排列组合题型总结及易错点提示

1、八井列组合混合冋题先选后井策«! 例8.有5个不同的小就装入4个不同的盒，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选岀2个级成复合元共有£种方法再把4个元素（色含一个夏合元素） 装人4个不同的盒有划种方法，根据分步计頁原理装球的方法共有CM：解决排列组合混合问题.先选后排是最基木的抬导思想此法与相邻元素捆绑策賂相似吗?练习题：一个册有6名故士，其中正副J9长各1人现从巾选4人完成皿种不同的任务,毎人完成一种 任务,且正副J8长有且只有1人参加，则不同的选法有_19种九.小集团冋題先整休后局部策IH例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两

2、个偶数夹1,5在两个奇数之间，泄样的五位 数有多少个?«：把1,5,2,4当作一个小集01与3排队共有生种排法，再排小集囲部共有空种排法, 由分步计数原理共有A孰加种排法晅U C3.J厶练习题：展出10備不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5帕国画，排成一行孔要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有列方式的种数为A；A；A：2.5男生和5女生站成一排照像，男生相汎女生也相邻的排法有A；祀盘科十.元素相同间題陽板萸賂例10.有10个运动员名额，分给7个册，毎册至少一个，有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中

3、选6个位置插个隔极，可把名额分成7卅，对应地分给7个JS级，毎一种橢极方法对应一 种分法共有C；种分法。o|o ololo ololo o|o将n个相同的元素分成m份（n, m为正整数），每份至少一个元素.可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个 空隙中，所有分法数为C：；练习孤1. 10 f相同的球装5f盒中,毎盒至少一有多少装法？ C；2. x + y + z + w=00求送个方程组的自然数解的组数 C3十一.正难则反总体旳汰策!W11.M 0,1,2,3,4,567,8,9这十个数字中取出三个数，便其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种?K：这冋題中如果直接求不小于10的

4、偶数很困难，可用总ttiO法。这十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三f数含有3个偶数的取法有只含有1个偶数的取法有C；Cf,和为偶数 的取法共有g+C；。Riilitfll小于10的偶数乔种，符合条件的取法共丘&+C；9有些排列组合问题.正而直接考虑比较复朵.而它的反血往往比较简捷，可以先求岀它的反而.再从整体中淘汰.竦习题：我们册里有43 E同学，从中任抽5人，正、副册长、01支部书记至少有一人在的 抽法有多少种？十二平均分组冋題除法策昭例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?解:分三步取书碍gC；种方法，但这里出现重夏计数的现象，不妍记6本书为ABCDEF,若第一

5、 步取AB,第二步CD,第三步® EF该分法记为(AB.CD.EF), B C：C：C；中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 £ 种取法，而这些分法仅是 (AB.CD.EF)-种分法，故共有 gC/A；种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何.都是一种情况.所以分组后要一定要除以A"(n为均分的组数)避免垂复计数'练习題:1将13个球臥分成3组，一组5个附其它两组4个附有多少分法？ (G：C：C：/A；)2.10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副册长不能分在同一组

6、,有名少种不同的分组 方法( 1540 )3某校高二年级共有Atffl级，现从外地转人4名学生，要安排到该年级的两个册级目毎册安 排 2 g , 処不同的安排 方案种 数为 (C；C；A：/A；=90 )十三.合理分类与分步策賂例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱It,5人会践舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞 的节目，有多少选液方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上II昔就人员为标准进行研 究只会唱的5人中没有人选上II昔歌人员共有Cfc种,只会II昔的5人中只有1人选上咱歌人 员C：C；C：种，只会II昔的5人中只有2人选Fid人员有空种，由分类计数

7、原理共有 c；c；+c；c；c；+c；c；种。解含有约束条件的排列组合问观，可按元素的性质进行分类，按爭件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次 清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习題:1. U4 g男生fll3 g女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生Q有女生， 则不同的选法共有込2. 3成人2小孩乘船游玩1号船最多乘3人，2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船 或3只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.(27)本題还有如下分类标准:*以3个全能演员是否选上鸣歐人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会

8、跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果十四构1S模型策崎例14.马路上有编号为123,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或 3盘也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?解：把此间题当作一个排臥模型在6盏亮灯的5个空晾中插人3个不亮的灯有£种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问題直观解决竦习軀：某排共有10个座位，若4人就坐，毎人左右两边都有空也，那么不同的坐法有名少种？ (120)十五实陽探作穷举策昭例15.设有编号123,4,5的五个球和编号1,2,3,4,

9、5的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子,要求毎 个盒子放一个球，并目恰好有两个球的编号号盒子的编号相同，有多少投法解：从5个球中取岀2个与盒子对号有£种还剌下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法, 如果fl T 3,4,5号球,3,4,5号盒3号麻装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号 球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2C：种區3 43号盒4号盒5号盒对于条件比较复朵的排列组合问观，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习乐1同一寝室4人，毎人写一理年卡集中起来，然后每人各拿一别人的贺年卡，则四贺年卡不同的分配 方氏有

10、多少种?tA.分解与合成策HIM 16.30030能被多少个不同的偶数整除Wffi：先把30030分解成质因数的乘枳形式30030=2x3x5 x 7 x11x13,依题克可知偶因 数助先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘枳，所有的偶因数为：C； + C；+C； + C；+C； 竦习:正方体的8个质戊可连成多少对异面直线解：我们先从8f顷自中任取4个贞自沟成四体共有体共C： 12 = 58,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3x58 = 174对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基木的解题策略.把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决.然后依据问题分解后 的结构J

11、I1分类汁数原理和分步计数原理将问题合成.从而得到问题的答案每个比校复杂的问题都要用到这种解题策略 十七数字井序冋i査字典策IS例18.由0, 1, 2, 3, 4, 5兀个数字可以组成多少f没有重夏的比324105大的数？ 解:N = 2A；+2A：+A；+4；+A： =297数字排序问题可用查字典法，査字典的法应从拓位向低位査，依次求岀其符合要求的个数，根据分类汁数原理求出其总数。练习:用0,1,2,3,4,5 X个数字组成没有重夏的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第71个数 是 3140十八.材图策峪例19. 3人相互传球,由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲

12、的手中,则不同 的传球方式有N = 1O对于条件比较复杂的排列组合问題，不易用练习：分别编有1, 2, 3, 4, 5的人与氛其中/号人不坐i号椅(2345 )的不同坐袪有多少种？ N = 44十九.复杂分类问题表格策HI例20.有红、黄、兰色的球各5只冷别标有A、B、C、D、E五个字讯现从中取5只，要求各字伶均有冃三色齐备，则共有多少种不同的取法红111223黄123121321211取法ggCfc；c；c；C；C；一些复朵的分类选取題.要满足的条件比较多.无从入手.经常出现重复遗漏的情况.用表格法，则分类明确，能保证题中须 满足的条件能达到好的效果.二十：住店址策齡解决“允许重夏排列间题”

13、要注恿区分两类元素：一类元素可以重夏，另一类不能重夏，把不能 重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五顶冠军，毎顶冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.分折：因同一学生可以同时夺得nBS冠军，故学生可重夏排列，将七名学生看作7家“店”，五 顶冠军看作5名“客”，毎个“客”有7种住宿法，由乘法原375种.排列组合易錯題正媒解析1设有理解两个基本原理出錯排列组合间题基于两个基本廿数原«, IPJII法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘” 是解决排列组合冋题的前提.W m 6台原装廿算机和5台组装廿算机中任恿选取5台,其中至

14、少有原装与组装汁算ui各两台， 则不同的取法有种.« 2在一次运动会上有四加比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产4, fill么不同的夺冠悄况共有 ()种.(A) a：(B) 43(C) 34(D) c：2狎断不出是排列还是组合出猪在WBr-个间题是排列还是组合间題时,主要看元素的组成有没有噸序性，有颤序的是排列, 无颇序的是组合.«3有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球,排成一排，共有多少种不同的排列方袪?3重复廿算岀錯在排列组合中常会遇到元素分配间题、平均分组间题等，这些间题要注怠避免重MitU,产 生錯炭。«45本不同的书全甜分紿4个学生，毎个学生至少一本，

15、不同的分法种数为()(A) 480 种 (B)240 种 (C ) 120 种 (D ) 96 种M5某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，毎天安排一人值J8,毎人至少值2天，其不 同的排法共有()种(A ) 5040( B) 1260( C ) 210( D ) 6304遺漏廿算出錯在排列组合间题中还可能由于考虑间题不昵全面，因为遗漏某些悄况，而出錯。例6用数字0, 1, 2, 3, 4组成没有重夏数字的比1000大的奇数共有()(A) 36 个 (B ) 48 个 (C ) 66 个 (D ) 72 个5忽視題按条件出錯在解决排列组合I'nJSW 一定要注意题目中的毎一旬话甚至每

16、一丫字和符号，不然就可能名解 或者漏解.例7如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域色, 现有4种顾色可(ft选择，则不同的着色方法共有种.(以数字作答)6未考虑特殊情况出錯在排列组合中要特别注童一些特殊悄况，一有曲漏就会岀錯.例9现有1角、2用、5幷、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一，100元人民币2, U中至少取 一，共可组成不同的帀值种数是（）（A） （B）1023 种（01536 种（D）1535 种7S1的理解怕差岀錯10现有8f人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种（A）石揖（B） Al-AAl （C） AfAl （D）A；-A；8解

17、题策峪的选择不当出錯0i| 10高三年级的三个J8到甲、乙、丙、TE1个工进行社会实践，其中工厂甲必须有册级 去，毎册去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）（A） 16 种 （B）18 种（C）37 种（D）48 种萍列与组合习題1. 6f人分乘两辆不同的汽车，毎辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A. 40B. 50C. 60D. 702. 有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A. 36 种 B. 48 种 C. 72 种 D. 96 种3. 只用1,2,3 5个数字组成一个四位数，规定迪三个数必须同时使用，冃同一数字不能相邻出规, 这样的E1EU有

18、（）A. 6 个 B. 9 个 C. 18 个 D. 36 个4. 男女学生共有8人，从男生巾选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女 生有（）A. 2人或3人B. 3人或4人C. 3人D. 4人5. 某嗨楼从二楼到三楼的楼悌共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二 楼到三楼用8步走完，则方法有（）A. 45 种 B. 36 种 C. 28 种 D. 25 种6. 某公司招贈来8各员工，平均分配给下屈的甲、乙两个部门，其中两名英培制译人员不能分在 同一个部门，另外三名电脂编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A. 24 种 B. 36 种 C

19、. 38 种 D. 108 种7.已知集合心5,弘1,2, Z?=1,3,4）,个集合中各取一个元素构成空同直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A. 33 B. 34 C. 35 D. 369. 如果在一周（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览IL毎天最多只安排一所学校，要求 甲学校连续参观两天，其余学校均只参现一天，那么不同的安排方法有（）A. 50 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 210 种10. 安排7位工作人员在5月1日到5月7日值册，毎人值册一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2 H,不同的安排方法共有种.（用数字作答）11. 今有2个红球、3个黄球

20、、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的排法.（用数字作答）12将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆相邻版务，不同的分配方案有种（用数字作答）.13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种顾色不同的花，要求区域不同色，有种不同的种法（用数字作答）.14弟标号为1, 2, 3, 4, 5, 66卡片放入3个不同的信封卩若每f信封（）12, M中标号为1, 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A） 12 种（B ） 18 种（C ） 36 种（D） 54 种15. 某单位安排7位员工在10月1日至7 Ellfiffl，毎天1人，

21、毎人值册1天，若7位员工巾的甲、 乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504 种B.960 种C. 1008 种D. 1108 种16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重夏数字且1、3都不与5相邻的穴位偶数的个数是（力）72（ 8） 96（ C） 108（ D） 14417 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列（数字允许重夏）表示一个信息,不同排列 表示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息 个数为A.10B.11C.12D.1518 现安排甲、乙、丙、Ts戌5名同学参加世博会志愿者版务活动，毎

22、人从事翻译.导游.礼 攸司机BIHlI作之一，毎顼工作至少有一人参加。甲.乙不会开车但能从事其他三顶工作，丙丁戌都能KttEllI作,则不同安排方案的种数是A. 152B.126C.90D.5419. 甲组有5各男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组巾各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）（A） 150 种（B） 180 种（C ） 300 种（D）345 种20. 将甲、乙、丙、丁呱名学生分到三个不同的册，每个J8至少分到一名学生，目甲、乙两名学 生不能分到同一个ffi, i不同分法的种数为A18 B.24C.30 D.3622. U10 gt学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有人选的 不同选法的种数位A 85B56C49D 2824. 12个篮球臥中有3个强从，将2 12个从任直分成3个组（毎组4个P! ）, »3个強臥恰好被 分在同一组的IB率为（）A.丄 B. C. -D.-55554325. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最名站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的姑法种数是（用数字作答）26. iK中煮有芝« III 6个，花生餡说冏5f,豆沙馅畅凰14个，这三种丙冏的外部特征完全相同。从中任