2012017年全国高考文科导数大题官方解答

1、2012-2017全国卷高考真题导数大题1. (2012新课标全国卷1文21,本小题满分12分)设函数 f(x) =exax2.(i)求f (x)的单调区间；(n)若a=1, k为整数，且当x>0时，(x k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.解：(i) ”*)定义域为(*,), f'(x)=exa,若a E0,则f (x)>0,所以f(x)在(,收)单调递增；若 a >0,则当 x w (-oo,ln a)时，f '(x) < 0 ；当 xw (In a,)时，f'(x) > 0 ,所以f (x)在(-叫In a),单调

2、递减，在(In a, +比)单调递增；(n)由于 a=1,所以(xk)f'(x)+x+1 = (x_k)(ex_1)+x+1 ,x -1一故当 x >0 时，(xk) f (x) +x+1 A0等价于 k < +x(x>0), e 1令 g(x)=f+x,则 9篡)=孝二+1=照" xx 2x 2e -1(e -1) (e -1)由(i)知，函数 h(x)=exx2 在(0, -hc)单调递增，而 h(1)<0, h(2) >0,所以h(x)在(0, &)存在唯一零点，故 g'(x)在(0, &)存在唯一零点,设此零点为口

3、，则口三(1,2),当 xw (0, a)时，g (x) <0 ;当 xw (口，收)时，g '(x) > 0,所以g(x)在(0,十比)的最小值是g(。)，又 g'(a) =0 ,可得 ea=a +2 ,所以 g(a) =c( +1 w (2,3), 由于等价于k <g(a),故整数k的最大值为2 .(I)求a,b的值；(n)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.一一一2-_斛：(I) f (x) =e (ax+a+b) -2x-4 ,由此得 f(0)=4, f1(0)=4,故 b=4, a + b=8从而 a = 4, b = 4;(n)由(i)知，

4、f(x) =4ex(x+1)x2 4x,xx 1f (x) =4ex(x 2) -2x-4 =4(x 2)(ex -).令 f'x)=0 得，x = ln2 或 x = 2,从而当 xw(Q,2)U( ln2,")时，f'(x)>0；当 xw (2,ln2)时，f'(x)<0,故f(x)在(g,2), ( ln2,z)单调递增，在(2,ln2)单调递减，当x = -2时，函数f(x)取得极大值，极大值是 f (-2) =4(1e/).3. (2013新课标n卷文21,本小题满分12分)己知函数f (x) =x2e".(i)求f (x)的极

5、小值和极大值；(n)当曲线y = f (x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.解：(I) f(x)定义域是(,)，f'(x) =F«x(x 2),当 xW(-oo,0)或 xW(2,收)时，f'x)<0；当 xW(0,2)时，f'(x)>0,所以故f (x)在(血,0) , (2,+8)单调递减，在(0,2)单调递增，故当x=0时，f(x)取得极小值，极小值是 f(0) = 0,当x =2时，f (x)取得极大值，极大值是f(2) =2e”,(n )设切点是(t, f (t),则 l 的方程是 y = f t)(x-t)+ f(t

6、),所以 l 在 x 轴上截距是 m(t) =t ft) =t+= t-2 + +3, f t-2t -2由已知和得，t.(-二：,0)(2, 二：)，2令h(x)=x+ ,则当xw(0, 十厘)时，h(x)的取值范围为2衣,十如)， x当xw(，_2)时，h(x)的取值范围为(3,4),所以 tw (-00,0)1) (2,收)时，m(t)的取值范围为(_o0,_3)U2J2, z),综上，l在x轴上截距的取值范围(-«, 4)U2夜,收).4. (2014新课标全国卷1文21,本小题满分12分)1 - a 2设函数f(x)=alnx+x bx(a#1),曲线y=f(x)在点(1,

7、f(1)处的切线斜率2为0 .(I)求 b ；a(n)若存在 址之1,使得f(x0)<，求a的取值范围.a1a解：(i) f (x) =+(1a)xb ,由题设知 f'(1)=0 ,解得 b = 1.x1 - a 9(n) f(x)的定义域为(0,十力)，由(I)知，f (x) = aln x + -x -x ,a1 - a af (x)二一 (1 -a)x -1 =(x )(x -1)xx 1 -a1 a(i)若a W1 ,则一W1 ,当xwq改)时，f'(x)>0, f (x)在(1,收)单调递增,2 1 -a所以，存在x0 之1 ,使得f (x0) <a

8、的充要条件为f(1)< a , a-1a 7即上亘一1 <,解得-尬-1<a<&-1 .2 a -1.1aa .(n)若一<a <1,则>1 ,故当 x= (1,)时，f (x) <0 ；21 -a1 -a当 xW(-a-,z)时，f'(x)A0, f (x)在(1,-a-)单调递减，在(一a-,y)单调递增. 1-a1-a1 -a所以，存在却，使得f(x。)的充要条件为f()<, a-11 -a a-1aaa2a a而 f (a) =alna+a +a- >-a-,所以不合题意.1 -a 1 -a 2(1 - a)

9、a -1 a -1(n i)若 a a1 ,则 f(1) = ±W t = -a -1 <a-. 22 a -1综上，a的取值范围是(一J21，衣1)U(1).5. (2014新课标n卷文21,本小题满分12分)已知函数f(x) =x3 3x2+ax + 2,曲线y = f (x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横 坐标为-2.(I)求 a ;(n)证明：当k<1时，曲线y=f(x)与直线y =kx 2只有一个交点.解：(I) f (x) =3x2 -6x+a , f'(0)=a,曲线y = f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax + 22由题设2,所以a

10、 =1 .a(n)由(i)知， a =1,故 f (x) =x3 -3x2 +x + 2设 g(x) = f (x) -kx + 2 = x3 -3x2 +(1 -k)x +4 ,由题设知1 -k 0,当 xE0时，g(x) =2x2 -6x + (1-k) >0, g(x)单调递增,g(_1)=k _1 <0 , g(0) =4>0,所以 g(x) = 0 在(3,0有唯一实根，32当 x >0时，因为(1-k)x >0 ,所以 g(x) >x -3x +4 ,令 h(x) = x3-3x2 4 , h (x) = 3x(x。2),h(x)在(0,2)单调

11、递减，在(2,收)单调递增，所以 g(x) . h(x) _h(2) =0,所以g(x) =0在(0,)没有实根，综上g(x)=0在R有唯一实根，即曲线 y= f(x)与直线y = kx-2只有一个交点.6. (2015新课标全国卷1文21,本小题满分12分)设函数f (x )= e2x-aln x.(1)讨论f (x )的导函数f'(x)的零点的个数;2(2)证明：当 a>0 时 f (x )至 2a+a ln .a解：(I) f(x)的定义域为(0,+ ¥), f (x)=2e2x- a(x>0).当a£0时，f霰)>0, f4x)没有零点；当

12、a>0时，因为e2x单调递增，-a单调递增，所以f (x)在(0,+ ¥)单调递增.又a r ,1>0,当b满足0<b< 且b< 一时,f (b) < 0,故当a >0时，f (x)存在唯一零(II)由(I),可设f (x)在(0,+ ¥)的唯一零点为x0,当x?(0, x0)时，f4x)<0;故f(x)在(0, x0)单调递减，在(,+¥)单调递增，所以当 x = %时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0).由于 2e2x。- - =0 ,所以 f (x0)= x02x0八，2.2+ 2ax0+aln ？ 2a

13、 a ln .2故当 a>0时，f(x)? 2a aln.a考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力7. (2016新课标全国卷1文21,本小题满分12分)已知函数.f (x) =(x 2)ex+a(x 1)2(I)讨论f(x)错误！未找到引用源。的单调性；(II)若错误！未找到引用源。有两个零点，求a的取值范围.【答案】(i)见解析(n)(0,收解：(I) f'(x ) = (x1 )ex+2a (x1 )=(x1 Xex+2a ).(i)设a 20,则当 x1-o,1)时，f'(x)<0；当 x&

14、quot;1," )时，f'(x)>0.所以在(*,1评调递减，在(1,收 浮调递增.(ii )设 a <0 ,由 f ' (x )= 0得 x=1 或 x=ln (-2a ).ex若a = -2,则f'(x )=(x1 )(exe),所以f (x )在(血产)单调递增.若 a > -：，则 ln (-2a) v 1,故当 x = ( -°o,ln ( -2a )U(1, +=c)时，f'(x)>0;当 xw (ln(2a ),1)时，f'(x)<0,所以 f (x )在(口,ln (2a ),(1,收)

15、单调递增，在(ln (2a ),1)单调递减. e若 a < 2 ,贝U ln(2a )>1 ,故当 x = (-«,1 )U( ln(- )F)时，f '(x)>0 ,当 x1,ln(a )时，f'(x)<0,所以 f(x )在(-«,1 ),(ln(2a),y )单调递增，在 (1,ln (2a )单调递减.(n) (i )设a >0 ,则由(I)知，f(x)在(-«,1浮调递减，在(1,收)单调递增.b . a 又 f(1 )= 一e, f (2 )= a ,取b 满足bv 0 且万 < ln -,则 f(

16、b )>a(b -2 )+a(b1j = ab3 3b>0,所以f (x)有两个零点.(ii )设 a=0,则 f (x)=(x2)ex所以 f(x)有一个零点. e(iii )设av 0,右a之一万，则由(I )知，f ( x城(1尸泮调递增.e又当x W1时，f (x)V0,故f (x )不存在两个零点；若 a < -,则由(I)知，f (x )在 (1,ln ( -2a )单调递减，在(ln (-2a ),)单调递增.又当x W1时f (x )v 0,故f ( x )不存 在两个零点.综上，a的取值范围为(0,十无).8. (2017新课标全国卷1文21,本小题满分12

17、分)已知函数f (x) =ex(ex-a)- a2x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f(x) >0,求a的取值范围.解： (12 分)(1 ) 函数 f(x)的定义域为(-hc), f (x) =2e2x -aex - a2 =(2ex a)(ex - a”若a = 0 ,则f (x) =e2x,在(-00,收)单调递增.若 a >0 ,则由 f (x) = 0得 x = ln a .当 xw (_oa,ln a)时，f '(x) <0 ;当 xw (In a,y)时，f '(x) >0 ,所以 f (x)在(口曲 a)单调递减，在(In a,y)单调递增.a若 a<0,则由 f(x)=0 得 x=ln().2a、 一 . 一a一 . 一 一当 x ( (-°o,ln()时，f(x)<0；当 xw (ln( -一),收)时，f (x) a 0 ,故 f (x)在 22.,a、， a、(°°，ln()单调递减，在(ln(),，/)单调递增.22(2)若 a =0,则 f (x) =e2x,所以 f (x)20.若a >0 ,则由(1)得，当x = ln a时，f (x)取得最小值，最小值为f (