微积分计算公式共5

1、§3-6常用积分公式表例题和点评(l)jdx=Arx+c (R 为常数) J工-1) = X 却 + c特别，f 2 =-丄+ C ,J "X J 丄 dx = In I x I + c”ckJ sinxdx = -cosx+cna+C 'Jx(Lr+c ,J -d.r = 2x +c特别，J "" = e' + cJ cosxdr =sinx+c(7) f dx = f csc2xdx = -cotx + cJ sin xJ(8) fdx= fsec2 xdx = tanx+cJ cos2 xJ卅或Mxf 1=dr =arcsin+ c

2、 (« >0), 特别，亠= arcsinx + c x2«J Jl-Flxf7dx = arctan+c (a >0),特别，I+ c(a>0)+ c (a >0)rdx = arctan x +c1 + x2(13 Jtanxdjr = -ln|cosx| + c(1? Jcotxdx = ln|sinx| + c(10 fcscxch = f ch =JJ sin xIn |cscx-cotx|+cIn tan +c2G9 fsecxdx = f !dx =JJ cosxln|secx + tanx|+cIn tanC ax . . asinb

3、x -bcosbxI e sinoxdx =zzeJa2+b2第132页跟我做练习（一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个 积分公式）例24含根式yjcix2+bx+c的积分 J-4x + 5 血=J J(x- 2)2 +1 d(x-2)套用公式(18)=gJ*_4x + 5d(x2 _4x + 5) + 2JQx1 _4x + 5ch-=(请你写出答案)血=|1d(x 2) = ln(x 2) + J(x 2)2 + lJ Vx2-4x + 5J(x_2尸+11-套用公式(16)f厂 ' 川一心“ U fZ) ,2f1J >Jx2 -4x + 52 J J

4、F -4x + 52 J yjx2 -4x + 5 J Jx? -4x + 5=（请你写出答案）套用公式（17）J xl5 + 4x-x2dx =2R + 4x-x2 d.vJy/s + Ax-x2 d(5 + 4a-x2) +=(请你写出答案)(7) f竺 yy 套用公式=arcsinJ J5 + 4x-F J J32_(x_2)23 f acLv _ 1 f(4一2x)-4dx _ 1 f d(5 + 4x-x2) f 山J J5 + 4x-F -2J5 + 4兀-十+ 4x-x2J J5 + 4x-F=(请你写出答案)例25求原函数丄山J 1 + x4解因为1 + x4 =(1 + 2x

5、2 +x4)-2x2 =(1 + x2)2 -(V2x)2 =(1 + V2x + x2)(1-V2x + x2)所以令= 牛 +(A b. C D为待定常数)x2+V2a + 1 异-屈+ 1_ (Ar + B)(x2-72a + 1) + (Cx+ D)(x2 + 屈 +1)(X2 + y/2x + l)(x2 -届 + 1)从恒等式（Ar + B）（x2 - /lx + 1） + （Cx + D）（x2 + 1）1 （两端分子相等），可得方程组B + D = lA-近 B + C +迈 D = 0一迈 A + B +近C + D = O（常数项）（一次项系数）（二次项系数）A + C =

6、 O （三次项系数）x2 + y/2x +1dr +解这个方程组（在草纸上做），得心缶吨'一汾吨.因此,右端的第一个积分为1 f (2x + >/2 ) + y/2di =1 r (2x + yi) + V?d丫 _ 丄 f(2x + 打4>/2 J x* + >/2x +14>/2 J + >/2a* +1 4 J1 fd(x2+V2x + l)+1 一孫 J “ +屈+ 4亍血（套用积分公式）卜¥） +申=汾曲+屈+ D +汾arctan（伍+1）类似地，右端的第二个积分为f * -I .J冷却'一砸曲-屈+ D +丽arctan（屈

7、-1）所以p |兀2 + 1jIrdx = In_二+ arctan(>x+l) + arctan(>/2x-l)J 1 + x44V2 x2-V2x+1 2y/22>/2=丄 In £ +1 + 丄arclan 婕(见下注)4>/2x2-x/2a + 12>/2 l-f【注】根据tan(a + 0)= +伽，则1 一 tan a tan ptanarcw(低 +1) + arc®(届-1)=(计)+(%)=里 L1_(a/L: + 1)(5/L: 1)2(1-x2)1-x2因此，arctan(>/2x + 1) + arctan(>

8、;/2x -1) = arctan1一厂例 26 求(0<xl). 关于(0<<1),见例 17 J 1-ECOSXJ 1 + ECOSX解令z = tani(¥角替换)，则2cos x = cos- 一 一 snr - = 2cos- - 1 =2 2 22sec2-2一 1 =1 +tan2 丄22ch =d(2 arctan /) = d/1+/2于是，r drJ 1 一 £COSXdr1+/2(1 一g) + (l + £” 1 + £ j 1-£dr+八1 + g第134页2Jl + £2l + £

9、; X= 严 arctan ，t + c = arctan tan - + cJl _g2J_£ J _£?2【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求 它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数y = Xx）的导数 或微分可以用一个“构造性”的公式y（x） = linvV（A+/?）-，（A）或dv = y（x）dvi h确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法积分法作为 微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有 理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函 数（这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样）.有的初等 函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如（丄血，算蚊fcLr等JJ lnx J xJ x都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的 微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初 等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多