导数专题一：单调性问题

1、导数专题一：导数法巧解单调性问题考纲要求 :1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)基础知识回顾 :用导数研究函数的单调性（ 1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内f ' ( x)（） 0（ 2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域 D 求导'解不等式'得解集P求得函数的单调递增f (x)f ( x)0D P ,（减）区间。一般地，函数f ( x) 在某个区间可导， f'( x) 0f ( x)一般地，函数f ( x) 在某个区间可导， f'( x) 0f

2、 ( x)（ 3）单调性的应用（已知函数单调性）在这个区间是增函数在这个区间是减函数一般地，函数 f ( x) 在某个区间可导，f(x) 在这个区间是增 (减 )函数f ' ( x) ( ) 0【注】求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式f ' (x) （ )0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。已知函数的增（减）区间，应得到f ' ( x) （） 0，必须要带上等号。求函数的单调增（减）区间，要解不等式f ' (x) ( ) 0，此处可不带等号。单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间

3、；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。应用举例 :一、求函数的单调区间精品文库例 1【 2013 广东文节选】函数f ( x)x3kx 2xk R （ 1） 当 k1时 ,求函数 f (x) 的单调区间；【解析】 f ' x3x22kx1(1) 当 k1 时 f 'x3x22x1,4 1280f 'x0 , fx在 R 上单调递增 .例 3（ 2013年全国卷课标文20）已知函数f ( x)ex (axb) x24x , 曲线 yf ( x) 在点(0, f (0) 处切线方程为 y4x4 . 讨论 f(x) 的单调性 .【解析 】 f( x)e2 (axab)2x

4、4 ，由已知得 f (0)4, f 1 (0)4,故 b 4, a b 8从而 ab 4 , （f x) 4ex ( x 1) x24x,f( x)4ex ( x2)2x4 4( x 2)(ex1 ).2令 f ( x) 0得， x=-1n2 或 x=-2.从而当 x(,2)( 1n2,)时， f ( x)0;当 x( 2,1n2)时， f（ x) <0.故 f ( x)在（ - ，-2），（ -1n2，+ ）单调递增，在（ -2，-1n2）单调递减 .【应用点评】变式训练 :欢迎下载2精品文库【变式 1】已知 a R,函数 f (x)4x32axa ，求 f(x) 的单调区间方法、规律

5、归纳 :利用导数求函数f(x) 的单调区间的一般步骤：(1) 确定函数 f(x) 的定义域；(2) 求导数 f (x)；(3) 在函数 f(x) 的定义域内解不等式f (x)>0和 f (x)<0；(4) 根据 (3)的结果确定函数 f(x)的单调区间二、已知单调区间求字母参数的取值范围例【 2013 大纲理】若函数f ( x) x2ax1在 (1, ) 是增函数，则a 的取值范围是（）x2A 1,0 B 1,) C 0,3D 3,)欢迎下载3精品文库例。设f ( x)ex，其中 a 为正实数；若f ( x) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围。1 ax2实战演练 :1、已知函

6、数f (x) 满足满足f ( x)f (1)ex 1f (0)x1 x2 ；求 f (x) 的解析式及单调区间 ;2欢迎下载4精品文库2、已知函数 f (x)1 x3x2ax . 讨论 f ( x) 的单调性 ;3由2单调递增递减f (x) x 2x a 01 1 a x1 1 a 此时此时f (x),欢迎下载5精品文库3 、已知函数f ( x)ln xk ( k 为常数 , e 2.71828 是自然对数的底数 ), 曲线 y f ( x) 在点ex(1, f (1)处的切线与x 轴平行 .( )求 k 的值 ;( )求 f (x) 的单调区间 ;2a4、已知函数f(x) x x(x 0，常数 a R)若函数f(x) 在 x 2， )上是单调递增的，求a 的取值范围5、已知 a R，函数 f(x) ( x2 ax)ex(x R， e 为自然对数的底数)(1) 当 a2 时，求函数 f(x) 的单调递增区