2016年高考全国2卷理数试题解析版

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(1)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是(A)(31)(B)(1,3)(C) (1,内)(D) (-A3)【解析】Am+3>0, m -1

2、<0, 1- -3<m<1,故选 A.(2)已知集合 A=1, 2,3, B =x|(x+1)(x2) <0, xW Z，则 AU B =(A)(B) 1,2(C) 0, 1,2,3(D) -1,0 ,1,2,3【解析】CB = :x|： x 1 x -2 ：: 0 , x 三 Z J = 1x| 1 ：: x ：: 2 , x 三 Z J ,B =0,什，aUb = 。，1 , 2, 3, 故选C.(3)已知向量 a=(1,m), b=(3,-2),且(a+b)_Lb,则 m=(A) T(B) -6(C) 6(D) 8【解析】Da +b =(4 , m -2 ),(a

3、+b) _Lb , (a+b) b=122(m2) =0解得m =8 , 故选D.(4)圆x2+y22x8y+13 = 0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1,贝U a=(A) -4(B) -3(C)再(D) 234【解析】A2222圆 x +y _2x_8y+13=0 化为标准方程为：(x1) +(y4) =4 ,a 4 -14故圆心为(1,4 ), d=1,解得 a =-4 ,a2 13 '故选A.(5)如图，小明从街道的 E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参 加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A) 24 (B) 18 (C) 12 (

4、D) 9【解析】BEtF有6种走法，FtG有3种走法，由乘法原理知，共 6M3 = 18种走法 故选B .(A) 20% (B) 24 兀(C) 28 兀 (D) 32 欠【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底囿圆半径为 r ,周长为c ,13 * f | |7 一 | O圆锥母线长为l,圆柱高为h .(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为c2由图得r=2, c=2：ir=4n,由勾股定理得：l= 22+(2J3) =4,SL = <2 +ch +1cl =4 n+16 n+8 n= 28%2故选C.(7)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移

5、个单位长度，则平移后图象的对称轴为12k兀k兀 兀(A) x=y-6(kWZ)(B) x=y+6(kZ)kn 兀- _Lkn 兀,，一(C)x=5值(k uz )(D) x=2+行(k uZ)【解析】ByA l E 公 +、r ，、r/兀)平移后图像表达式为y =2sin 2 x +,12令2.1+ =k兀+ ,得对称轴方程：x=2+(kw Z ),12226故选B.(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图 .执行该程序框图,若输入的x = 2, n=2,依次输入的a为2, 2, 5,则输出的s =(开始)入茗界/k -0 t a -0,/输入帛/s v x+ak

6、=+l(A) 7(B) 12(C) 17(D) 34【解析】C第一次运算:s=0M2+2=2,第二次运算:s=2x2 +2 =6,第三次运算:s=6x2 +5=17 '(9)若 cos .j -a(A)253 皿5,则sin2:=(B)1 。一 57 (D) 25cos 二 4sin 2: =cos 2:22 兀= 2cos -:4故选D.(10)从区间0, 1随机抽取2n个数x1,x2,Xn , V1 , y2 ,，Yn ,构成 n 个数对(X1，Y1 ),(X2,y2,，(Xn, yn ),其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率n的近似值为(A)包(B

7、)空(C)mmn【解析】C2m(D) n由题意得：(x , y Xi =1 , 2,，n游如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中4m兀丁故选C.兀由几何概型概率计算公式知 l = m ,1 n2 2(11)已知 J F2是双曲线E:二%=1的左，右焦点，点 M在E上，MF1与x轴垂直,a bsinZMF2F1 =1，则e的离心率为33(A) v2(B)万(C) 73(D) 2【解析】A离心率e =F1F2MF2 -MF1,由正弦定理得sin Me =MF2 -MF1 sin F1 -sinF22 21-13故选A.x T(12)已知函数f (x (xRR y两足f (-x)=2

8、-f (x),右函数y=与y=f(x)图像的交点xm为伊，y1 ),(x2,y2), ? ,(xm ,ym),则 £(x+y )=()i已(A) 0(B) m(C) 2m(D) 4m【解析】B由 f (x)=2 f (x 得 f(x 次于(0, 1)对称,一 x 11而y = =1 +-也关于(0 , 1。寸称，对于每一组对称点 x +x '=0 y + y '=2 ,mm mm2 (x +V 尸Z xi +E yi =0 +2 - =m ,故选 B.i 1i 4 i 12本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2224题为选考题

9、，考生根据要求作答.(13) 4ABC的内角4 一 5A, B, C的对边分别为 a, b, c,右 cosA= cosC =- a =1 ,5 '13 '，则b = ,21【解析】21134 cos A 二 一53 sin A =5，C 5 cosC =13 '12 sin C = 一1363sin B =sin A，C =sin AcosC -cosAsinC = 一由正弦定理得:bsin Basin A21解得b =13（14） a , P是两个平面，m, n是两条线，有下列四个命题：如果 m _1_ n , m J_a , n/ P ,那么 a _L P .如果

10、mla , n/a,那么m_Ln.如果a/ P , mua ,那么m/ P .如果m/ n , a" P,那么m与c（所成的角和n与B所成的角相等.【解析】（15）有三张卡片，分别写有 1和2, 1和3, 2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：我与丙的卡片上相同的数字不是 1"，丙说：我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是 一【解析】（1,3）由题意得：丙不拿（2, 3）,若丙（1, 2）,则乙（2, 3）,甲（1, 3）满足，若丙（1, 3）,则乙（2, 3）,甲（1

11、, 2）不满足，故甲（1, 3）,（16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线 y = ln（x+1）的切线，b=【解析】1 -ln2 1 y=lnx+2的切线为：y = x +ln Xi +1 （设切点横坐标为 为） Xi,1,x2y =ln（x+1 ）的切线为：y= x+ln（x2 +1 ）- x2 1x2 1X11I=Xi X21Iln x +1 =ln （x2 +1 ）x2 x2 111解得X|X2二22b =ln x1 +1 =1 -ln 2 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)Sn为等差数列an)的前n项和，且口=1,

12、 $7=28.记bn = lgan,其中仅表示不超过x的最大整数，如 卜9=0 , Ilg99 =1 .(I)求 b , b11, b01 ；(n)求数列 的前1000项和.【解析】设值)的公差为d , S7 =7a4 =28 ,a4 =4 ,d=a43al=1,an=a+(n -1)d =n., , b = kga1 =kg10 ,bn Dgan Qg11 1,bi01 |g &01 = 11g 101 =2.记bn 的前n项和为Tn ,则I。=b +b +>000=0g a + Hg & +，,，+ Hg 21000 .当 0< lgan <1 时，n=1

13、, 2,9 ;当 1w lgan <2 时，n =10 , 11,，99 ;当 2<lgan<3 时，n =100, 101, , 999 ;当 lgan =3 时,n =1000.T1000 =0X9 +1X90 +2X900+3X1 =1893.(18)(本小题满分12分)某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234>5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234>5概率0.300.150

14、.200.200.100.05(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(n)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;(出)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【解析】设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,P(A) =1 P(A) =1 -(0.30 +0.15) =0.55 .设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ,p(b|a)=3=0.10"05=3P(A) 0.5511解：设本年度所交保费为随机变量X .X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费EX =0.85 0

15、.30 0.15a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05=0.255a +0.15a+0.25a+0.3a +0.175a + 0.1a = 1.23a,平均保费与基本保费比值为1.23.(19)(本小题满分12分)如图，菱形 ABCD的对角线 AC与BD交于点O, AB=5, AC =6,点E, F分别在 AD,5CD上，AE =CFEF交BD于点H.将4DEF沿EF折到ADEF的位置OD =痂.'4 '(I)证明：DH _L平面 ABCD;(II)求二面角BD'AC的正弦值.D'【解析】证明： AE =CF =-,4

16、AE CFAD CDEF / AC .四边形ABCD为菱形， AC 1 BD ,EF _ BD ,EF _DH , EF _LDH .AC =6,AO =3;又 AB =5, AO_LOB,OB =4 , AE OH OD =1 , AODH =D H =3 , .222OD = OH D'H ,D'H _LOH .又. OH I EF =H , D'H，面 ABCD .建立如图坐标系H -xyz .B（5,0,0）, C（1,3,0）, D'（0,0,3）, A（1 , -3 , 0 ）,urnuuuruuuAB = 4 ,3 , 0 , AD' -

17、-1,3,3, AC f0 ,6 ,0 ,ur设面ABD法向重n1 =（x, y, z）,. - =*1K.,R AB =04x 3y =0由二一一 得/，1nl AD =0-x ' 3y 3z =0x =3取 /v =-4，|z 二5LTn1 =(3, -4 , 5 卜LU同理可得面 AD'C的法向量n2 =(3 ,0,1),ur印ni n29 57 5LILL =5 2 10 = 25 '，加日=咨25(20)(本小题满分12分)22已知椭圆E 3+上=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A, M t 3两点，点N在E上，MA &#

18、177;NA.(I)当t=4, |AM|=|AN|时，求那MN的面积；(II)当21AMi =|AN|时，求k的取值范围22【解析】 当t =4时，椭圆E的方程为 + =1 a点坐标为(-2, 0 ), 43联立 43=1、，也 日并整理得,22223 4k x 16kx 16k -12=0则直线AM的方程为y=k(x+2).y =k x 28k2 -6. .1解得 *=-2或*=处一I，则 |AM|=41+k23 4k8k2 -63 4k2三£1 k2123 4k2因为AM _LAN ,所以123F因为 |am|=|an|, k>0,1k212所以 1k 3 4k2=1 k2

19、 1224 ,整理得(k-1X4k2-k+4) = 0 , 3k，k4k2k+4=0无实根，所以k=1.所以4AMN的面积为12 1 1 AM = 111211 2:.2121443 449直线AM的方程为y=k（x+T ）,- 22x y .1联立t 3 并整理得，(3+tk2 )x2+2t&k2x+t2k2 _3t =0 y =k x tt tk2 3 t一 2，3 tk2所以AM '二窃 k226 t-23 tk底二更十同=而3+tk所以AN = 1 k26 tl,3kk因为2 AM = AN26 t26 t2所以2后厂37铲Z+k,整理得，t=6kT .3klk - 2

20、k因为椭圆E的焦点在x轴，所以t>3,即6k2 3k 整理得(k2 +1Xk-2) 0 k -2k3 -2解得 2 <k <2 ,(21)(本小题满分12分)x -2 v(I)讨论函数f(x) =-7e的单倜性，并证明当 x>0时，(x-2)e +x+2>0;x(II)证明：当a0,1)时，函数g(x)=e -ax-a(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求 x函数h(a)的值域.【解析】证明：f(x)=ex x 2f c ,、2 x，口 1 x x 24x ef (x)=e 1- +2 =2lx+2 (x+2)J (x+2).当 x w ( -

21、, 2.(-2, + 妙对，f'(x)>0f (x )在(皿，-2和(-2, + -让单调递增x - 2 x -. . x>0时，-e > f 0 )= -1x 2x2xe -a x -2x e -ax - ag x4x4x xex - 2ex，ax，2aaw 10, 1 )x -2由（1）知，当 x>0 时，f（x）= 的值域为（一1, 十8）,只有一解./卡/曰t -2 t使得 et 2q，tw(0, 2当 x W(0,t)时 g'(x) <0 , g(x)单调减;当xw (t,代)时 g'(x) >0 , g(x)单调增t -

22、t 2 t大e t 1 eh a = a t 1 =t 2t2t2>0 ,k（t ）单调递增记 k(t )=-e,在 tw(0, 2时，k'(t)=e”? t 2t 21 e2 h(a 尸k(t 产(j, 了 j请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，在正方形 ABCD, E, G分别在边 DA, DC上（不与端点重合），且DE=DG,过D点作DF（I）证明：B, C, G, F四点共圆;（II）若AB =1 , E为DA的中点，求四边形 BCGF的面积.GEB【解析】（I ）证明： DF _LCERt:A DEF sRDCED. GDF =/DEF =/BCFDF CFDG - BC. DE =DG, CD =BCDF CF， DG BCAGDF sbCF. CFB =/DFG. GFB =/GFC . CFB =/GFC . DFG =/DFC =90NGFB+/GCB=180 上.B, C, G, F四点共圆.(n ) £ 为 AD 中点，AB=1 ,1 . DG =CG = DE =2，. .在 RtGFC 中，GF =GC ,连接 GB , RtA BCG© RtA B