根。盛金定理Shengjin 'Tsheorems当b=0, c=0时，盛金公式无意义；当 A=0时，盛金公式无意义；当AW0时，盛金公式无意义；当 T V -1或T > 1时，盛金公

8、式无意义。当b=0, c=0时，盛金公式是否成立？盛金公式与盛金公式是否存在AW0的值？盛金公式是否存在 TV -1 或 T> 1 的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1:当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0 (此时，方程有一个三重实根0,盛金公式仍成立) 。盛金定理2:当A=B=0时，若b0,则必定有c0(此时，适用盛金公式解题)。盛金定理3 :当A=B=0时，则必定有 C=0 (此时，适用盛金公式解题)。盛金定理4:当A=0时，若B0,则必定有 > 0 (此时，适用盛金公式解题)。盛金定理5 :当A V 0时，则必定有 > 0 (此时，适用盛金公式解题)。盛金定理

9、6 :当 =0时，若B=0，则必定有 A=0 (此时，适用盛金公式解题)。盛金定理7:当 =0时，若B0,盛金公式一定不存在AW0的值(此时，适用盛金公式解题) 。盛金定理 &当< 0时，盛金公式一定不存在AW0的值。(此时，适用盛金公式解题)。盛金定理9:当< 0时，盛金公式一定不存在TW1或TA1的值，即T出现的值必定是 -1 V TV 1 。显然，当AW0时，都有相应的盛金公式解题。当 =0(d丰(时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表 达形式较简明， 使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重 根判别式A=bA2 3ac； B=bc 9ad； C=cA2 3bd是最简