扬州大学概率论练习册详解

1、随机事件与概率(A卷)单项选择题1、事件A、B、C中，A、B至少有一个发生而C不发生的事件 可表示为()(A)AB C +A B C+ A BC(B) ABC + ABC(C) AC + BC(D)A+B+CC 由题意知(A V B) A C ，即C选项。2、设 A、B 为任意事件，则(A+B)(A+ b)(a+B)=()(A)A+B(B)A-B(C)B A(D)ABD (A+B ) (A+B ) =A, A (A+B ) =AB，即 D 项3从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中，任取3条线段能 构成三角形的概率为()3112(A)三(B)1(C)1(D)210525A 枚举：5条线任选

2、3条，共有C35=10。1 3 5 7 9五条线，可以组成三角形的只有(3 5 7)、(3 7 9)、(5 7 9)三种，故选A (3/10). (陈志恒)4. 设 P(AB) =P(AB),贝卩 P(A)+P(B)=()(A)0(B)1答案为B(C)1-P(AB)(D)丄2P(AB)=1-P(AUb)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以 P(A)+P(B)=1由题意知5设A , B为两个随机事件，且A P (AB) =P (A)BP (B/A)=P(B)CP (A+B ) =P (A)D P ( aB) =P(B)-P(A)B i A,则下列式子正确的是()错应该等于P ( B)错应该

3、等于里簧P (A)正确错应该大于等于6、5人摸彩方式决定谁得一张电影票，设A表示“第i人摸到”(i=1,2,3,4,5 )，则下列结果中有一个不正确，它是(B )1A P ( A|AA)=331B P (八人)=丄错4?丄14545C P (代)=153D P(AA)=35(高震)7.袋中有五个球，其中3个是新的2个时旧的，无放回地抽取两次， 每次取一个，则第二次取到新球的概率为(A)(A) 3(B)3(C)1542(D)-10解：设事件A为第二次取到新球的概率P (A) =3/5 X 2/4+2/5 X 3/4=3/5二、填空题1.在任意相遇的8个人中，至少有两个人的生日在同一个月的概率为；

4、解：设事件A为至少有两个人的生日在同一个月8P(A)=1- A12!=0.952则此人在三次内打开房门的概率为 ；解：设事件A为在三次内打开房门P( A)=2/5+3/5 2/4+3/5 2/4 2/3=0.9(陆雅晴)3. 一批晶体管共有100只，次品率为10%接连两次从其中任取一个(取后不放回)，则第二次才取到正品的概率为 丄 11解：由题意知，正品90个，次品10个，所求为10*90=100 99 114. 设 P(A) =0.4 , p(A eB)=0.7 ,那么(1) 若A与B互不相容，则P (B)=_0.3由已知条件得，P(AB)=0，所以 P(A eB)=P(A)+P(B)=0.

5、7 ,P(B)=0.3(2) 若A与B相互独立，则P(B)=_0.5由 已 知 条 件 知， P(AB)=P(A)*P(B),P(AaB)二P(A)+P(B)-P(A)*P(B),所以 P(B)=0.55. 一射手对同一目标独立地进行三次射击，若至少命中一次的概率为为26，则该射手每次射击的命中率为2/327解：由题意知，设命中率为 P,则(1- P)3二丄，即1-P=-,所以P，2733(高静)6、设三个事件 A，B，C 两两独立，且 ABC二？，p(A)=P(B)=p(C)< -,2p(A B C)=-，则 P(A)=-164解：因为P(A eB eC)=P(A)+P(B)+P(C)

6、+P(AB)+P(AC)+P(BC) - P(ABC);P(A)=P(B)=P(C) ABC= ?且A,B,C两两独立 则 P (A SB C)=3P(A)-3P(A)P(A )二;9所以P (A)=-47、甲，乙，丙三个班级的人数分别是 35, 40, 40,某次考试的及格率依次为80%, 90%, 85%,现从三个班级中随机挑选一人，发现该生成绩不及格，则该生选自甲班的概率为18?丄23 1017115解：设不及格事件为B，不及格为事件A ,(此题为逆概)P ( B) =71 ?23523201 7P(A1|B)=5 = 1Z7115三、计算题3,在十张球票中，有五张10兀的，三张30兀的

7、和两张50兀的，任意取出三张，求：（1）三张球票共70元的概率；（2）三张中至少两张票价相同的概率;解（1）有两种可能性30 30 10, 50 10 102 112P=C5?C2 Cs?Ca= 35 = 7C；0120 24（2）用对立事件做1 1 1P=1- C5创C； C2=3C；04（章成芳）2. 某厂的产品中有4%的不合格品，在100件合格品有75件一等品, 试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。解： 由题意产品的合格率为96%合格产品中的一等品率为75%则出厂产品的一等品率P=96%*75%=72%所以在该厂产品中任取一件是一等品的概率为72%。3. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛

8、，甲选手发球成功后，乙选手回球失误的概率为0.3。若乙选手回球成功，甲选手回球失误的概率为04 若甲选手回球成功，乙选手再次回球失误的概率为0.5。试计算这几个回合中，乙选手输掉一分的概率。解：乙选手输掉一分有两种情况：第一种是乙第一次回球就失误，所以P仁0.3;第二种是乙第二次回球才失误，所以P2=0.7*0.6*0.5=0.21;因此乙选手输掉一分的概率 P=P1+P2=0.51O4. 已知 P(A)二P(B)二P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)二P(BC)=1/6,求 A、B、C全不发生的概率。解：P(AUBUC)二P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC

9、)+P(ABC)=1/4+1/4+1/4-1/6-1/6 =5/12则 A、B、C 全不发生的概率为 1-P(AUBUC)=1-5/12=7/12。(2、3、4题答案由卜某某提供)5甲乙俩人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被射中，求他是甲射中的概率。解：令事件B为被射中事件Ai表示甲射中乙没中事件A2表示乙射中甲没中 事件A3表示俩人都中则=P(AiB)+=P(B)P(A+A)B)p(b/A)?p(A) p(b, A0?p(A)0.60.6? 0.50.4? 0.5而亦=0.75p(b A)? P(A) p(b A)? P(A2)p(b A)? p(aj7.乒

10、乓球盒中有15只球，其中九只是没有用过的新球。第一次比赛 时任取3只使用，用毕放回。第二次比赛时又任取 3只，求此3只球 全是没有用过的新球的概率。解：设Ai为第一次抽到的新球个数。B为3只球为新球。-032 JCT0 312(Ao ) =C9C6, P (AJ =等(A2 ) =C9 'C6Cl35,P (A3) =CC15(B A)C3注,P( BA)Cc：(BA )C3=-r，P ( B A)C15(B A ) ' P (A0)=c：+ P ( BA)' P (Ai)=0.089P+ P ( B 代)P( A2 ) + P ( B A3) ' P (A3

11、)(赵雪晴)(B) =PC15四. 1.证明重要公式：P(A-B)二P(A)P - (AB);(或 P(AB)=P(A) - P(AB);2.设 P(A)=0.7, P(A- B)=0.3, 求 P(AB)解：1.证明：因为A=A B e AB所以 P( AB )= P( AB eAB )= P( AB )+P( AB ) P- (AB ? AB)又因为AB ? AB= ?所以 P (A) = P ( AB ) +P (AB) 所以 P ( AB ) = P (A) - P (AB )即 P (A -B ) =P (A)-P (AB)2.由 1 可得，P (AB) = P (A) - P (A

12、- B) =0.4所以P(AB)=1- P(AB)=0.6 (画图可帮助解题)五. 有一位国王，由于厌烦了他的星占家的多次错误预言，拟将星占家砍首，但国王为了显示自己的仁慈，决定给星占家最后一次机会。他吩咐星占家把4个球（2个白球2个黑球）任意放在两只 箱子中，然后刽子手任取一只箱子并从中任取一只球。如果去到 白球，星占家可免得一死；否则将星占家砍首。星占家为了使自 己活下去的概率更大，他应该用什么方法把球分放到箱子中？ 解：设事件A为取到白球球分放在箱子中一共有四种情况：I. 一只箱子中没球，另一只箱子中4个球：P（ A）=1/2*2/4=1/4II. 一只箱子中1只白球，另一只箱子中其他三

13、只球：P（A）= 1/2+1/2*1/3=7/12III. 一只箱子中一只黑球，另一只箱子中其他三只球：P（ A）=1/2*2/3=1/3IV. 一只箱子中2只白球，另一只箱子中两只黑球：P（A）=1/2（胡菁提供）（B卷）D 解释：A e B=B等价于A i B则由图可知A i B B i A 而A B =、A B2、设 A、B 为两个随机事件，P(A)二p,P(B)二q,(0vpv1,0vq<1),若P(A+B)二p+q-pq,则事件 A 与B ()(A)互不相容(B)相容且独立(C)对立(D)不独立B 相容且独立0 <p<1,0<q<1 p q = 0 又

14、P(A+B)=p + q- p qA与B相容且独立 3、设A与B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中,肯定正确的是()(B)A与 B相容(D)P(AB)=P(A)P(B)贝y ab二一 ?(A) A与B互不相容(C)P(A-B)=P(A)C A与B为互不相容事件又 A-B=A-(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-卢云梦4.设 P(A)=1, P(B)=1,P(A|B)=1，则 P(AB)=()236(a)2211(B)-(C)丄(D)丄963选DP(A|B)= P(AB) = 1，所以 P(AB)= 1 ,P(ab)=1-P(A eB)= 2P(B) 6189P(A

15、B) 1P(A|B )=-P(B) 36 进行一系列独立的试验，每次试验的成功率为p,则在成功二次之前已经失败3次的概率为 ()(A) 4p*p*(1-p)*(1-p)*(1-p)(B)4p*(1-p)*(1-p)*(1-p)(C) p*p*(1-p)*(1-p)*(1-p)(D)(1-p)*(1-p)*(1-p)解：答案为B,根据题意可得已经试验4次，其中3次为失败，一次 成功，成功率为P,则失败率为（1-p ）故为选B二、填空题1. 一批产品中有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽到一个，抽到不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为解：答案为10/33，根据题意一共有12件产品，假设首

16、先抽到次品， 则概率为12）*（10/11）,如果首先抽到是正品，则概率为（10/12）*（2/11 ）将两种可能的概率相加便为题目答案。2 .某种动物活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.4，则现在10岁的人活到15岁的概率为解：答案为0.5，根据题意，题中活到15岁0.4的概率是还要考虑 活到10岁的情况，故现在10岁活到15岁只要考虑10到15的概率， 故将活到15的概率除去活到10岁的概率就是答案了（钱思远）3 .设在一次试验中，事件A发生的概率为P,现进行n次独立试验，则 A至少发生一次的概率为 （对立事件做：1-（1- p）n , A至多发生一次的概率为（有两种情况：发

17、生0次，发生 1 次，则为 c：p（1- p）n+（1- P）n4 .箱子中装有 A类产品a个，B类产品b个，任意取出一个然后放回，并再放入c个与取出的类型相同点的产品，再从箱子中取出一个产品，则二次取出产品恰好一个A类一个B类的概率为(A、B:：ba+b a+b+cB、A:二a + b a+ b+ c即所求为空(a + b)(a + b+ c)5.设事件A、B独立，它们都不发生的概率为丄，A发生B25不发生的概率与 B发生A不发生的概率相等， 则P (A)=_P(B),所以(由已知条件知,P(AB) = P(A)P(B)=丄，P(AB) = P(AB), 即 25P(_A) P( B) P(

18、 A) P(, B)即卩(1- P(A)P(B)= P(A)P(1-14 P( A)P(P(A)二 P(B)二，P(A) =)55(汪志良)、填空题6、某高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为06,现用此种炮若干门同时各发射一发炮弹，为了以不小于99%的概率击中一架敌机，至少该配置该种高射炮的门数为1-0.4n> 0.99 n > 6二、计算题1、从十双不同的鞋子任取6只，分别计算“只有两只配成一对”和“至少两只配成一对”的概率。巴6心24/02；=0.52先从10双中取1双，再从剩下的9双中取4双，最后从4双中取每双中的一只P=1-C26/C62=0.653考虑对立面，即没有两只能够

19、配成对，先从10双中取6 双，再从6双取每双的一只(许运佳)2、设 P(A)=0.9,P(B)=0.75,P(B|A)=0.4,求 P(AB);解：由 P(B|A)=PbA) = P(BA)=0.4P(A)0. 1得 P BA =0.04，又由 P BA)=P(B)-P(AB)=0.75-P(AB)=0.04故 P (AB) =0.713、 甲乙两人一次投掷一副(二枚)骰子，先得到总和为7的人获胜, 分别求出甲乙获胜的概率。解：记“甲获胜”为事件 A, “乙获胜”为事件B由题意得 P(A)=(1)2(6)+H+H-11 5P(B)=(-)(6) +2(5)2+(6)诗3+ (6)中两式相比得故

20、 P(A)=:,P(B)=-11 11P(A)P(B)56by电商0901刘瑞琪4. 制造某零件可以采用两种工艺，第一种是经过三道工序，各工序 出废品的概率分别为3%，4%和5%。第二种是经过二道工序，每道工序出废品的概率均为7%,假定各工序之间是互不影响的，为了 减少废品，应采用哪种工艺？解：若采用第一种设A为“不产出废品”P(A)=97% 96% 95%=0.88464若采用第二种设B为“不产出废品”P(B)=93% 93%=0.8649P(A)>P(B)应采用第一种5两个袋中各放有mi及m2个白球和ni及n2个黑球，现从每个袋中各 取出一球，然后再从这两个球中取出一个，求这个球为白

21、球的概率。 解：设a为“第一次取两球时取到i个白球”，i=0,1,2; B为“最终 取到白球”P( a)=n1 ?n2nn0mi+ ni m2+ n? (mi+ ni)(m2+ nP(B| Ao) =0ip(B|A)= 2P(B)=P(Ao)P(B|Ao)+P(A)P(BIA)P(A2)P(BIAJ=2mim2+ min2+ m?ni2(m1+ n i)(m2+ nJ(陆杏娟)6.某公司生产的某种半导体元件， 次品率为4%。一批元件出厂前进 行检验，规定在该批元件中任取3只进行检验，若发现一只次品则不 能出厂。已知检验时，确是次品而被发现的概率为0.95;确是正品而被误验为次品的概率为0.01

22、，假定对每只元件的检验是相互独立的。 求这批产品能出厂的概率。解：设A1表示取出的一只兀件为正品，a2表示取出的为次品。B表示只兀件经检验为正品的事件。C表示产品能出厂。则P(AJ= 96%, P(A2)= 4%、P(B| A1)= 0.99, P(B| A2)= 0.05由题可知，产品要出厂则三只元件皆需被检验为正品则 P(C)= P(B)P(B)P(B)= 0.95245 = 0.8639答：这批产品能出厂的概率为 0.8639。四.设事件 A、B 满足 0VP(A)<1,P(B)>0 , p(b a)= p(b a)，证明 A、B独立。证明：由题 P(B| A)= P(B |

23、 A)? P(AB)P(BA) P(A)P(A)P(BA)= P(B)- P(AB)由公式可知：一 7P(A)= 1- P(A)代入式子中可得：P(AB)=P(B)-P(AB) P(A)1- P(A)则A、B独立得证。(汤洁)第五大题假设有两箱同种零件：第一箱内装 50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品，现从两箱中随便挑出一箱，然后再从该箱中先后随机挑出两个零件(取出的零件均不放回)。求：(1)先取出的零件是一等品的概率 p; (2)在先取出的零件是一等品的条 件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q。解：(1)设 a 为第 i 个箱子，i=1,2; P(a)=1/2

24、 P(a2)=1/2B 为先取出的零件是一等品 P( A |B)=1/5P(A2|B)=3/5故 p=P(B)=P( Ai)P( Ai |B )+P( A2)P( A21 B)=2/5(2) 设C为在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品q=P(C/B)二P(BC)/P(B)P(BC)=P(BC| a)+P(BC| a2)=1/2*1/5*9/49+1/2*3/5*17/29故 q=(1/2*1/5*9/49+1/2*3/5*17/29)/(2/5)=0.4856(王莉媛)(C卷)1一架电梯开始时有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率。(1) 某指定的一

25、层有两位乘客离开；(2) 没有两位及两位以上乘客在同一层离开;(3) 恰有两位乘客在同一层离开；(4) 至少有两位乘客在同一层离开；(假设乘客离开的各种可能排列具有相同的概率) 解：(1) R二空=0.098410(2) p2二生=0.151210(3)P3 =c；0c；(c9+ c9c：c8+ A94)6=0.498210(4) P4=1-P2=0.8488分析：一位乘客离开有10种方式，6位乘客就有106种可能。（1）从6位乘客中选出2位在指定的一层中离开，另外4人各有9种方式离开。（2）6位乘客分别在不同楼层离开，从10层中有顺序选出6个（3）恰有两位在同一层离开，从6个人中选出两个在1

26、0层中的任一层离开。其余四个可在同一层离开，或三个人一起离开另外一个独自 走，或四个人各自在不同层离开。（4）是（2）的对立事件。（张天柔）2.考虑一元二次方程x2+Bx+C=0.，其中B、C分别是一枚骰子连续掷 两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 p和有重根的概率q;解；一枚色子（骰子）掷两次，其基本事件总数为36.方程组有实根的充分必要条件是B平方>=4C或C<=B平方/4易见B12345满足B平方>=4C的基本事件个数01246满足C<=B平方/4的基本事件个数0 10 10660由此可见，使方程有实根的基本事件的个数为1 + 2 + 4 + 6+ 6 =

27、19, 因此该方程有实根的概率P仁19/36方程有重根的充分必要条件是 B平方=4C或C=B平方/4满足此条件的基本事件共有2个，因此该方程有重根的概率 P2=2/36=1/18(冯树东)3.在N阶行列式的展开式中任取一项，求该项含主对角线元素的概率 解析：N阶行列式的一般项为(-1)G(jlj2-jn)aijia2j2.Ajn，每项要不要同行 不同列，所以共有aNN= N!项，题目要求任取一项中含主对角线元素 的概率，及等价于曾讲的一例题：标有1,2,3。N的盒子，取同样标有1,2,3。N的相同规格的小球向盒子里投，每盒投一个，问： 球的号与盒子的号相同的概率。所以具体求解如下：设Ai表示“

28、含主对角线上的第i个元素”(i=1,2,3,n),则1 11 1荷=,P( AM )=nA2 + .+ An )= ?P( Ai )11n(n- 1)(n- ?)，円"人)=和，故P(人+?P(AAj)+1?i j?n?P(AAjAJ+.+1? i j?n(-1)n-1p(AAAn)=11)n-1n1 1 1“+ - + .+ (2! 3! 4!(曹艳娇)二.求下列概率1、在半径为R的圆内任取一点，求该点位于给定圆内接正方形内的概率;解：设正方形的边长为a ,贝何得a= 2R记事件A= “该点位于给定圆内接正方形内_ S 正2R22= = 2 = s 圆pRp2、在区间0, 1上随机

29、地取两个数，求两数之和超过-的概率3解：记随机取的两数分别为x，y 则可得如下的图iyL1X01x满足两数之和超过-的是S=Si- S2 S2 = -创1 1=-32 3 318记事件A= “两数之和超过1 ”1- 1则 P(A)=f = 183(蒋彩烨)三.设 P(A)=P(B)=P(C)=p , P(AB)=P(BC)=P(AC)=q , P(ABC)=r,且2p-q = 1,求 P(C|AB )o解.P(ABc)=P(C)-P(C(A+B)=P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=p-2q+rP(AB )=1-P(A eB)=1-2p+qP(C|AB )=P(ABC) -： P(

30、AB)= p 2q+ r 1+ q- 2p四.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件事不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解.设A为取出第一件为正品，B为取出第二件为正品P(AB| A eB) =_ P(AB)P(A eB)P ( AB ) =-?3-10915P ( A eB ) =1- ' 5 = 210 93P(AB| A eB)= P(ABl = 1P(A eB) 5(徐双燕)五、设 0<P(A)<1 , 0<p(B)<1，且 P(A|B)+ P(A|B)=1,证明事件 A 与 B相互独立。解：由题得： P(A|B)= 1- P(

31、A|B) = P(A|B)六、某工人看管甲、乙、丙三台机床，这三台机床不需照管的概率分别为0.8, 0.9, 0.6。求：(1)有机床需要工人照管的概率(2)机床因无人照管而停工的概率。解：(1)设事件A :“有机床需要工人照管”P( A)=1-0.8*0.9*0.6=0.568(2)机床会停工是因为只有一人照管三台机床，如果两台以上机床需照管就会导致人手不够。设事件B: “机床因无人照管而停工”P(B)=0.2*0.1*0.6+0.2*0.9*0.4+0.8*0.1*0.4+0.2*0.1*0.4=0.12+0.072+0.032+0.008=0.124(吴亚)七.甲袋中有9只白球1只黑球，乙袋中有10只白球。每次从甲乙两袋中随机各取一球交换放入另一袋中，这样做了 3次，求黑球出现在甲袋中的概率。解：令Ai表示第二次后白球在甲袋中A2表示第二次后白球在乙袋中B表示黑球最后出现在甲袋中P (Ai)= (0.9)2+(0.1)2=0.82P(A2)=1-P(Ai)=0.18P(B| A)=0.9P(BA )=0.1P(B)=P(B A)' P(Ai)+P(B A2)' p(A2)= 0.82? 0.9 0.18