带答案对数与对数函数经典例题

1、经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1将下列指数式与对数式互化：(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6).思路点拨： 运用对数的定义进行互化 .解： (1)； (2)；(3)； (4)； (5)；(6).总结升华： 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段 .举一反三：【变式 1】求下列各式中x 的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨： 将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解： (1)；(2)；(3)10x=100=10 2，于是 x=2 ；(4) 由.类型二、利用对数恒等式化简求值2求值：

2、解：.总结升华： 对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式 1】求的值 (a， b， c R+，且不等于1，N>0)思路点拨： 将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3已知 lg2=a ， lg3=b ，用 a、 b 表示下列各式 .(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解： (1) 原式 =lg3 2=2lg3=2b(2) 原式 =lg2 6=6lg2=6a2(3) 原式 =lg2+lg3=a+b(4) 原式 =lg2 +lg3=2a+b(5) 原式

3、=1-lg2=1-a(6) 原式 =lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式 1】求值(1)(2)lg2 · lg50+(lg5) 2(3)lg25+lg2 · lg50+(lg2)2解：(1)(2) 原式 =lg2(1+lg5)+(lg5) 2 =lg2+lg2lg5+(lg5) 2 =lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3) 原式 =2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2) 2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式 2】已知 3a=5b=c，求 c 的

4、值 .解： 由 3a=c 得：同理可得.【变式 3】设 a、 b、 c 为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式 4】已知： a2+b2=7ab， a>0， b>0. 求证：.222222，证明： a +b =7ab， a +2ab+b =9ab，即(a+b) =9ab， lg(a+b)=lg(9ab) a>0， b>0 ， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4 (1)已知 log xy=a， 用 a 表示；(2)已知 logax=m ， log bx=n ， logcx=p， 求

5、logabcx.解： (1)原式 =；(2)思路点拨： 将条件和结论中的底化为同底 .方法一： am=x ， bn=x ， cp=x，；方法二：.举一反三：【变式 1】求值： (1)； (2)； (3).解：(1)(2)；(3) 法一：法二：.总结升华： 运用换底公式时，理论上换成以大于0 不为某个对数的底为标准，或都换成以10 为底的常用对数也可.1 任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中类型五、对数运算法则的应用5求值(1) log 89· log2732(2)(3)(4)(log 2 125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)

6、解： (1)原式 =.(2) 原式 =(3) 原式 =(4) 原式 =(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)举一反三：【变式 1】求值：解：另解：设=m (m>0). ， lg2=lgm ， 2=m，即.【变式 2】已知： log 23=a， log37=b ，求： log4256=?解：，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)； (2).思路点拨： 由对

7、数函数的定义知：2， 4-x>0，解出不等式就可求出定义域 .x >0解： (1) 因为 x2>0 ，即 x 0，所以函数；(2) 因为 4-x>0 ，即 x<4 ，所以函数.举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k· 2x)(a>0 且 a11， k?R).解： (1)因为， 所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).xxx(2) 因为 a-k· 2 >0， 所以 () >k.1当 k 0 时，定义域为R；2当 k>0 时，(i) 若 a>2，则函数定义域为(k， + )

8、；(ii) 若 0<a<2，且 a1，则函数定义域为 (- ，k)；(iii) 若 a=2，则当 0<k<1 时，函数定义域为 R；当 k 1 时，此时不能构成函数，否则定义域为 .【变式 2】函数 y=f(2 x)的定义域为 -1 ，1 ，求 y=f(log 2x)的定义域 .思路点拨 ：由 -1 x1，可得 y=f(x) 的定义域为 ， 2，再由log 2x2 得 y=f(log 2x)的定义域为 ，4.类型七、函数图象问题7作出下列函数的图象：(1) y=lgx ， y=lg(-x) ， y=-lgx ； (2) y=lg|x| ； (3) y=-1+lgx.解： (1) 如图 (1) ； (2)