倒立摆实验报告.doc

1、倒立摆实验报告倒立摆实验报告 机自 82组员：李宗泽李航刘凯付荣 倒立摆与自动控制原理实验 一.实验目得：1、运用经典控制理论控制直线一级倒立摆，包括实际系统模型得建立、根轨迹分析p 与控制器设计、频率响应分析p 、PID 控制分析p 等内容、运用现代控制理论中得线性最优控制LQR 方法实验控制倒立摆 3、学习运用模糊控制理论控制倒立摆系统 4、学习MATLA工具软件在控制工程中得应用 、掌握对实际系统进行建模得方法,熟悉利用MATB 对系统模型进行仿真,利用学习得控制理论对系统进行控制器得设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察与分析p ，非常直观得感受控制器得控制作用。二、实验设

2、备 计算机及MATAB、C等相关软件 固高倒立摆系统得软件 固高一级直线倒立摆系统,包括运动卡与倒立摆实物 倒立摆相关安装工具 三 倒立摆系统介绍 倒立摆就是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术得有机结合,其被控系统本身又就是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合得非线性系统，可以作为一个典型得控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中得一种比较理想得实验手段，为自动控制理论得教学、实验与科研构建一个良好得实验平台,以用来检验某种控制理论或方法得典型方案,促进了控制系统新理论、新思想得发展。由于控制理论得广泛应用,由此系统研究产生得方法与技术将在半导体及精密仪器加工、机

3、器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中得垂直度控制、卫星飞行中得姿态控制与一般工业应用等方面具有广阔得利用开发前景 倒立摆已经由原来得直线一级倒立摆扩展出很多 种类,典型得有直线倒立摆环形倒立摆，平面倒立摆与复合倒立摆等，本次实验采用得就是直线一级倒立摆。倒立摆得形式与结构各异,但所有得倒立摆都具有以下得 特性: ）非线性2）不确定性3) 耦合性4) 开环不稳定性5）约束限制 倒立摆 控制器得设计就是倒立摆系统得核心内容,因为倒立摆就是一个绝对不稳定得系统,为使其保持稳定并且可以承受一定得干扰,需要给系统设计控制器，本小组采用得 控制方法有:ID 控制、双PI控

4、制、R控制、模糊PI控制、纯模糊控制 四.直线一级倒立摆得物理模型: 系统建模可以分为两种:机理建模与实验建模。实验建模就就是通过在研究对象上加上一系列得研究者事先确定得输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测得输出,应用数学手段建立起系统得输入-输出关系。机理建模就就是在了解研究对象得运动规律基础上,通过物理、化学得知识与数学手段建立起系统内部得输入-状态关系。,由于倒立摆本身就是自不稳定得系统，实验建模存在一定得困难。但就是忽略掉一些次要得因素后,倒立摆系统就就是一个典型得运动得刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统得动力学方程。下面我们采用 牛顿- - 欧拉方 法建立

5、直线型一级倒立摆系统得数学模型：在忽略了空气阻力与各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车与匀质杆组成得系统,如图所示: 我们不妨做以下假设: M 小车质量 m 摆杆质量 b小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心得长度 I摆杆惯量 F 加在小车上得力 _ 小车位置 摆杆与垂直向上方向得夹角 摆杆与垂直向下方向得夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 图就是系统中小车与摆杆得受力分析p 图。其中，N 与P 为小车与摆杆相互作用 力得水平与垂直方向得分量。注意：在实际倒立摆系统中检测与执行装置得正负方向已经完全确定,因而 矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。分析p 小车水平方向所受得合

6、力,可以得到以下方程:（3) 由摆杆水平方向得受力进行分析p 可以得到下面等式:(-2) 即：(3-3) 把这个等式代入式（3)中，就得到系统得第一个运动方程:（3）为了推出系统得第二个运动方程,我们对摆杆垂直方向上得合力进行分析p ， 可以得到下面方程：(35)（3-6）力矩平衡方程如下: (37) 注意:此方程中力矩得方向,由l,故等式前面有负号。合并这两个方程,约去P 与N,得到第二个运动方程：(38) 设+（ 就是摆杆与垂直向上方向之间得夹角),假设与1(单位就是弧 度)相比很小，即2、双 PID 实验控制参数设定及仿真。在 Slizng 建立直线一级倒立摆模型 上下两个 PID 模块

7、。鼠标右键,选择 “ Lo uner mak”打开模型内部结构分别为:双击第二个模块打开参数设置窗口令 kp=、k=0、k= 得到摆杆角度仿真结果 可瞧出控制曲线不收敛。因此增大控制量。令 kp-30、k=0、kd=、得到如下仿 真结果 从上面摆杆角度仿真结果可瞧出,稳定比较好。但稳定时间稍微有点长。双击第一个模块打开参数设置窗经多次尝试在此参数即 k7,ki0,p=-4、5 情况下效果最好。得到以下仿真结果黄线为小车位置输出曲线,红线为摆杆角度输出曲线.从图中可以瞧出,系统可以比较好得稳定。稳定时间在3 秒之间。稳定性不错.。双 PID 控制实验 打开直线一级倒立摆爽 PID 实时控制模块

8、双击oubP控制模块进入参数设置把参数输入 PID 控制器。编译程序,使计算机同倒立摆连接。运行程序.实验结果如下图所示 从图中可以瞧出，倒立摆可以实现比较好得稳定性。（二) 线性最优二次控制 LQR线性二次最优控制R 控制实验1 线性二次最优控制 LQR 基本原理及分析p 线性二次最优控制QR 基本原理为,由系统方程:确定下列最佳控制向量得矩阵 K:u（）K_(t）使得性能指标达到最小值：式中Q正定（或正半定)厄米特或实对称阵R为正定厄米特或实对称阵图 3-54最优控制 LQR 控制原理图方程右端第二项就是考虑到控制能量得损耗而引进得,矩阵 Q 与确定了误差与能量损耗得相对重要性。并且假设控

9、制向量 u(t）就是无约束得.对线性系统:根据期望性能指标选取 与 R,利用 MTLAB 命令 lqr 就可以得到反馈矩阵 K 得值。Klqr(,B，Q，R)改变矩阵 Q 得值,可以得到不同得响应效果，Q 得值越大(在一定得范围之内）,系统抵抗干扰得能力越强,调整时间越短。但就是 不能过大2、LQR 控制参数调节及仿真前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统得比较精确得动力学模型,下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用 LQR 法设计与调节控制器,控制摆杆保持竖直向上平衡得同时,跟踪小车得位置。前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统得系统状态方程:应 用 线 性 反 馈 控 制 器 , 控 制 系 统

10、 结 构 如 下 图 。图 中 R就是施加在小车上得阶跃输入，四个状态量 _,_，,分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度与摆杆角速度,输出 y = _, 包括小车位置与摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时,摆杆会摆动,然后仍然回到垂直位置,小车可以到达新得指定位置.假设全状态反馈可以实现(四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律得向量.在 Mta中得到最优控制器对应得K。Lqr函数允许您选择两个参数 与 Q，这两个参数用来平衡输入量与状态量得权重。最简单得情况就是假设R = 1,Q =C_C .当然,也可以通过改变 Q 矩阵中得非零元素来调节控制器以得到期望得响应.其中, Q1,

11、1 代表小车位置得权重,而 Q3,3 就是摆杆角度得权重，输入得权重 R 就是 。下面来求矩阵 K，atlab 语句为 K lqr(,，Q，R）。下面在MALB 中编程计算: A=0 1 0 ; 0 ;0 0 0 1; 0 0 9、4 ； B= 1 0 ; = 0 ; 0 1 0； D= 0"； Q1=150;Q33=300； Q1 0 0 0; 0 0; Q33 0； 0 0 0 0； R=1; K=qr(,Q，); =(AB_K)；Bc=B；Cc=C;Dc=D； T=0：0、005:； U0、nes（e（T); C1 0 0 0; bar=rcale（A,B,n,0,K）;BnN

12、br_B； Y，_=lsim(A，Bc,Cc,U,T）; plot(T，_(:,1）,");hold on; plo（T，_(：,2),"）;hod on； ot(T,_（：,3),"、"）；hold n; plot（,(：,4),"-)；leged("crtps","cats,penang,"pedsd) 令 Q1，1 ,Q3, 1 求得K11、7555、4224、684在 Simlin 中建立直线一级倒立摆得模型如下图所示：“LQ ntrole”为一封装好得模块，在其上单击鼠标右键,选择“Loo nd

13、rmask打开 LQ Contoller 结构如下：双击“ri_ gin K”即可输入控制参数：点击 执行仿真,得到如下仿真结果：LQR 控制得阶跃响应如上图所示,从图中可以瞧出,闭环控制系统响应得超调量很小,但稳定时间与上升时间偏大，我们可以通过增大控制量来缩短稳定时间与上升时间。可以发现，Q矩阵中，增加 Q11 使稳定时间与上升时间变短，并且使摆杆得角度变化减小.经过多次尝试,这里取 Q1，500, 3,3 =00,则 K = -3、798-23、825581、618 14、7098输入参数,运行得到响应曲线如下：从图中可以瞧出,系统响应时间有明显得改善,增大1,1 与,3,系统得响应还会

14、更快，但就是对于实际离散控制系统,过大得控制量会引起系统振荡.、直线一级倒立摆QR 控制实验 打开直线一级倒立摆 LR 实时控制模块其中“LQ Cnollr”为 LQR 控制器模块,“Rea Cotol”为实时控制模块,双击“LQ Croller”模块打开 LQR 控制器参数设置窗口如下:在“LR ole”模块上点击鼠标右键选择“Lok unde mas"打开模型如下：双击“R Contol模块打开实时控制模块如下图:其中“Pnulum”模块为倒立摆系统输入输出模块,输入为小车得速度“Vel ”与“Acc ”,输出为小车得位置“Pos”与摆杆得角度“Angle ”。双击“eulu&q

15、uot;模块打开其内部结构:其中“et Carts c and Vel"模块得作用就是设置小车运动得速度与加速度，Gt rs sition"模块得作用就是读取小车当前得实际位置,“e Pends ngle" 得作用就是读取摆杆当前得实际角度.2)运行程序，实验运行结果如下图所示: 其中图片上半部分为小车得位置曲线，下半部分为摆杆角度得变化曲线，从图中可以瞧出,小车位置与摆杆角度比较稳定。控制效果很好。在此实验中,R 值固定，R=1,则只调节 Q 值，1 代表小车位置得权重,而 Q33 就是摆杆角度得权重,若3增加，使得得变化幅度减小,而位移得响应速度变慢;若11

16、增加，使得 r 得跟踪速度变快，而得变化幅度增大.当给系统施加一个阶跃输入后，得到系统得响应结果。从响应曲线可明显瞧出就是否满足系统所要达到得性能指标要求。通过这样反复不断得试凑,选取能够满足系统动态性能要求得 Q 与 R。（ 三) 直线二级倒立摆 直线两级倒立摆由直线运动模块与两级倒立摆组件组成.6、1系统物理模型为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力与各种摩擦，并认为摆杆为刚体。二级倒立摆得组成如图61所示:图 61 直线两级倒立摆物理模型倒立摆参数定义如下：M小车质量m1摆杆 得质量m2摆杆 2 得质量3质量块得质量l1摆杆 1 中心到转动中心得距离l2摆杆 2 中心到转动中心得距离1

17、摆杆 1 与竖直方向得夹角 摆杆 2 与竖直方向得夹角作用在系统上得外力利用拉格朗日方程推导运动学方程：拉格朗日方程为: L(q，q）=（q,）V(q,）其中L为拉格朗日算子,q为系统得广义坐标,T 为系统得动能, 为系统得势能。其中 =1，2,3n，f i为系统在第 i 个广义坐标上得外力,在二级倒立摆系统中,系统得广义坐标有三个广义坐标,分别为 _,1，2 。首先计算系统得动能:其中 Tm,1,T2，Tm分别为小车得动能，摆杆 得动能，摆杆 2 得动能与质量块得动能。小车得动能：Tm1= Tm1" Tm 其中 Tm1" ，Tm2 分别为摆杆 1 得平动动能与转动动能。2

18、= Tm2 " +Tm 其中 Tm2 " ,Tm2 分别为摆杆 2 得平动动能与转动动能.对于系统，设以下变量:_end1摆杆 质心横坐标;yangle1 摆杆 1 质心纵坐标;_pend2摆杆 2 质心横坐标；yangl2 摆杆 2 质心纵坐标;_ma质量块质心横坐标;ymass 质量块质心纵坐标;又有：由于系统在1,2 广义坐标下没有外力作用，所以有：在aemaic中计算以上各式。因其余各项为 0，所以这里仅列举了 k12、k13、k22、k23、27等 7 项,得到结果如下：、系统可控性分析p 系统状态矩阵 A,，,D 如下: 利用 MLAB 计算系统状态可控性矩阵与

19、输出可控性矩阵得秩：得到结果如下:或就是通过 MTLAB 命令 ctrb 与 obsv 直接得到系统得可控性与可观测性。运行得到:可以得到,系统状态与输出都可控，且系统具有可观测性.6、3直线两级倒立摆AL仿真在 MALAB Simlink 中建立直线两级倒立摆得模型:其中“teSpae”模块为直线两级倒立摆得状态方程,双击模块打开模型: “Contrlle”模块为控制器模块,在“Cotroller”模块上单击鼠标右键，选择 “ Look under mask”打开模型内部结构：其中“ar_ Gin K”为反馈矩阵。双击“ontroler"模块打开其参数设置窗口: 先设置参数为“1&

20、quot;。“isturbane”模块为外界干扰模块，其作用就是给系统施加一个阶跃信号，点击“ ”运行模型进行开环系统仿真.得到运行结果如下:从仿真结果可以瞧出,系统发散,为使系统稳定,需要对其添加控制器。6、 Q 控制器设计及仿真给系统添加 LR 控制器,添加控制器后得系统闭环图如下图所示 :下面利用线性二次最优控制 LR 方法对系统进行控制器得设计 cear;clc;=2k;4、6=7k；6、1-=31k；6、681k0、31;3=39、45；k2=-0、088; a= 0 0 0 0 0；0 0 0 1 0；0 0 1;0 0 0 0; k12 13 0 0 0 ； k22 k23 0

21、0 0；;"7k k 0 0 =b = 0 0 0 0 ； 1 0 0 0 0;0 0 0 0 ； ;0 ;0 ;0=d 1= ； 1;q3 =1; q1 0 0 0 0;0 q22 0 0 0 0；0 0 q33 0 0 0；0 0 0 0 0; 0 0 0 ；0 0 0 0 0 0; r=; ;k_b=aa)r，q,b,(rql=k=b_k（)； ;)，c,b,aa(ss=st=0:0、：5; y，,=sep(ys,）; plot(t,y(:，1)，g,t,y（:,2)，r",t,y（：,3);o dir 运行得到以下结果:LR 控制参数为：K= 7、8 83、4、01

22、6 4、291 -3、036得到仿真结果如下：可以瞧出,系统稳定时间过长，因此增加权重 Q 得值。设 Q11=00;500；Q33=50；运行得到仿真结果：R 控制参数为：K= 17、3211、7 -17、518、46 2、706 、142从图中可以瞧出,系统可以很好得稳定,在给定倒立摆干扰后,系统在 2、5 秒内可以恢复到平衡点附近。把以上仿真参数输入 Smulnk 模型中 得到运行结果 从图中可知，系统稳定性还不错。但这未必就是最好得参数。所以,下面改变 LR 参数，比较结果变化。确定最合适参数。、设 Q=000;Q22=50;Q=5;运行得到仿真结果: LQR 控制参数为：31、628

23、116、7093 28、74 29、141 1、2221-39、3596可瞧出位置在 2 秒左右就可恢复到平衡点位置。而角度依然就是在 2、5 秒内恢复到平衡位置.2、设 Q1=150；Q2=00；Q3=0；运行得到仿真结果: LQR 控制参数为：k 38、798 11、283 257、0671 3、161 0、5092 2 、166可瞧出位置在、2、秒内就可恢复到平衡点位置而角度依然就是在 2、5 秒内恢复到平衡位置。3、设11150;22=500;33=0；运行得到仿真结果: LR 控制参数为:k =44、1121、 22、59343、3560、084945、41 可瞧出位置依然在 1、秒

24、就可恢复到平衡点位置。而角度依然就是在 2、5 秒内恢复到平衡位置.4、设 Q1=1500；Q22=1000;Q33=100;运行得到仿真结果: Q 控制参数为: =8、7298129、4996 -81、185、7380、4214、505 可瞧出位置在 1、5、内就可恢复到平衡点位置。而角度就是在 2、5 秒内恢复到平衡位置.5、设 Q1=500;Q22=100;Q33=10;运行得到仿真结果: LQR 控制参数为： 3、210、6175 -3、14873、46160、5479-38、17 可瞧出位置在 1、内就可恢复到平衡点位置而角度就是在 2 秒内恢复到平衡位置.通过对比,第 5 个参数最

25、合适。LQR 控制参数为: k =38、729808、617 -32、148732、6160、4-38、70 把其输入到imunk 模型中。得到运行结果。此结果最好,系统不仅可以很好得稳定,而且在给定倒立摆干扰后,系统可在 2 秒内恢复到平衡点附近.八.个人小结。倒立摆实验个人小结李航 0801041大三上学期得第一次机械工程实验，我们接触与学习了减速器,维持一个学期得实验,我们从结构,运动等方面，对机械有了更深得认识,而这个学期,我们要更进一步，从机械控制理论,来让自己对机械得理解，有一个新得高度。我们接触得倒立摆就是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术得有机结合，其被控系统

26、本身又就是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合得非线性系统，可以作为一个典型得控制对象对其进行研究。倒立摆数学模型: 通过对倒立摆系统得物理模型与实际模型得认知,以及对该系统得阶跃响应，可控性分析p 与频率响应分析p ,我们可以知道倒立摆系统就是不稳定得,可控得,所以就有了我们得课题：具体得控制方法。在前半个学期,我们学习了机械控制理论,了解了伯德图与奈奎斯特图,而在大一得高数学习中,我们初步学习了MTA,通过在图书馆以及网上查找资料，我们学习了SIULIN仿真,为这次实验打下了一定得基础。对于一级倒立摆线性系统，我们实验了两种控制方法：分别就是双PID控制与LQR控制。常规得P控制,就是最

27、早得也就是最经典得一种控制方式,由于其算法简单、鲁棒性好、可靠性高,因而至今仍广泛应用于工业过程控制中。它有三个控制环节,分别就是比例、积分与微分，实验中使用得控制器得传递函数就是其中p、K分别为比例系数、积分系数与微分系数。各个系数功能如下: 1、比例系数Kp增大,闭环系统得灵敏度增加,稳态误差减小,系统振荡增强;比例系数超过某个值时，闭环系统可能变得不稳定。2、积分系数Ki增大,可以提高系统得型别,使系统由有差变为无差；积分作用太强会导致闭环系统不稳定。3、微分系数Kd增大,预测系统变化趋势得作用增强，会使系统得超调量减小,响应时间变快.但就是上述得各个参数在调节过程中并不就是相互独立得,

28、而就是会相互影响。ID控制得快速性较差,而且只能对摆角进行控制,无法控制位移。双PD控制,则解决了传统得D控制只能控制摆角得缺陷,但就是对于双D控制，如何使摆角角度与小车位置达到协调，使系统响应收敛,就是个难题,而且PD控制就是单控制量,外部扰动对实验结果得影响会比较大,所以我们学习了线性二次型控制,也就就是LQR控制。LQR控制就是通过最小化性能指标,得到系统得控制量U=-K_,其中Q，分别就是状态变量与输入向量得加权矩阵,就是状态量，就是控制量，K就是状态矩阵.根据期望性能指标选取与R,利用MATLAB 命令qr 就可以得到反馈矩阵K 得值。=lqr( ，Q,R）改变矩阵Q 得值，可以得到

29、不同得响应效果, 得值越大(在一定得范围之内），系统抵抗干扰得能力越强,调整时间越短。利用TLAB自带得函数,可以很快算出反馈矩阵各参数得值.通过实验结果，我们发现LQR控制作为多变量得控制,稳定性，快速性与抗干扰性都很好,R控制可得到状态线性反馈得最优控制规律 ,易于构成闭环最优控制就是现代控制理论中发展最早也最为成熟得一种状态空间设计法。实验心得: 比较这三种控制方法，经典PID控制方法得效果就是最不理想得，因为PD这类单输入输出得线性控制器,对于倒立摆这种非线性,很不稳定得系统，虽然能使其稳定,但就是快速性与抗干扰性都很差,相比较而言，LR得效果就要好很多。这次得倒立摆实验,可以说就是我

30、做过得最难得一个实验了,不仅涉及面十分广,而且涉及得知识也都很难。通过这次实验，我们对机械控制理论有了更深一步得了解,也把书上学得知识,应用到了实际中 在实验过程中,我们认识了倒立摆这个经典得控制系统，也接触了PID与LQR等多种控制方法,让我们对机械,这个词得概念,也更加深入得有了自己得理解。而且作为一个分组实验,我充分感受到了团队力量得强大,也体会到了克服困难得艰辛,学会了用多种得途径去解决难题。通过预习,借阅书籍，上网等多种途径，也为将来得学习打下良好得基础。而且通过这个控制领域得经典基础实验,为将来考研以及科研都就是很有帮助得。同时要感谢同学与老师对自己得帮助，让自己能顺利得完成这次实

31、验.但就是在实验中，我个人也有一些建议。首先这个实验得基础就是机械控制理论基础这门课，但就是这么课我们在实验开始得时候压根就没学，所以前几周只能靠自学或者毫无进展，但就是自学不能保证效率,所以实验得时间安排感觉不就是很好。倒立摆实验小结李宗泽我就是这次倒立摆实验我们小组得组长,由于分组得关系，我们组得组员平时成绩都不就是特别理想,但就是从一开始，我们就有信心能把这次实验完成。这次实验要求我们运用经典控制理论控制直线一级倒立摆,包括实际系统模型得建立、控制器设计、频率响应分析p 、ID 控制分析p 等内容。运用现代控制理论中得线性最优控制QR 方法实验控制倒立摆.并且能熟练得运用matlab解决

32、实际问题，了解IMULK仿真。倒立摆就是一种典型得快速、多变量、非线性、绝对不稳定、非最小相位系统.就是进行控制理论研究得典型实验平台,倒立摆实验就是运用古典控制理论，结合现代应用软件MALAB里得IMLK对其进行仿真,最后在实际实验中对摆杆进行快速性,准确性与稳定性控制，达到理想得效果。因此,研究倒立摆具有重要得理论与实践意义。实验得初期，也就就是前几周，我们主要先大致预习了控制理论里得频率响应与时域响应得内容,了解了伯德图与奈奎斯特图得含义。并且到图书馆里借阅了相关书籍，到网上查找有关资料,并且结合大一时得高数课，复习了tab得基本操作。这次实验得主要内容就是利用三种控制方法,使倒立摆系统

33、达到稳定，并且比较三种控制方法得优劣。我们首先做得就是经典PID控制，经典P控制就是最早发展起来得一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、可靠性高,因而至今仍广泛应用于工业过程控制中。该方法得主要思想就是:根据给定值r与系统得实际输出值c构成控制偏差e，然后将偏差得比例（ ) 、积分( I）与微分(D）三项通过线性组合构成控制量,对被控对象进行控制,故称为PI控制。比例环节P得作用,就是对当前时刻得偏差信号进行放大或衰减后作为控制信号输出。积分环节I可以累计从零时刻起到当前得输入信号得全部值。微分环节得输出正比于输入得当前变化率,作用就是有偏差信号得当前变化率来预见随后得偏差将就是增大还就是减

34、小,增减幅度如何。PID控制通过调节K,I，三个基本参数,来实现仿真，达到预期得控制效果,但就是D控制就是一个单输入输出得控制，它只能摇杆得角度,而不能控制小车得位移。双PID控制就是利用两个PD来同时控制倒立摆系统,双PID得模型如下:双PID控制虽然能控制小车得位移,但就是我们在实际操作过程中,发现实验结果得曲线很难达到收敛，往往都就是发散得。R控制:线性二次型调节器(Linear Qaratic Regulaor R）问题在现代控制理论中占有非常重要得位置，受到控制界得普遍重视,应用十分广泛，就是现代控制理论得中最重要得成果之一。线性二次型（LQ）性能指标易于分析p 、处理与计算，而且通

35、过线性二次型最优设计方法得到得倒立摆系统控制方法，具好较好得鲁棒性与动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点,因而在实际得倒立摆控制系统设计中,得到了广泛得应用。LQR控制通过mta得程序，根据期望性能指标选取Q与R,就可以得到反馈矩阵K得值。改变矩阵Q得值，可以得到不同得响应结果,得值越大,系统抵抗干扰能力越强，调整时间越短。从实验得结果来瞧,LQR控制在快速性与抗干扰性上，都要强于PD控制，这就是因为LQR就是多变量控制.经过了这次实验,我有了很多收获：1.作为一个小组得组长,我体会到了自己身上得责任与压力,从分配任务到实验进行,实验报告,对我自己都就是一个很好得锻炼。2.这次实验过程中,我

36、也学习到了很多平时接触不到得知识，复习了malab得应用，了解了simulink模块得应用,而且也对现代控制理论有了理解，为将来得学习打下基础.3.体会到了团队力量得强大，大家得互相努力,才有了这次实验得成功.4.最后离不开老师与同学对自己与我们这个小组得帮助，感谢老师与同学 倒立摆实验小结 机自2刘凯0801144 倒立摆就是进行控制理论研究得典型实验平台。由于倒立摆系统得控制策略与杂技运动员顶杆平衡表演得技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象得控制理论概念如系统稳定性、可控性与系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观得表现出来。倒立摆系统本身所具有得高阶次、不稳定、多变量、非

37、线性与强耦合特性。主要特点包括:、开放性:采用四轴运动控制板卡,机械部分与电气部分非常容易扩展,可以根据用户需要进行配置.系统软件接口充分开放,用户不仅可以使用配套得实验软件，而且可以根据自己得实际需要扩展软件得功能2 模块化：系统得机械部分可以选用直线或者旋转平台，根据实际需要配置成一级、二级或者三级倒立摆而三级摆可以方便地改装成两级摆，两级摆可以改装成一级摆。系统实验软件同样就是基于模块化得思想设计,用户可以根据需要增加或者修改相应得功能模块。3 简易安全:摆实验系统包括运动控制板卡、电控箱（旋转平台系统中与机械本体联在一起)、机械本体与微型计算机几个部分组成,安装升级方便。同时在机械、运

38、动控制板卡与实验软件上都采取了积极措施，保证实验时人员得安全可靠与仪器安全。4 方便性：倒立摆系统易于安装、升级,同时软件界面操作简单。5 先进性:采用工业级四轴运动控制板卡作为核心控制系统，先进得交流伺服电机作为驱动,检测元件使用高精度高性能光电码盘。系统设计符合当今先进得运动控制发展方向。 实验软件多样化:用于实验得软件包括经典得oraC+，VC+，以及控制领域使用最多得仿真工具 Mlab,提供完备得设备接口与程序接口，方便用户进行实验与开发.特性包括1）非线性倒立摆就是一个典型得非线性复杂系统,实际中可以通过线性化得到系统得近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进

39、行控制。倒立摆得非线性控制正成为一个研究得热点。2）不确定性主要就是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性,如通过施加预紧力减少皮带或齿轮得传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。3)耦合性倒立摆得各级摆杆之间,以及与运动模块之间都有很强得耦合关系,在倒立摆得控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要得耦合量。4）开环不稳定性倒立摆得平衡状态只有两个,即在垂直向上得状态与垂直向下得状态，其中垂直向上为绝对不稳定得平衡点,垂直向下为稳定得平衡点。5）约束限制由于机构得限制,如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便与降低成本,倒立

40、摆得结构尺寸与电机功率都尽量要求最小,行程限制对倒立摆得摆起影响尤为突出,容易出现小车得撞边现象。这个学期我们学习了机械控制理论基础这门课程正好应用在本次实验上。我们借阅了很多关于智能控制及现代理论控制方面得书籍,深入地了一级倒立摆,二级倒立摆得原理。,、在完成得过程中尽管遇到了重重困难,但就是在老师与同学得帮助下,在通过我们自己得努力,也顺利将其克服。实验结束了,我们受益匪浅,这次实验不但锻炼了我们得发现问题，思考问题，解决问题得能力,还使我们对机械控制系统得进一步认识,培养了我们小组成员得分工协作能力 。气氛渲染的恰到好处。一、实验内容1、完成Matlab Simulink 环境下的电机控

41、制实验。2、完成直线一级倒立摆的建模、仿真、分析p 。3、理解并掌握PID控制的的原理和方法，并应用与直线一级倒立摆4、主要完成状态空间极点配置控制实验、LQR控制实验、LQR控制(能量自摆起)实验、直线二级倒立摆Simulink的实时控制实验。二、实验设备1、计算机。2、电控箱，包括交流伺服机驱动器、运动控制卡的接口板、直流电等。3、倒立摆本体，包括一级倒立摆，二级倒立摆。三、倒立摆实验介绍倒立摆是一个典型的不稳定系统，同时又具有多变量、非线性、强耦合的特性，是自动控制理论中的典型被控对象。它深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，运用控制手段可使之具有一定的稳定性和良好的

42、性能。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。（1） 被控对象 倒立摆的被控对象为摆杆和小车。摆杆通过铰链连接在小车上，并可以围绕连接轴自由旋转。通过给小车施加适当的力可以将摆杆直立起来并保持稳定的状态。（2） 传感器 倒立摆系统中的传感器为光电编码盘。旋转编码器是一种角位移传感器，它分为光电式、接触式和电磁感应式三种，本系统用到的就是光电式增量编码器。（3） 执行机构 倒立摆系统的执行机构为松下伺服电机和与之连接的皮带轮。电机的转矩和速度通过皮带轮传送到小车上，从而带动小车的运动。电机的驱动由与其配套的伺服驱动器提供。

43、光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，而光电码盘2 将摆杆的位置、速度信号反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。图1 直线倒立摆系统总体结构图四、实验步骤4.1 状态空间极点配置控制实验极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。前面我们已经得到了倒立摆系统的比较精确的动力学模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器。 1）状态空

44、间分析p &=对于控制系统_ A_+Bu式中：_状态向量（n维）；u控制向量；An´n常数矩阵；Bn´1常数矩阵。选择控制信号为：u=-K_& 求解上式，得到：_ (t)=(A-BK)(_t)(AB-K)t 方程的解为：_t=e_(0)图3 状态反馈闭环控制原理图可以看出，如果系统状态完全可控，K选择适当，对于任意的初始状态，当t 趋于无穷时，都可以使趋于0。 2)状态空间极点配置前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输 入的系统状态方程为： &ùé_é0ê&ê0&a

45、mp;ú_ ê&ú=êêfúê0êúê&&fêûúë0ë100000029.40ùé_ùé0ùê_êú&ú0ú1úêú+êúu"ê0ú1úêfúúê&úê

46、50;0ûêfúë3ûëûé_ùé1y=êú=êëfûë0é0ê0即： A=êê0êë01000000100029.4é_ùê&ú0ùê_ú+é0ùu"ê0ú0úûêfúëûê&am

47、p;úêëfúûé0ù0ùê1ú0úú B=êúê0ú1úêúú0ûë3ûé1 C=êë000010ùé0ù D=êú0úë0ûû对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约3秒）和合适的阻尼（阻尼比z=0.5）。下面采用极点配置的

48、方法计算反馈矩阵。1、检验系统可控性由系统可控性分析p 可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数4，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量的维数2，所以系统可控。图4 倒立摆极点配置原理图2、计算特征值根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为2秒），我们选取期望的闭环 极点s其中：=mi=1,2,3,4)i(。m=-=10,m-=10,m-2+j23,m=-2-j231234的主导闭环极点，m1,m2位于主导闭环极点的左m3,m4是一对具有z=0.5,w4n=边，因此其影响较小，可以将系统近似为二级系统，根据公式-zp1-z2e=dts=3.3zwnl1,2=-zwn&#

49、177;wn1-z2j可得z,wn和一对主导极点l1,2 因此期望的特征方程为：s-=s+10s+10s+2-j23s+2+j23()()()()()()()()1234432=s+24s+196s720s+1600mmmm12因此可以得到：aa=24,=196,a=720,a=160034由系统的特征方程：00ùés-1ê0sú00ú=s4-29.4s2 sI-A=êê00s-1úêú00-29.4sëû因此有a1=0,a2=-29.4,a3=0,a4=0。系统的反馈增益矩

50、阵为：3、确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵T：T=MW其中：M=BMABMA2BMA3Bé0ê1 =êê0êë31-1Ka=-M-aMLM-aM-aT nnn-1n-12211aaaa0ù000úú 3088.2úú088.20û0éa3êaW=ê2êa1êë1所以：é-29.4ê0T=MW=êê0êë00a2a110a11ùé0-

51、29.4ê-29.410ú0ú=ê00úê01úê00ûë1001ù10úú00úú00û 00.011300.33330ù0.0113úú 0úú0.3333û0é-0.03410ùê0-29.401ú-1ú ，T=êê0030úêú003ûë0-0.034

52、002、求状态反馈增益矩阵K：K=a4-a4Ma3-a3Ma2-a2Ma1-a1T-10é-0.034ê0 -0.034=1600720_6+29.424êê00ê0ë0=-54.4218-24.489893.273816.16330.011300.33330ù 0.0113úú0úú0.3333û0& &+93.2739q+16.1633q 得到控制量： u=K_=-54.4218_-24.4898_以上计算可以采用 MATLAB 编程计算。 3)Simul

53、ink仿真实验在MATLAB Simulink下对系统进行仿真。图5 直线一级倒立摆极点配置控制仿真模型 双击“State-Space”模块打开直线一级倒立摆的模型设置窗口如下: 图6 系统状态空间模型设置窗口把参数A,B,C,D 的值设置为实际系统模型的值。 双击“Pole Controller”模块打开极点配置控制器参数的设置窗口: 图7 反馈增益矩阵输入窗口把上面计算得到的反馈增益矩阵K输入，设置好各项参数后，点击“行仿真。4)Simulink实时控制实验 ”运图9 实验五 状态空间极点配置控制实验上图中的红色方框为设计的极点配置控制器，运行前查看是否为自己设计好的控制器，并确定保证摆杆

54、此时竖直向下。不用编译链接，直接单击“”按钮，用手捏住摆杆顶端（不要抓住中部或下部），慢慢地提起，到接近竖直方向时放手，当摆杆与竖直向上的方向夹角小于0.30弧度时，进入稳摆范围，可以观察到，摆杆直立不倒，小车稳摆在初始位置，然后单击“”停止实验。4.2 LQR控制实验1)LQR控制分析p LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。它的解很容易获得，并且可以达到非常好的控制效果，

55、因此在工程上有广泛的应用。二次型性能指标一般形式如下：1T1TTéùJ=_(t)Q(t)_(t)+u(t)R(t)u(t)+_t_tfFfòëû22t0tf其中，Q-n´n维半正定状态加权矩阵；R-r´r维正定控制加权矩阵；F-n´n维半正定终端加权矩阵；min，则其实质在于，用不大的控制来保持较小最优控制的目标就是使J®的误差，从而达到能量和误差综合最优的目的。2)LQR控制器设计 系统状态方程为: &=A_+Bu_y=C_+Du (1) 二次型性能指标函数: J=1¥TT_Q_+UR

56、Udt (2) ò02其中:加权矩阵Q和R是用来平衡状态变量和输入向量的权重,_是n维状态变量, U是r维输入变量, Y为m维输出向量,如果该系统受到外界干扰而偏离零状态,应施加怎样的控制U_才能使得系统回到零状态附近并同时满足J达到最小,那么这时的U_就称之为最优控制。由最优控制理论可知, 使式(2)取得最小值的最优控制律为: U*=R-1BTP_=-K_ (3) 式中, P就是Riccati方程的解, K是线性最优反馈增益矩阵。这时求解Riccati代数方程:PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0 (4) 就可获得P值以及最优反馈增益矩阵K值。K=R-1BTP (5) 前面我们已

57、经得到了直线一级倒立摆系统的系统状态方程: &ùé_é0ê&úê0&_êú ê&ú=ê0êfêúê&&úfêë0ëû100000029.40ùé_ùé0ùê_ê1ú&ú0úúêú+êúu&quo

58、t;ê0ú1úêfúêúú&êú0ûëêfûúë3ûùé y=é=êfúê0ëûë_10001é_ùê&ú0ùê_ú+é0ùu"ê0ú0úûêfúë

59、51;ê&úêëfúûé0ù0ùê1ú0úú，B=êúê0ú1úêúú0ûë3û 可知：é0ê0 A=êê0êë0100000029.4&分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度、摆杆角&,f,f 四个状态量_,_速度,输出y=_,f¢包括小车位置和摆杆角度。一般情况下

60、：R增加时，控制力减小，角度变化减小，跟随速度变慢。矩阵Q中某元素相对增加，其对应的状态变量的响应速度增加，其他变量的响应速度相对减慢，如：若Q对应于角度的元素增加，使得角度变化速度减小，而位移的响应速度减慢；若Q对应于位移的元素增加，使得位移的跟踪速度变快，而角度 的变化幅度增大。可通过Matlab中的lqr函数求解反馈矩阵K并对系统进行仿真。3)Simulink仿真实验图11 直线一级倒立摆LQR控制仿真模型双击“State-Space”模块打开直线一级倒立摆的模型设置窗口如下: 图12 系统状态空间模型设置窗口把参数A,B,C,D 的值设置为实际系统模型的值。 双击“LQR Controller”模块打开LQR控制器参数的设置窗口: 图13 反馈增益矩阵输入窗口把上面计算得到