微积分练习题答案

1、多练岀技巧巧思岀硕果第六单练习题一、选择题1、在球x2+y2+z2-2z=0内部的点是( C )A、(0，0，0) B、( 0，0，-2)C、<111?1222 丿1 1 12,2， 22、点(1,1,1)关于xy平面的对称点是(B )A、(-1,1,1)B、(1,1,-1)C、(-1,-1,-1)D、(1,-1,1)f (xo, y°) f (xo :x, y°)ZC、lim0f (冷X y°：y) f (x°,y°)ZD、Hm f(x,y)-f(x0,y0)0x x03、设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)处存在对x,y的偏导数，

2、贝U fx(Xo,y0) = ( B )lim f(x-2-x,yof(x0,yo)J0x4、函数z=f(x,y)在点(xo,yo)处可微的充分条件是(D )A、f(x,y)在点(xo,yo)处连续B、f(x,y)在点(xo,y0)处存在偏导数C、 lim0，z-f x(x°, y°) X - fy(x°, y°). ：y =0D、 忸匸込牛y匹込1=0其中卩=丹5、已知函数 f (x y,x - y) = x2 - y2，Li 则讨(x,y) ：f(x, y)二(b :x:yA、2x-2yB、x yC、2x 2yD、x-y6平行于z轴且过点(1, 2，

3、3)和(-1, 4，5)的平面方程是( A )A、x y-3=0B、x y 3=0C、y-z1=0 D、z=5 二元函数 z = f (x, y 4x2 y2 在点(0，0)处( D )A、连续、偏导数不存在B、不连续、偏导数存在C、连续，偏导数存在但不可微D、可微 若可微函数z二f(x,y)在点P°(X0,y°)有极值，贝U( C ).A、两个偏导数都大于零B、两个偏导数都小于零C、两个偏导数在点P°(X0,y°)的值都等于零D、两个偏导数异号9、二重积分 h = sin(x y)dxdy, J 二 sin13、设区域 D是单位圆x2 y(x y)dx

4、dy，其中 D是由DD1x=O,y=O, xy=2，x，y=1 围成，贝U( C ).A、II2B、I： 12C、I, l2 D、以上都不对10、设方程 xy . x2 y2 z = . 2 确定了函数 z=z(x,y)，则 z=z(x,y)在点(1, 0, -1)处的全微分dz= ( D )A、dx：； ：j'2dyB、-dx .2dy C、-dx-、2dyD、dx -、2dy11、 二元函数z =x3 -y3 3x2 3y2 -9x的极小值点是( A )A、(1 , 0)B、(1 , 2)C、(-3, 0)D、(-3, 2)12、点(X0,y°)使 fx(x, y) =0

5、且 fy(x, y) =0成立，则(D )A、(X0,y°)是f (x, y)的极值点B、(X0,y°)是f (x, y)的最小值点C、（心丫。）是f （x, y）的最大值点D、（心丫。）可能是f （x, y）的极值点-1在第一象限的部分，则二重积分V2dx 0 xydyB、11 -y20dx0xydyC、11-y20dy 0 xydxWr2si n“dr1°dy, f(x,y)dx10dy0 f(x,y)dx0D可以是（C ）11 -x14、0dx 0 f (x,y)dy =1 -x1A、0 dy 0 f (x, y)dx1 1C、0dy 0 f (x,y)dx

6、15、若 dxdy =1，则积分域DA、由x轴，y轴及x，y-2=0所围成的区域B、由x=1, x=2，及y=2, y=4所围成的区域C、 由冷所围成的区域多练岀技巧巧思岀硕果D、由x + y=1, x y=1所围成的区域二、填空题1、 设 z=ln(x2y2)，贝.22x 2exx+ y111y22、 交换二次积分的次序°dx _ f (x, y)dy = .°dy ° f (x, y)dx3、若 IIa2 _x2 _y2dxdy _ ，贝U a =D,其中D是由x2 ya2围成的区v4、I l f(x, y)d匚在极坐标系下的二次积分为 ，其中D是由x2y2

7、= 4围成的D2兀2区域. df(rcosv,rsin v)rdrJ o $ 0四、计算题1、.求由方程e = xyz所确定的函数z = f (x, y)的偏导数二, Zexccy解：设 F (x, y, z) =ez - xyz，则Fx = -yz , Fzz二 e xy:zFx:xFzyzze - xy；：2z:x :y(eJ 二y-xy(z y 二)(ez - xy) - yz(ez 二 - x)cycy(ez-xy)22z解：-xe z-ezxyz ezy2z xy z y z e(ez -xy)32、设 z = arctan U，其中 u=3x，2y,v=x- y ,求全微分 dz

8、v-'z: z : u : z : v=r r r-u ：-Xu2 v2多练岀技巧巧思岀硕果3(x y)3x 十2y2 2 2 2(3x - 2y) (x 一 y) (3x2y) (x 一 y).zjz ；:u； z=+jn.y ；u ：y；v :yvu22 二 2 (-1)u v u v2(x - y)3x + 2y=+ 2 2 2 2(3x 2y) (x -y) (3x 2y) (x- y)dz 二 °Zdx *dy 訂垒二笃旦dx馭cy(3x+2y) +(x y) (3x + 2y) +(x y)2(x y)3x + 2y,(3x2y)2 (x-y)2(3x2y)2 (

9、x - y)2 d3、设 z 二 u2v，其中 u=3x，2y,v=xy，求全微分 dz解:.x:z ；:u ； z ；:v.:u；:xjv ；xD2=2uv 3 u=6(3x 2y)(x - y) (3x 2y)2:z；:u ； z : v> y.z二 2uv 2 u2 (T)= 4(3x 2y)(x-y) -(3x 2y)2z_z2dz dx dy =6(3x 2y)(xy) (3x 2y)2dx:x: y4(3x 2y)(x-y)-(3x 2y)2dy4、求函数 f (x, y) =4(x-y)-x2 - y2 的极值解：fx =4-2x， fy - -4 - 2y令 fx =0,

10、 fy = 0得 x =2, y = 2由 A = f& - -2, B = fxy = 0,C = fyy - -2知 AC - B 0 且 A . 0故f(x, y)在点(2,-2 )处有极大值,极大值为f(2,2) =85、计算二重积分JJ(3x+2y)dxdy，其中D是由X轴、丫轴及直线x+y = 2所围D成的区域”22_x解：I l(3x 2y)dxdy = J0 dx 0 (3x 2y)dyD2 2(_2x2x 4)dx_ 203解法二、22 _y二：原式dy o (3x 2y)dx2 1 20(-尹-2y 6)dy206、计算二重积分泄dxdy，其中D是由直线y = x和

11、曲线y = x2所围成的闭D x区域.解：.沁dxdyD x1 x sinx= 0dxr x dysin xx(x -x2)dx1= o (sin x - xsin x)dx二 1s in 17、计算二重积分x2ydxdy，其中D是由X轴、丫轴及直线x，y = 2所围成的区D域解: nx2 ydxdy22-2=0dx 0 x ydyJ 2(x2 0-4x3 4x2)dx=_81522 _y解法二：原式=0dy 0 x2 ydx122340細"2y 6y-y )dy8-15w28、计算二重积分i.ie dxdy，其中D是由直线y=x, y=1,x = 0所围成的闭区域解:D本题只能先对x积分再对y积分y21y y2e dxdy = ody 0 e dxD2yey dy-Jf0 ed(y2)(e-1)2五、应用题1 求由曲线y = x3及直线x=2,y=0所围成的图形的面积以及由该图形绕 y轴 旋转一周所产生的旋转体的体积(要求作出草图)2阴影部分面积S二x3dx丨0142x40=4旋转体的体积 Vy =二.；22 -