一维定态问题

1、习题解答习题解答习题解答习题解答Solving o f problemsSolving o f problems1Quantum mechanics小小 结结第三章一维定态问题第三章一维定态问题2/88小结小结(Summary)一维问题数学上处理较简单一维问题数学上处理较简单,容易得到严格解容易得到严格解,而量而量子力学体系的特征子力学体系的特征,都可以在一维问题中展示都可以在一维问题中展示.此外此外,一维问题是处理各种复杂问题的基础一维问题是处理各种复杂问题的基础.关于一维定关于一维定态问题态问题,有几个一般定理有几个一般定理:(1),定态解的复数共轭必定定态解的复数共轭必定也是同一能量的定

2、态解也是同一能量的定态解;(2),对于具有空间反射不变对于具有空间反射不变性的势函数性的势函数,若若(x)是定态解是定态解,则则 (- -x)也是同一能量也是同一能量的定态解的定态解;(3),势函数的有限跃变点处势函数的有限跃变点处,波函数及其导波函数及其导数必定连续数必定连续;(4),无简并定理无简并定理.若一维势若一维势V(x)在有限在有限x处无奇点处无奇点,则对应全部束缚定态波函数都是不简并则对应全部束缚定态波函数都是不简并的的.就是说就是说,这类一维问题的分立能级无简并这类一维问题的分立能级无简并Quantum mechanics小小 结结第三章一维定态问题第三章一维定态问题3/88(

3、5),节点交错定理节点交错定理.如将一维问题如将一维问题(规则势函数规则势函数)的分立的分立谱波函数谱波函数n(x)按其能量本征值递顺序编号按其能量本征值递顺序编号,则对应第则对应第n+1个能级个能级En的本征函数的本征函数n(x),在其定义域内有限在其定义域内有限x值值处共有处共有n个节点个节点(即零点即零点).其中其中,基态无节点基态无节点;(6)宇称交宇称交错定理错定理.对于具有空间反射不变性的规则势函数对于具有空间反射不变性的规则势函数,基态基态为偶宇称为偶宇称,第一激发态为奇宇称第一激发态为奇宇称,第二激发态为偶宇称第二激发态为偶宇称,依此按照能量本征值递增顺序依此按照能量本征值递增

4、顺序,奇偶宇称交错出现奇偶宇称交错出现.一维无限深方势阱的势函数一维无限深方势阱的势函数,能量本征值能量本征值,坐标表象下坐标表象下的能量本征函数为的能量本征函数为:222220,0sin,0( ), ( ),1,2,.,0,20,0,nn xxaxanV xxEnaaxxaaxxa动量波函数为关于动量的连续函数动量波函数为关于动量的连续函数(见题见题4),这是量子这是量子学非定域效应的一个例子学非定域效应的一个例子Quantum mechanics小小 结结第三章一维定态问题第三章一维定态问题4/88质量为质量为粒子在谐振子势场粒子在谐振子势场V= x2/2中运动中运动,其能量本其能量本征值

5、征值,及其相应的能量本征函数为及其相应的能量本征函数为22/21(),( )(),2,2!xnnnnEnnxN eHxNn 22( )( 1)nnxxnndH xeedx 即即H1(x)=1,H2(x)=2x等等,能量本征函数能量本征函数n(x),的宇称性质的宇称性质n(- -x),=(- -1)nn(x),其中基态无节点其中基态无节点,必为偶宇称态必为偶宇称态,又是又是最小不确定态最小不确定态.此外此外,谐振子问题也可在动量表象中求解谐振子问题也可在动量表象中求解.Quantum mechanics小小 结结第三章一维定态问题第三章一维定态问题5/88除了求解束缚态以外除了求解束缚态以外,还

6、有一类问题即一维散射问题还有一类问题即一维散射问题,束束缚定态的能量本征值一般由方程结合边界条件缚定态的能量本征值一般由方程结合边界条件,波函数波函数连接条件确定连接条件确定,是分立的是分立的,而且束缚态本身满足平方可积而且束缚态本身满足平方可积条件条件,一定是可归一的一定是可归一的.散射态则一定不可归一散射态则一定不可归一,其能量本其能量本征值是连续的征值是连续的(取决于入射粒子取决于入射粒子).设粒子从势垒左边入射设粒子从势垒左边入射,其波函数其波函数的渐近行为如下给出的渐近行为如下给出:112,( ),ik xik xik xerexxsex其中其中k1,k2分别为入射波和透射波的波矢分

7、别为入射波和透射波的波矢,反射振幅反射振幅r,透射透射振幅振幅s,根据具体的势函数求解根据具体的势函数求解.透射系数和反射系数别为透射系数和反射系数别为:2221| | | ,| | |sriijjkRrSsjjkQuantum mechanics小小 结结第三章一维定态问题第三章一维定态问题6/88能量小于势垒高度的粒子仍可以一定几率透射能量小于势垒高度的粒子仍可以一定几率透射,称为隧称为隧道效应道效应.Gamov就是利用隧道效应解释了放射性核素的就是利用隧道效应解释了放射性核素的衰变衰变,对于如下方势垒对于如下方势垒0,00,0,VxaVxxa002 (),2:exp2 ()aVEaTVE

8、当当时时透透射射系系数数此式是扫描隧道显微镜的工作原理此式是扫描隧道显微镜的工作原理 Quantum mechanics小小 结结第三章一维定态问题第三章一维定态问题7/88-势的势函数为势的势函数为V(x)=(x),其中其中为一常数量为一常数量.根据波函数根据波函数的几率解释以及波函数满足的的几率解释以及波函数满足的Schrodinger方程方程, x=0处处波函数连接条件为波函数连续波函数连接条件为波函数连续,而波函数导数满足而波函数导数满足22(0 )(0 )(0)-势阱势阱(为负为负)存在唯一的一个束缚态存在唯一的一个束缚态.-势问题的求解也势问题的求解也可在动量表象中进行可在动量表象

9、中进行.另外另外,如果求解如果求解-势的散射问题势的散射问题,则则可知其透射振幅在可知其透射振幅在k复平面正虚轴上的极点对应于复平面正虚轴上的极点对应于-势势阱的束缚态阱的束缚态.其实其实,束缚态在散射振幅的极点里束缚态在散射振幅的极点里,这是一个这是一个普遍的事实普遍的事实.Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题8/881,设粒子处于二维无限深势阱中设粒子处于二维无限深势阱中0,0,0( , ),xaybV x y其其余余地地方方求粒子的能量本征值和本征函数求粒子的能量本征值和本征函数.如如a=b,能级简并度如何能级简并度如何? 解解:定态薛定

10、谔方程定态薛定谔方程 22222()( , ) ( , )( , )2V x yx yEx ymxy00,E其其余余地地方方22222() ( , )( , ),0,02x yEx yx ay bmxy 分离变量法分离变量法( , )( ) ( )x yX x Y y2222221122XYEm XxmY y22222211,22xyxyXYEEEEEm Xxm Yy22222222,0,0yxxyxymEmEXYkkk Xk YxyQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题9/8822222222,0,0yxxyxymEmEXYkkk Xk Yxy

11、sin,sinxxyyXCk x YCk y|0, |0, ,1,2,.x axxy byyxyXk a nYk b nn n22222222222222,2222,()22222xyyyyxxxxyn nxyknnknnEEEEEmmammbmab2200221,1,abxyX dxCY dyCab2( , )sinsinyxnnx yxyabab2222,22, ( , )sinsin,(),1,2,.2xyyxn nxyxynnabx yxy Ennn naaama可见简并度取决于可见简并度取决于(nx,ny)使得使得nx2+ny2=nx2+ny2的的(nx,ny)组组个数个数,例如基态

12、无简并例如基态无简并,第一激发态第一激发态(1,2),(2,1)二重简并二重简并,.Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题10/882,设粒子限制在长方体中运动设粒子限制在长方体中运动,即即0,0,0,0( , , ),x ay bz cV x y z 其其余余地地方方求粒子的能量本征值和本征函数求粒子的能量本征值和本征函数.如如a=b=c,能级简并度如何能级简并度如何? 解解:定态薛定谔方程定态薛定谔方程 2222222()( , , ) ( , , )( , , )2V x y zx y zEx y zm xyz00,E其其余余地地方方222

13、2222(),0,0,02Ex ay bzcmxyz 分离变量法分离变量法( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z222222222111222XYZEm XxmY ymZz222222222111,222xyzxyzXYZEEE EEEEm Xxm Yym Zz222222222222,0,0,0yxzxyzxyzmEmEmEXYZkkkk Xk Yk ZxyzQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题11/88sin,sin,sinxxyyzzXCk x YCk y ZCk z|0, |0,|0,1,2,.x axxy

14、 byyz bzzxyzXk anYk bnZk cnn n n22222222222222222222222,222,222222()2xyzyyxxzzxyzyxznnnxyzknknknEEEmmammbmmcnnnEEEEmabc2220002221,1,1,abcxyzX dxCY dyCZ dzCabc22( ,)sinsinsinyxznnnx yxyzabcabc222222222222,0,0,0yxzxyzxyzmEmEmEXYZkkkk Xk Yk Zxyz223/2222,22,( , , )( )sinsinsin,()2xyzyxznnnxyznnnabcx y z

15、xyz EnnnaaaamaQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题12/8822( ,)sinsinsinyxznnnx yxyzabcabc3/222222,22, ( , , )( )sinsinsin,(),1,2,.2xyzyxzn n nxyzxyznnnabcx y zxyzaaaaEnnnn n nma可见简并度取决于可见简并度取决于(nx,ny,nz)使得使得nx2+ny2+nz2=nx2+ny2+nz2 的的(nx,ny,nz)组个数组个数,基态无简并基态无简并,其他例如第一激发态其他例如第一激发态(1,1,2),(1,2,1)

16、,(2,1,1)三三重简并重简并,. Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题13/883,设粒子处于一维无限深方势阱中运动设粒子处于一维无限深方势阱中运动,即即0,0( ),0,xaV xxxa对处于第对处于第n个定态个定态n(x)的粒子计算坐标和动量的期望值的粒子计算坐标和动量的期望值x,p以及以及相应的涨落相应的涨落x,p.讨论当讨论当n的情况的情况,并与经典力学比较并与经典力学比较.解解:粒子波函数为当粒子波函数为当0 xa时时2( )sinnn xxaa当当xa时时,n(x)=0.22220020222022|( )|sin()sin1(

17、1 cos2)sin2cos2|22(2 )2ann xaxxxdxxdxxnxdxaaaaaxxaxnx dxnxnxnn21cossincosxxpxdxpxpxppQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题14/88222223220022322220333222022|( )|sin( )sin22(1 cos2)()sin2cos2|22(2 )(2 )32ann xaxxxdxxdxxnxdxaaaaaxxxaaxnx dxnxnxnnnn223222cos()sincosxxxpxdxpxpxppp22222222266()()(1),

18、1122 3aaxxxxxxnn *00202( )()( )sin(sin)2sincoscos|02annaan xn xpxix dxdxxaiaxann xn xinan xdxai aaaanaQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题15/8822*2220222002( )( )|( )|()sin1212()(1 cos)() (cos)|()2annnaann xpx px dxpxdxdxaaann xnan xndxxaaaaanaa22222()()() ,nnppppppaa 22622 3xpn 2,2 2anxp Qua

19、ntum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题16/88经典力学计算经典力学计算:粒子将在势阱中粒子将在势阱中(0 x0方向运动方向运动,在到达在到达a之前做速度为之前做速度为v0的匀速运动的匀速运动,与与a碰撞后以碰撞后以- -v0返回返回,以此以此类推则类推则.00002(1),2(1)(21)2,(21)2 )natnatnaxnatnatn avvvv000000/2/00/2/000/111( )( )( )11(2)2TaaCaaaaxx t dtx t dtx t dtTTTatdtat dtTTvvvvvvvv00000/2/222200/2/

20、02222000/111( )( )( )113TaaCaaaxxt dtxt dtxt dtTTTat dttdtTTvvvvvvv与量子力学计算与量子力学计算n情形一致情形一致.与量子力学计算与量子力学计算n情形基本一致情形基本一致.Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题17/8800002(1),2(1)(21)2,(21)2 )natnatnaxnatnatn avvvv000000/2/00/2/000/11( )( )( )()0TaaCaaaampmt dtt dtt dtTTTmmdtdtTTvvvvvvvvvvv0000022/

21、2/2222200/22/02220000/1( )( )( )()TaaCaaammpmt dtt dtt dtTTTmmdtdtmTTvvvvvvvvvvv与量子力学计算与量子力学计算n情形一致情形一致.与量子力学计算与量子力学计算n情形不一致情形不一致.Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题18/884,设粒子处于一维无限深方势阱中运动设粒子处于一维无限深方势阱中运动,即即0,|/ 2( ),|xaV xxa处于基态处于基态,求粒子的动量分布求粒子的动量分布.解解:粒子处于基态粒子处于基态(n=1),波函数波函数:12cos,| |/2(

22、)0,| |/2xxaxaaxa它的动量空间波函数它的动量空间波函数:/2/11/2()()/2/2/2/2()()/2/2112( )( )cos2211()()22cos12|2()()aipxipxaxxppiiixixaaipxaaaaaappixixaaaaxpdxexdxeaadxeeedx eeaaeeppaaaiiaa222(/ )papa221322 2cos42|( )|(/ ) papapaQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题19/885,设粒子设粒子(能量能量E0)从左入射从左入射,碰到下列势阱碰到下列势阱:00,0(

23、),0 xV xV x试求阱的反射系数试求阱的反射系数.解解:粒子在势阱中的势能函数分为两个区域粒子在势阱中的势能函数分为两个区域.对于对于x0区域区域,粒子波函数方程及其解粒子波函数方程及其解:2()()0,2/,()ikxxkxkm Exse入射粒子流密度与反射粒子流密度分别为入射粒子流密度与反射粒子流密度分别为:2(. ),|2ik xik xiridJeec cJrJimdx 透射粒子流密度为透射粒子流密度为:222(. )| | | |2ikxikxsidkkJeecc sssJimdxmkQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题20/8

24、8x=0波函数及导数的连续性给出波函数及导数的连续性给出:1,1krsrsk 22(1) ,kks skkk2(1) ,kkkrs rkkk02() /,2/km EVkmE 00002,EVEEVrsEVEEVE22040|()riVJrJEVEQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题21/886,(a),利用利用Hermite多项式的递推关系多项式的递推关系,证明谐振子波函数证明谐振子波函数满足下列关系满足下列关系:11222211( )( )( )221( )(1)( )(21)( )(1)(2)( )2nnnnnnnnnxxxxxxn nx

25、nxnnx(b),由此证明由此证明,在在n (x)下下:0,/2nxVE证明证明:(a),谐振子波函数谐振子波函数2/2( )( ),2 !nnnmxeHxn Hermite多项式的递推关系多项式的递推关系:11( )2( )2( )0nnnHHnHQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题22/882/22 !nen11( )2( )2( )0nnnHHnH在上式两边乘以在上式两边乘以1111( )( )( )22nnnnnxxxx222/2/2/211( ) 2( ) 2( )02!2!2!nnnnnneHeHneHnnn112(1)( )2(

26、)2( )0nnnnxxxnx 再乘以再乘以x211222222211( )( )( )( )22111112( )( )( )( )2222221(1)( )(21)( )(1)(2)( )2nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxnnnnnnxxxxn nxnxnnxQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题23/88(b),由波函数的正交归一化得由波函数的正交归一化得:1111( )( )( )22nnnnnxxxx2*|( )|( )( )0nnnxxxdxx xx dx谐振子的哈密顿量及能量谐振子的哈密顿量及能量:22211,()222

27、npHmxEnm其势能的平均值其势能的平均值:22222*2211|( )|( )( )221(1/2)111()2222nnnnVmxmxxdxx xx dxnmnEmQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题24/887,(a),利用利用Hermite多项式的递推关系多项式的递推关系,证明谐振子波函数证明谐振子波函数满足下列关系满足下列关系:1122222( )1( )( )22( )(1)( ) (21)( )(1)(2)( )2nnnnnnndxnnxxdxdxn nxnxnnxdx(b),由此证明由此证明,在在n (x)下下:210,22n

28、EpTpm证明证明:(a),谐振子波函数谐振子波函数2/2( )( ),2 !nnnmxeHxn Hermite多项式的递推关系多项式的递推关系:1()2()nnHnHQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题25/882/21( )( ),( )2( ),2 !nnnnnxeHHnHn222/2/22/21( )2( ),()nnddH xn Hxeexedxdx2222/2/22/2/2211( )( )( )2!( )2( )( )2( )2!nnnnnnnnndxdHdeHedxdxdxnxeHen Hxxnxn 1111( )( )( )2

29、2nnnnnxxxx11( )1( )( )22nnndxnnxxdxQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题26/8811( )1( )( )22nnndxnnxxdx211222222( )( )1( )( )221 ( )( )222112 ( )( )222(1)( )(21)( )(1)(2)( )2nnnnnnnnnnndxdxdn dndxxdxdxdxdxdxnnnxxnnnxxn nxnxnnxQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题27/88(b),由波函数的正交归一化得由波函数的正

30、交归一化得:*( )( )( )()( )0nnnnpx px dxxix dxx谐振子的哈密顿量及能量谐振子的哈密顿量及能量:22211,()222npHmxEnm其势能的平均值其势能的平均值:22*22211( )()( )()()22nnpxx dxnnmx2111()2222npTnEmQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题28/888,谐振子处于谐振子处于n (x)态下态下,试计算以下各量试计算以下各量:2222,xxxpppxp 解解:利用题利用题6,7结果结果:22110,(),0,()22xxnppnmm22221()21()21

31、1()22xxxnmpppnmxpn Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题29/889,荷电为荷电为q的一维谐振子的一维谐振子,受到沿振子运动方向大小为受到沿振子运动方向大小为的的外电场作用外电场作用,其势函数为其势函数为:221( )2V xmxq x解解:将势函数进行变形将势函数进行变形:求能量的本征值和本征函数求能量的本征值和本征函数.22222222111( )()222qqV xmxq xmxmm这样这样Schrodinger方程为方程为:2222222222222211( )() ( )( )22211( )()( )() ( )2

32、22qqxmxxExmmmqqxmxxExmmmQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题30/88222222211( )()( )() ( )222qqxmxxExmmm22222222,( )()()11()()() ()222qqxxxxxmmqxmxxExmm对照谐振子方程知其能量本征态和本征值为对照谐振子方程知其能量本征态和本征值为:()()nxx2222()()11()22nnnqxxmqEnm Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题31/8810,粒子在如下不对称势阱中运动粒子在如下不对

33、称势阱中运动. 12,0( )0,0,VxVxx aVxa其中其中V1V20,求能量的本征值和本征函数求能量的本征值和本征函数.解一解一:求束缚态解求束缚态解(0EV2),x0区域粒子的区域粒子的Schrodinger方程为方程为:21( )( )( ),02xVxEx xm2111( )( )0,2 () / ,0 xkxkm VEx11( ),0k xxCex0 xa区域粒子的区域粒子的Schrodinger方程为方程为:2222( )( )0,2 () / ,xkxkm VExa22( ),k xxC exa根据根据x=0,a两处波函数及其导数的连续性可得两处波函数及其导数的连续性可得:

34、22111222()()k ak aikaikaikaikaCABk Cik ABC eAeBek C eik AeBe2211112222(1)2(1)2(1)2(1)2k ak aikaikakkiCAiCBkkkkiC eAeiC eBekkQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题33/8811222 ()/ ,2/ ,2 ()/km VEkmEkm VE2211112222(1)2(1)2(1)2(1)2k ak aikaikakkiCAiCBkkkkiC eAeiC eBekk2222111122()()()()k aikaikak ak

35、ik C eekik Ckik Cekik C e22112() ()() ()ikakikkikekikkik1221ikakikVekikV2121222221()ikakik kkk kVekkV 2121222222121121222222121()()cos()()sinEVEVEkk kVVkakkVVVEVEVEk kkVVkakkVVV Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题34/882121222222121121222222121()()cos()()sinEVEVEkk kVVkakkVVVEVEVEk kkVVkakkVV

36、V 121221212()()tan()()EVEVEk kkkakk kEVEVE2222sincos2 tansin2222tancoscossincottan1tan22222xxxxxxxxxxx1222122 tan()21tan2kak kkkakk k221212tan2tan102()2kk kkakak kkQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题35/88解二解二:0 xa区域粒子的区域粒子的Schrodinger方程为方程为:12111222( ),2 () / ,0( ),2 () / ,k xk xxCekm VExxC

37、ekm VExa2( )( )0,2/ ,0 xkxkmExa( )sin(),0 xAkxxa根据根据x=0,a两处波函数及其导数的连续性可得两处波函数及其导数的连续性可得:22111222sincossin()cos()k ak aCAkCkAC eAkak C ekAka1122tan,tan()kEkEkakVEkVEQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题36/881122tan,tan()kEkEkakVEkVEtantantan()1 tantan1212()tan()tantan1 tan()tan()()EVEVEkakakaEV

38、E VE此结果与此结果与解一解一的结果完全相同的结果完全相同Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题37/88221212tan2tan102()2kk kkakak kk222121212122222212121212tan()12()()1()()()()kk kkk kkak kkk kkkk kkkkkk kkk kk 11222 ()/ ,2/ ,2 ()/km VEkmEkm VE121 21212()()tan22()()EVE VEVVamEEVEVEEVEVE此方程为超越方程此方程为超越方程.Quantum mechanics习题

39、解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题38/8811,设设粒子在下列势阱中运动粒子在下列势阱中运动,试求粒子的能级试求粒子的能级. 22,0( )10,02xVxmxx解解:x0粒子的波函数满足粒子的波函数满足(0)=0,()=0,与普通谐振子能量比较知能量本征态为与普通谐振子能量比较知能量本征态为:21( )2( ),0,1,2,.nnxx n其中其中:n (x)为普通谐振子的波函数为普通谐振子的波函数,粒子能量本征值为粒子能量本征值为:3(2),0,1,2,.2nEnnQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题39/8812,设设粒子处

40、于半壁粒子处于半壁无限高的势场中无限高的势场中. 0,0( ),00,xV xVxaxa试求粒子能量的本征值以及至少存在一个束缚能级的条件试求粒子能量的本征值以及至少存在一个束缚能级的条件.解解:求求束缚态解束缚态解(- -V0E0),在在x0区域区域 (x)=0.而而0 xa区域区域, Schrodinger方程为：方程为：2( )( )0,2/xKxKmE( ),KxxCexaQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题40/880( ),2 () / ,0( ),2,ikxikxKxxAeBekm E VxaxCeKmE xa00, (0)0,0

41、, ( )sin,0 xABxAkxxa根据根据x=a处波函数及其导数的连续性可得处波函数及其导数的连续性可得:00sin,cosKaKaAkaCeA kkaCKetankkaK可见与对称方势阱的奇宇称态束缚态能量条件相同可见与对称方势阱的奇宇称态束缚态能量条件相同,本题本题的束缚态实际上是对称方势阱的奇宇称态的束缚态实际上是对称方势阱的奇宇称态.tanka0区域区域 (x)=0.而而x0区域区域, Schrodinger方程为：方程为：2( )()( )( )2xxaxExm其中能量本征值其中能量本征值E0.在在x=- -a位势的奇异性导致波函数导数位势的奇异性导致波函数导数的跳跃的跳跃.为

42、考虑这一点为考虑这一点,在在x=- -a的邻域作积分的邻域作积分:aadx 222()()()0,()()()2maaaaaam xa区域区域, Schrodinger方程为：方程为：2( )( )2xExm2( )( )0,2/xKxKmE( ),KxxAexaQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题46/88同理在同理在- -ax0,故当故当L2a时时f(s)没有正根没有正根,因此此时不存在束缚态因此此时不存在束缚态.因此存在束缚态的条件是因此存在束缚态的条件是:L0,故当故当L2a时时f(s)没有正根没有正根,因此此时不存在束缚态因此此时不存

43、在束缚态.因此存在束缚态的条件是因此存在束缚态的条件是:L2a.22/242 ,( )0sa LaLa fseL因此因此f (s)是增函数是增函数.Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题49/8822 ,(0)10,()1aLa ffL 2/2/2,( )1,( )1sa Lsa LaKLs f ssefseL 根据连续函数中值定理并有根据连续函数中值定理并有f (s)是增函数是增函数, f (s)在在(0,+)上有唯一零点上有唯一零点,设为设为s002/0022()10,ln2s a LaLafsesLaL 0000,( )0,0,( )0,s

44、sf ssf s 因此当因此当0ss0时时,f(s)从从2ln122LaLaLa递增到递增到f(+)=+由连续函数中值定理并由由连续函数中值定理并由f(s)在在ss0上的递增性上的递增性,f(s)在在ss0上有唯一的根上有唯一的根s*.这相当于系统唯一的束缚态这相当于系统唯一的束缚态.Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题50/882/,( )1sa LKLs f sse s*相应于相应于K=s*/L,束缚态能量束缚态能量.22222*22KsEmm L2210,02KELmL2/10sa Lse 为一超越方程为一超越方程,无法解析求解无法解析求

45、解,对应于不同的对应于不同的a/L,用数值用数值方法求得如下方法求得如下:a/L 0.5+ 0.6 0.7 0.8 1 1.2 1.5 2 3 +s* 0+ 0.314 0.511 0.642 0.797 0.879 0.941 0.980 0.998 1 Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题51/8814,同上同上势阱势阱,设粒子从左设粒子从左(x0.求反射振求反射振幅幅,并解析拓展到并解析拓展到E0区域区域,分析极点位置分析极点位置,与上题结果比较与上题结果比较.解解:在在x0区域区域 (x)=0.而而x0区域区域, Schrodinger

46、方程为：方程为：2( )()( )( )2xxaxExm在在x=- -a位势的奇异性导致波函数导数的跳跃位势的奇异性导致波函数导数的跳跃.为考虑这一为考虑这一点点,在在x=- -a的邻域作积分的邻域作积分:aadx 222()()()0,()()()2maaaaaam xa区域区域, Schrodinger方程为：方程为：2( )( )2xExm2( )( )0,2/xkxkmE( ),02ikxikxAeBexaxi Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题52/8822,()()()mLaaaL x0)的粒子向的粒子向x正向正向运动运动,在在x

47、=0处有一势阶处有一势阶,当当x0时势能为时势能为0,x0时势能为时势能为 - -E/3.试求经势阶散射以后的反射粒子数以及透射粒子数试求经势阶散射以后的反射粒子数以及透射粒子数的期望值的期望值.解解:(a),粒子在势阱中的势能函数分两个区域粒子在势阱中的势能函数分两个区域,对于对于x0,粒子波函数方程及其解粒子波函数方程及其解:22( )( ),( )( )0,2/2xExxkxkmEm( ),2/ ,0ikxikxxerekmEx对于对于x0,V0=- -E/3粒子波函数方程及其解粒子波函数方程及其解:2200( )( )( ),( )( )0,2 ()/2xVxExxkxkm E Vm(

48、 ),4/3 ,0ik xxsekk xQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题62/88( ),2/ ,0, ( ),4/3 ,0ikxikxikxxerekmExxsekk x入射粒子流密度与反射粒子流密度分别为入射粒子流密度与反射粒子流密度分别为:2(. ),| | |22ikxikxiridkJeec cJrJimdxm222(. )| | | |2ikxikxsidkkJeecc sssJimdxmk透射粒子流密度为透射粒子流密度为:在在x=0处波函数及导数连续性给出处波函数及导数连续性给出:1,1krsrsk22(1) ,kks skk

49、k2(1) ,kkkrs rkkkQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题63/882,kkkrskkkk2322 3(23) ,3232rs2/ ,4/3kmEkk透射系数与反射系数分别为透射系数与反射系数分别为:2424|( 32)9756 3,| ( 32)56 396,risiJRrJJkSsJk1RS所求所求10000个粒子的反射粒子数以及透射粒子数的期望值个粒子的反射粒子数以及透射粒子数的期望值:1000051.5,100009948.5rsNRNSQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题6

50、4/8818,试证明对于图中所示的试证明对于图中所示的任意势垒的一维散射问题任意势垒的一维散射问题,粒子的反射系数粒子的反射系数R以及透射以及透射系数系数S满足满足R+S=1.证明证明:如果势函数如果势函数V(x)没有给定没有给定,则则(x)无法求解无法求解,因而无因而无法计算各种几率流密度法计算各种几率流密度,但对于如图势垒但对于如图势垒,势函数满足势函数满足:V0V(x)Ox0lim( )0,lim( )xxV xV xV考虑波函数考虑波函数(x)的渐进行为的渐进行为.111,( ),2/ik xik xxxerekmE 入射粒子流密度与反射粒子流密度及反射系数分别为入射粒子流密度与反射粒

51、子流密度及反射系数分别为:1121(. ),| | | |22ikxikxirikdJeeccJrJimdxm2| |riJRrJQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题65/88220,( ),2 () /ik xxxsekm EV 透射粒子流密度与透射系数分别为透射粒子流密度与透射系数分别为:22222222211(. )| | | |,| |2ik xik xssiiJkkkdJeecc sssJ SsimdxmkJk在在x轴上任取两点轴上任取两点x1、x2,由于定态条件由于定态条件x1、x2之间粒子的之间粒子的总几率不变总几率不变,根据粒子

52、几率守恒根据粒子几率守恒(V(x)是实函数是实函数), x1、x2两两点的几率密度相等点的几率密度相等(J1=J2).可见对于一维定态问题可见对于一维定态问题,几率密几率密度处处相等度处处相等,现在取现在取x=- -,x=.*2( )( ). |(1 | | )(1)2xiriidJxxccJJrJR Jimdx 111,( ),2/ik xik xxxerekmE *2( )( ). | |2xsiidJxxccJsJSJimdx,1JJR SQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题66/8819,同上题图中所示的一维势垒同上题图中所示的一维势垒

53、,其势函数其势函数V(x),试证明对试证明对于相同能量的粒子于相同能量的粒子,从势垒左边入射与从右边入射从势垒左边入射与从右边入射,其反其反射系数、透射系数均相同射系数、透射系数均相同.证明证明:粒子粒子从势垒左边入射从势垒左边入射,其波函数的渐进行为如下其波函数的渐进行为如下:112111202/,( ),2 () /ik xik xLik xkmEerexxs exkm EV 反射系数、透射系数分别为反射系数、透射系数分别为:2221111111| ,| ,1kRrSsRSk现在设现在设粒子粒子从势垒右边入射从势垒右边入射,其波函数的渐进行为如下其波函数的渐进行为如下:221122202/

54、,( ),2 () /ik xik xRik xkmEer exxs exkm EV 反射系数、透射系数分别为反射系数、透射系数分别为:2212222222| ,| ,1kRrSsRSkQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题67/88波函数波函数L(x), R(x)均满足均满足Schrodinger方程方程:22( )( ) ( )0mxEV xx*22( )( )( )0mxEV xx由上式可知若由上式可知若L(x)是定态是定态Schrodinger方程的解方程的解,则则L*(x) 也也是相同能量的定态是相同能量的定态Schrodinger方程

55、的解方程的解,因而它们的如下线因而它们的如下线性组合也同样是相同能量的定态性组合也同样是相同能量的定态Schrodinger方程的解方程的解*1*111( )( )LLrxxss221*11*1*11*1,1,ik xik xik xr seexsr rexs 22122,( ),ik xik xRik xer exxs ex 与与R(x)的渐进行为完全相同的渐进行为完全相同.Quantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题68/88而一维定态问题简并度最多为而一维定态问题简并度最多为2,可知可知= R比较两式得比较两式得:221*11*1*11*1,1,

56、ik xik xik xr seexsr rexs 22122,( ),ik xik xRik xer exxs ex *2111112221*11111111 |1r rrRS kkssssss kk2211kssk因而得粒子从势垒右边入射的透射系数因而得粒子从势垒右边入射的透射系数:22221212221112121| ()|kkkkSsssSkkkk即粒子从势垒右边入射的透射系数等于从势垒左边入射即粒子从势垒右边入射的透射系数等于从势垒左边入射的透射系数的透射系数.再再R1+S1=1,R2+S2=1,得证得证:R1=R2.2222211111222212| ,| ,| ,|kkRrSsR

57、rSskkQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题69/8820,设设粒子无限深方势阱粒子无限深方势阱0,0( ),0,xaV xxxa解解:(a),归一化条件归一化条件:222225011|( )|()|30axdxAxaxdxAa中中,状态用波函数状态用波函数(x)=Ax(a-x)描述描述,A是归一化常数是归一化常数.(a),求归一化常数求归一化常数;(b),求粒子处于能量本征态求粒子处于能量本征态2( )sinnnxxaa的几率的几率Pn,特别是特别是P1.(c),求求(x)下能量的平均值及涨落下能量的平均值及涨落.530Aa(b),无限深方

58、势阱中粒子归一化的能量本征态及本征值无限深方势阱中粒子归一化的能量本征态及本征值:22222( )sin,1,2,.2nnnxnxEnaamaQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题70/88530( )()xx axa(b),(x)可用这组完备的本征函数展开可用这组完备的本征函数展开22222( )sin,1,2,.2nnnxnxEnaama( )( )nnxcx*50030( )( )()sinaannn xcxx dxx axdxaa22232122sincossin,sin()cossinxxxxpxdxpxpxxpxdxpxpxppppp

59、332 601( 1) nncn 330119201(21)( )sin(21)kkxxaka*1666960960,1,3,.0.998nnnPc cnPnQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题71/88*1666960960,1,3,.0.998nnnPc cnPn由于由于P1Pn(n1),(x)处于处于n(x)(n1)的几率远小于处的几率远小于处于于1(x)的几率的几率,也就是说基本上处于也就是说基本上处于1(x)态态,因此因此(x)与与1(x)=Asinx/a的曲线非常相似的曲线非常相似.(c),能量的平均值可以按照几率分布的公式计算能量

60、的平均值可以按照几率分布的公式计算.224*2442400480151,(21)(21)96nnnkkEc c Emakmak4422*22422242002401301,(21)(21)8nnnkkEc c Em akm ak2225()EEEmaQuantum mechanics习题解答习题解答第三章一维定态问题第三章一维定态问题72/88另解另解:(c),在坐标表象下利用归一化波函数通过积分直接计在坐标表象下利用归一化波函数通过积分直接计算算.22*522002*2*00224522240305( )( )()() ()2( )( )( )( )3030() ()() ()22aanaa