合情推理演绎推理(公安三中：陈刚公开课精品课件)

1、 在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如例如:医生诊断病人的病症，医生诊断病人的病症，警察侦破案件，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态，气象专家预测天气的可能状态，考古学家推断遗址的年代，考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等。数学家论证命题的真伪等等。在数学中，证明的过程更离不开推理。在数学中，证明的过程更离不开推理。1.归纳推理的定义归纳推理的定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征由某类事物的部分对象具有某些特征, ,推推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, ,或者由个

2、别事实概括出一般结论的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理( (简称归纳简称归纳). ). 简言之简言之, ,归纳推理是由归纳推理是由部分到整体、部分到整体、由由个个别到一般别到一般的推理。的推理。例如：例如： 金受热后体积膨胀，金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从距离加大，从而导致体积

3、而导致体积膨膨胀胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。所以，所有的金属受热后都体积膨胀。铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.铜能导电

4、铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般例例: :观察下图观察下图, ,可以发现可以发现1+3+(2n1)=

5、n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤： 检验猜想。检验猜想。 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理；归纳整理；归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤： 检验猜想。检验猜想。 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理；归纳整理；通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 数学研

6、究中，得到一个新结论之前，合情推理常数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们常能帮助我们猜测猜测和和发现结论发现结论； 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的提供证明的思路思路和和方向方向。合情推理在数学中的合情推理在数学中的作用作用：例例5 如图所示，有三根针和套如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下在一根针上的若干金属片。按下列规则，把金属片从一根针上全列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。部移到另一根针上。1、每次只能移动一个金属片；、每次只能移动一个金属片；2、较大的金属片不能放在较小、较大的金属

7、片不能放在较小的金属片上面。的金属片上面。123分析：我们从移动分析：我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需个金属片所需的次数。的次数。试推测：把试推测：把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针，最少需要号针，最少需要移动多少次？移动多少次？解：当解：当n=1时，只需把金属片从时，只需把金属片从1号针移到号针移到3号针，用号针，用符号（符号（13）表示，共移动了）表示，共移动了1次。次。 当当n=2时，为了避免将较大的金属片放在了较小时，为了避免将较大的金属片放在了较小的金属片上面，

8、我们利用的金属片上面，我们利用2号针作为号针作为“中间针中间针”，移，移动的顺序是：动的顺序是：（12）（）（13）（）（23）共移动）共移动3次。次。 当当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为则归结为n=2的情形，移动的顺序是：的情形，移动的顺序是：符号表示为符号表示为(13) (12) (32) (13) (21) (23) (13) 共移动共移动7次。次。（1）把上面两个金属片从）把上面两个金属片从1号针移到号针移到2号针；号针；（2）把第）把第3个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针；号针；（3）把上面两个金属片从）把上面两个金属片从

9、2号针移到号针移到3号针。号针。 当当n=4时，把上面时，把上面3个金属片作为一个整体，则归结个金属片作为一个整体，则归结为为n=2的情形，同理共的情形，同理共15次。次。 至此，我们得到依次移动至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片个金属片所需次数依次构成的数列所需次数依次构成的数列1，3，7，15。 观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律： 1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1。 由此我们猜想：若把由此我们猜想：若把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号号针，最少需要移动针，最少需要移动an次，则数列次，则数列an

10、的通项公式为的通项公式为*21()nnanN从具体从具体问题出发问题出发 归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想我们把上面所进行的推理过程概括为：我们把上面所进行的推理过程概括为：探究探究P77：把：把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针，怎样移动号针，怎样移动才能达到最少的移动次数呢？才能达到最少的移动次数呢？ 通过探究例通过探究例5，我们可以归纳出对，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方个金属片都适用的移动方法。当移动法。当移动n个金属片时，可分为下列个金属片时，可分为下列3个步骤：个步骤：如此继续，直到转化为移动如此继续，直到转化为

11、移动1个金属片的情形。个金属片的情形。（1）把上面（）把上面（n-1）个金属片从）个金属片从1号针移到号针移到2号针；号针；（2）把第）把第n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针；号针；（3）把上面（）把上面（n-1）个金属片从）个金属片从2号针移到号针移到3号针。号针。 这样就把移动这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第个金属片和移动一次第n个金属片的任务。个金属片的任务。 而移动（而移动（n-1）个金属片需要移动两次（）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和）个金属片和移动一次第（移动一次第（n-1）个金属片的任

12、务。）个金属片的任务。 而移动（而移动（n-2）个金属片需要移动两次（）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和）个金属片和移动一次第（移动一次第（n-2）个金属片的任务。）个金属片的任务。.探究探究P77：把：把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针，怎样移动号针，怎样移动才能达到最少的移动次数呢？才能达到最少的移动次数呢？根据这个过程，可得递推公式：根据这个过程，可得递推公式：111,21(1).nnaaan从这个递推公式出发，可以证明上述通项公式是正确的。从这个递推公式出发，可以证明上述通项公式是正确的。 由两类对象具有某些类似特征，和其由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象

13、的某些已知特征，推出另一类中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为对象也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理（简称类比）（简称类比）2.类比推理的定义类比推理的定义: 简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 发发明行星三大明行星三大运动运动定律的定律的开开普勒普勒曾说类曾说类比比推理是自然奧妙的推理是自然奧妙的参与者参与者和自己最好和自己最好的老的老师师 数学家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的类比是一个伟大的引路人引路人, ,求解立体几何往往有赖于平面几何的类求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题比问题.”.”类比推

14、理类比推理“火星上是否有生命火星上是否有生命”【例例2】如图，利用类比推测球的有关性质如图，利用类比推测球的有关性质 圆 球 圆心与弦（非直径）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的与圆心距离相等的 两条弦长相等两条弦长相等 圆的周长圆的周长C= 圆的面积圆的面积S=d2r 球心与截面圆（不经过球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心的球心的截面圆）圆心的连线垂直于截面圆。连线垂直于截面圆。与球心距离相等的两个截面与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等；等的两个截面圆面积不等；与球心距离较近的截面圆面与球心

15、距离较近的截面圆面积较大。积较大。球的表面积球的表面积24 rS 球的体积球的体积334rV 例例3 3: :已知两个圆已知两个圆x x2 2+y+y2 2=1:=1:与与x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1, ,则由则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程式减去式可得上述两圆的对称轴方程. .将上述将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, ,即要求得即要求得到一个更一般的命题到一个更一般的命题, ,而已知命题应成为所推广命而已知命题应成为所推广命题的一个特例题的一个特例, ,推广的命题为推广的命题为- -(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y

16、-b)2 2=r=r2 2与与(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或设圆的方程为设圆的方程为bd),bd),则由则由式减去式可得上述两圆的对称轴式减去式可得上述两圆的对称轴方程方程. .类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；从而得出一个猜想； 检验猜想。检验猜想。类比推理的几个特点类比推理的几个特点; ;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人

17、们已经掌握了的事物的属性, ,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性, ,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础, ,类比类比出新的结果出新的结果. .2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性. .3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠, ,单它却有发单它却有发现的功能现的功能. .例例3 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出空间给出空间 中四面体性质的猜想中四面体性质的猜想直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的

18、长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S例例5 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出空间中四面体性质的猜想给出空间中四面体性质的猜想, , ,S,_.ABCa b cABC 例例4 4：已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r= =2Sabc 分析：面积法分析：面积法1234,A-BCD,R_.S SSSV 根根据据类类比比推推理理的的方方法法 若若一一个个四四面面体

19、体四四个个面面的的面面积积分分别别为为体体积积为为 ，则则四四面面体体的的内内切切球球半半径径12343VSSSS , , ,S,2.ABCa b cSABCabc 变变式式： 已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r= =ABCDOO例例5.从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理

20、称为的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理简言之，简言之，演绎推理演绎推理是由是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；演绎推理的一般模式演绎推理的一般模式“三段论三段论” 大前提大前提-已知的一般原理已知的一般原理小前提小前提-所研究的特殊情况所研究的特殊情况结论结论-根据一般原理，对特殊情况做出的判断根据一般原理，对特殊情况做出的判断演绎推理的定义演绎推理的定义例例8.8.用三段论的形式写出下列演绎推理用三段论的形式写出下列演绎推理（1)1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等。正方形的对角线相等。矩形的对角线相等矩形的对角线相等 （大

21、前提）（大前提）正方形是矩形正方形是矩形 （小前题）（小前题）正方形的对角线相等正方形的对角线相等 （结论）（结论）（2) ysinx是三角函数，三角函数是周期函数，是三角函数，三角函数是周期函数，ysinx（x为为R）是周期函数。）是周期函数。三角函数是周期函数三角函数是周期函数（大前提）（大前提）ysinx是三角函数是三角函数（小前题）（小前题）ysinx是周期函数是周期函数（结论）（结论）3.3.三段论的基本格式三段论的基本格式MP（M是是P）SM（S是是M）所以所以 SP（S是是P）（大前提）（大前提）（小前提）（小前提）（结论）（结论）M MP PS SM MS SP P三角函数三角函数是是周期函数周期函数y ysinxsinx是是三角函数三角函数 y ysinxsinx是是周期函数周期函数4. 4. 用集合的观点来理解用集合的观点来理解: :若若集合集合M M的所有元素的所有元素都具有都具有性质性质P,P, S S是是M M的一个子集的一个子集, ,那么那么S S中所有元素也中所有元素也都具有都具有性质性质P P. .M MS Sp演绎推理演绎推理矩形矩形的的对角线相等对角线相等 （大前提）（大前提）正方形正方形是是矩形矩形 （小前题）（小前题）正方形正方形的的对角线相等对角线相等 （结论）（结论）例例1010推理形式正确，但推理结论错误，因为推理形式正确，但推理