排列组合题目精选解析版

1、排列组合题目精选（解析版）1. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果 A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法种 数有A. 60 种B. 48 种C. 36 种D. 24 种解析：选D。A、B相邻且顺序一定，可把 A、B捆绑看成一个整体与其他三人全排列，一共有A 424种方法。2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A. 1440 种B. 3600种C. 4820种D. 4800 种解析：选B。7个人全排列，有a7种方法，其中甲乙相邻时，甲乙交换位置，有a2种方法,3600 。再与其他5人全排列，有A；a6种方法。则甲乙不相邻的排法种数为A7 A；A；3将数字

2、1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格 的标号与所填数字均不相同的填法有A. 6 种B. 9 种C. 11 种D. 23 种解析：选B。先填数字1,有3种方法。填数字 2,有两种情况。填入方格1，有1种方 法，剩下的3和4只有1种方法；不填入1,有1种方法，剩下两个数字可以全排列。有A 2种方法。故由计数原理，一共有 3（1 A；）9种填法。4将四封信投入5个信箱，共有多少种方法?解析：分以下4种情况:(1)只投1个，有C；种方法;(2)投2个，有A5种投信方法。分两种情况:分为1+3式，有C：种分法;(3)分为2+2式，有C24种方法;2 1投3个，有詈

3、种分法，A5种投法;投4个，有A ：种投法。由计数原理，一共有 C；a|(c42 2 1讣爭A； A： 625种投信方法。5. 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案种。解析：填34650。C4 C412名同学平均分成3组，有12 3 8种，再分配到3个路口，有A3种。故a3不同的分配方案有34650 种。A36. 6个不同的元素排成前后两排，每排A. 36 种B. 120种3个元素，那么不同的排法种数是C. 720 种D. 1440 种解析：选C。相当于把6个元素全排列,一共有 A 6720种排法。7. 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某

4、2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法?解析：相当于把剩余5个元素分成两份,2分别有3，2个，有C5种分法，前后排分别全排列,有（a4）2种排法。故一共有cf（A 4）25760种排法。8. 7人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法?解析：剩余4人全排列，有A 4种方法，3人随机插入5个空，有A5种方法。故一共有A：A；1440种不同的排法。9. 10个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案? 解析：相当于把6个隔板插入9个空隙中，一共有 C9 84种方法。10. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选 4人分别到西部四城市

5、参加中国西部经济开发建 设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：分3种情况讨论。（1）甲乙都不在这4人中，有a4种方案；（2）甲乙有一人在这 4人中，有C；C：种取人方法，分配地点时，银川或西宁有3个人选, 剩余3个地方随机无限制，有 A3种;2种情况:（3）甲乙都在这4人中，有C8种取人方法，分配地点时，再根据甲的去处分为甲去了西宁，则剩余 3人无限制，有a3种方案;甲没去西宁，有 2种选择，则西宁有 2个人选，剩余2人无限制，有 A 2种。由计数原理，一共有 a4 C；c8 3A3 C2（A 32 2A2）4088种不同的方案。11. 由数字0， 1，2，3，4，

6、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的有A. 210 种B. 300 种C. 464种D. 600 种解析：选B。分2种情况：（1）0在个位上，则其他 5位没有限制，有 A；个；（2） 0不在个位上。对于前4位来说，十万位上有3种可能，剩下3个数无限制，有A3个。分4种情况： 个位是1，则十位数可能是 2、3、4、5,共c4种； 个位是2，同理有c3种；由计数原理，一共有 a 5 3a3（c4 c3 c； c1）300个符合题意的六位数。另解：1、2、3、4、5全排列，有A5种，0插入5个空隙，有c5种，而最后2位上已经定宀亠 2a5c1序，有A；种。故一共有宁 300个符合题

7、意的六位数。A；12. 从1 , 2, 3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：不大于 100 的正整数中能被 7 整除的数的集合为I x N 1 x 100,x 7k,k Z，可以得出card （I）14。欲任取两个数，使它们的乘积能被7整除，则其中应至少有 1个是I中的元素。其对立面是它们都不是7的倍数。由间接法可得取法有 C；00 C：1295种。13. 从1 , 2, 3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：这100个元素可以分成4类：Ii x N 1 x 100,x i 1

8、（mod4）,i123,4。不难得出card （Ii）25。欲让取的两个数之和能被4整除，有3种情况:（1）均从I,中取出，有C；5种；（2）均从|3种取出，有C；5种；（3）一个从|2中取出，另一个从丨4中取出，有（C；5）2种。由计数原理，共有 C225 C225 （C125）21225种不同的取法。14. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台， 则不 同的取法共有A. 140种B. 80种C. 70种D. 35 种解析：选C。分两种情况：（1）取甲型i台，乙型2台，有c4c2种；（2）取甲型2台，乙型1台，有c2c,种。由计数原理，一共有 C

9、14C52 C24C15 70 种不同的取法。15. 9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要选出 4 人进行混合双打训练，有多少 种不同的分组方法？解析：从5名男生，4名女生种各选两人，有 c2c2种选法，分队时男生有 a 2种方法，则 一共有 C52C42A 22 120种分组方法。16. 以正方体的顶点为顶点的四面体共有A. 70种B. 64种c. 58种D. 52种解析：选C。正方体有8个顶点，任取4个才可能构成四面体，但其中有12组是共面的，则一共有 c84 12 58 个四面体。17. 四面体的顶点和各棱中点共 10点，在其中取 4个不共面的点，不同的取法共有A. 1

10、50种B. 147种c. 144种D. 141 种解析：选D。在这10个点中取4个点，有C：。种。对于4点共面的状况，在各个面上的，有4C：种，由各棱中点构成的平行四边形有3种，由棱的中点与对棱上 3个点构成的平面有 6 个，故不同的取法有 C140 4C64 3 6 141种。18. 5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：A5各对姐妹交换位置有A；种方法，5对姐妹圆排列有 5种，故一共有5（A；）5A 55768种不同的站法。519. 设有编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球和编号为 1, 2, 3, 4, 5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并

11、且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：球的号码与盒子号码相同时有d种。剩下3个球有且仅有 2种放法，故一共有22C520种放法。20. 三边长均为整数，最长边为8的三角形有多少个？x y 8解析：数出平面区域y %中的整点个数，知所求三角形有20个。0x90 y 921. 由1 , 2, 3, 4, 5, 6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数?n解析：先证明一个引理：3 ai3a1a2a3an。i 1证明：因为39，所以39 10k（kN），这样的话，就有39999。于是n3aii 1nnn i3ai匕（9 10k）i 1i 1k 0n3 ai 10n i

12、i 1an，引理证毕。这6个元素的和为21,组成6的倍数的五位数的必要条件是该五位数是3的倍数。又因为321，则拿出来的那个数必定是 3或6。前四位数没有限制，有 A：种。分两种情况：（1） 3被排除在外，则个位数可为 2、4、6,有3种；（2） 6被排除在外，则个位数可为 2、4,有2种。则根据计数原理，一共有 A：（32）120个三位数是6的倍数。22. 7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？A解析：7个节目全排列，有 A；种，又因为有3个元素定序，一共有 3840种排法。A 323. 5名运动员争夺3个项目的冠军（没有并列），所有可能的结果有多少种?解析：由分步乘法计

13、数原理，有（C；）3 125种冠军结果。24. 有3个男生，3个女生，排成一列，高矮互不相等。要求从前到后，女生从高到矮排列， 有多少种不同的排法？6解析：6人全排列，有a6种；女生定序，有 A；种，则一共有 3 120种。A325. 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻， 问有多少不同的排法？解析：6个歌唱节目全排列，有 a6种，在形成的7个空隙中插入4个舞蹈节目，有 A；种。故一共有A ；A 4604800种排法。26. 五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？2 2解析：3个人中取两个站在一起，有 A3种，其他2人全排列，有A2种。

14、然后再把这个整体与剩余的那个人插入 3个空，有A2种。故一共有3 2 2 72种排法。27. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是？解析：2人随机坐20个座位，有A20种，当两人相邻时，交换位置有A 2种，坐前排有2C3种，坐后排有C；1种。故一共有A 20 A2（2C； C；1） 346种排法。28. 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 。解析：填10。由于红旗。白旗彼此都相同，可表达c3c2 10种不同的信号。29.

15、设集合I 1,2,3,4,5。选择I的两个非空子集 A和B,要使B中最小的数大于 A中最 大的数，则不同的选择方法共有A. 50 种B. 49 种C. 48 种D. 47 种解析：选B。设max A a，min B b，则a b，当a A时，子集有2a 1个，当b B时，子集有25 b个。记k a b 1, 2, 3, 4，则对于每一个k，（a, b）的取法有k 5种。故选定一个k，就有（k 5）2a 125 b （k 5）2k 4种选法。由加法计数原理，一共有(k 5)2k 449 种选法。k 430. 某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节 课，下午安

16、排两节课。（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学任何两门不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排） 一共有多少种不同的排课方法？解析：（1）第一节有2种情况：排数学，则剩下 5科无限制，有 A5种；不排数学，有4种选科方法，下午第一节有 4种选法，剩下4科全排列，有A4种。由分类加法计数原理，一共有 A 54 4A4504种排课方法。（2）如果把上午第四节与下午第一节算作连排，先把剩余3门科目全排列，有 A3种，再让数理化插入形成的4个空，有A 3种；再考虑连排情形。数理化放入这两个时间段，有Af种，再在前后各两节课中排2节其他

17、的课，有 Af种，剩余2科全排列，有Af种。由计数原理，一共有A3A3 AfAfA2216种排课方法。31.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名，最多2名，则不同的分（2）非平均分配，有 C9C31260种分法。配万案有A. 30 种B. 90 种C. 180 种D. 270 种解析：选B。根据题意，5名实习教师有且仅有 1种人数分配方法：5=2+2+1。分为这样的3组，有cfc种，再让这3组全排列，有A 3种。故一共有C；CA；90种分配方案。32. 有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数 2, 3, 4。 上述问题各有多少种不同的分法？解

18、析：（1）理论上说，平分为3组有c3c6种，但是由于是平均分配， 每种情况重复算了 a3种，则有C3C280种分法;33. 3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法?解析：6个班平分为3组，有C：C种方法，再分给3名教师，有A3种分法。故一共有c2c2 3-6t±A390种分配方法。a334. 将10本不同的专著分成 3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？解析：将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，有CoCX种分组方法，再分给4名学者阅读，有A 4种。故一共有c；oc；cA：67200种分法。35. 有9本不同的

19、书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得 2本, 3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？解析：（1）把9本书分为3份，有C：c7种，顺序一定，只有1种，则有C：c7 1260种不同的分法；（2）在把书分组的基础上，把3份书全排列，有C；C；A3 7560种不同的分法。36. 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试， 至区分出所有次品为止， 若 所有次品恰好在第 5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？解析：由题意知，前 5次必定检查出全部次品，且第5次必定检查出次品。4件次品全排列有a4种，再在正品中抽一个有 c6种，把这个正品插入 4个空隙，

20、有c4种。故这样的测试方法有A：c；c4576种可能。37. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有A. 16 种B. 36 种C. 42 种D. 60 种解析：选D。根据题意分为2种情况。（1 ）选3个城市，每个城市只投一个。有A：种；（2 ）选2个城市。先把3个项目分为2组，有C；种，然后选2个城市，有A2种。38. 求方程 x y z 10 的非负整数解的个数。解析：令 a x 1，b y 1， c z 1，则问题转化为不定方程 a b c 13的正整数 解的个数，这相当于把 2 个隔板插入由 13 个小球组成的空隙中，则原不定方程的非负整数 解个数为 C122 66 。39. 将 20个相同的小球放入编号分别为 1，2，3，4 的四个盒子中， 要求每个盒子中的球数 不少于它的编号数，求放法总数。解析：设编号分别为1，2，3，4 的四个盒子装的球数