探索勾股数的规律

1、探索勾股数的规律a、初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重耍定理：勾股定理。如果直角三角形的三边2 2 2b、c （a< b < c）,由勾股定理可知：a b = c ,其中a为勾，b为股，c为弦。若它们都为整数时，则它们 称为一组数。如何求得一组勾股数呢？勾股数有多少组呢？为此我们可以在以下四个方面来研究这些问题。一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律1、列表，观察表中每组勾股数.名称 组别a （勾）b （股）c （弦）第1组345第2组51213第3组72425第4组94041第5组116061第n组2n+12n2+2n2n2+2n+12、归纳规律：（1）每组中a都是奇

2、数;（3） c = b+1，cQ由此可得第n组当a=2n+1时b2（2n1）2 -12=2n2 2n于是有第n组勾股数为2n+1、2n2+2n22n +2n+1 （ n为正整数）3、证明： a2 b-（2 n 1）2（2n22n）2 a2 b2=c222 2n+1、2n 2n、2n 2n 1（ n为正整数）是一组勾股数4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式:（1）列表观察名称 组别a （勾）b （股）c （弦）第1组2 X 2X 1=4第2组2 X 3X 2=12第3组2 X 4X 3=24第4组2 X 5X 4=40第5组2 X 6X 5=60第n组（2）归纳规律：略。当 n为正整数时，勾股

3、数为:化简后即为：a、b、c分别为2n+l、2n22n、2n22n（3）证明过程：同前面的证明。二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律1、列表观察表中每组勾股数、a2 - =b c,b 二2-4一名称 组别、a (勾)b （股）c (弦)第1组435第2组6810第3组81517第4组102426第5组123537第n组2、归纳规律：（1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）；(3)、c"2,242由此可得第n组中的a =2（n1）时，则:2 2或 c=b+2=(n2n)+2=n2n+2 ，于是有第n组勾股数为2(n，1)、n2 - 2n、n2 - 2 n，2 ( n为正整

4、数)2 2 2 2 23、证明：/ a b -2(n 1) (n 2n)=c2二2 （ n+1 ）、n2 2n、n2+2n+2 （ n为正整数）是一组勾股数。三、运用配方法探求勾股数的规律1、a （勾）、b （股）、c （弦）用含有 m、n （两个不同的正整数且 m> n）的代数式表示: 此时，它们也是一组勾股数。2、证明： a2 b2 =（m2 -n2）2 （2mn）2b22222二m -n、2mn、m ，n （m、n表示两个不同的正整数且m>n）是一组勾股数四、运用已知勾股数探求勾股数的规律1、 如果a、b、c是一组勾股数，那么na、nb、nc （ n为正整数）也是一组勾股数。

5、例如一组勾股数是 3、4、5，当n=2时那么得到另一组勾股数为6、8、10。2 2 22、证明： a b =c二（na）2 （nb）2 二 n2a2 n2b2如果a、b、c是一组勾股数，那么na、nb、nc （n为正整数）也是一组勾股数。2 2 2 2说明：在等腰直角三角形中因为a=b,因此a b = 2a =c得c = 2a，所以a、b、c不可能都为整数。即等腰直角三角形三边长组成的不是一组勾股数。综上所述得以下勾股数的四种表现形式： 2n+i、2n2 2n、2n2 2n -1 （n为正整数）是一组勾股数。 2 （n+1）、n2+2n、n2+2n+2 （ n为正整数）是一组勾股数。2 2 2 2 m -n、2mn、m ，n （m、n表示两个不同的正整数且m>n）是一组勾股数。如果a、b、c是一组勾股数，那么 na、nb、nc （n