导数大题练习带答案(2)

1、.导数解答题练习1已知 f( x) xlnx ax，g( x) x2 2，( ) 对一切 x ( 0， ) ， f( x) g( x) 恒成立，求实数a 的取值范围；( ) 当 a 1 时，求函数f( x) 在 m， m 3( m 0) 上的最值；( ) 证明：对一切x( 0， ) ，都有 lnx 1 12 成立exex2、已知函数2a ln x 2( a 0) .f ( x)x（）若曲线 y=f (x)在点 P（ 1，f (1)）处的切线与直线y=x+2 垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（）若对于x (0,) 都有 f (x) 2(a 1)成立，试求 a 的取值范围；（）记 g (x)

2、=f (x)+x b（b R） . 当 a=1 时，函数 1g (x)在区间 e ， e上有两个零点，求实数 b 的取值范围 .3、设函数 f (x)=ln x+( xa)2 ，a R.（）若 a=0，求函数 f (x)在 1， e上的最小值；（）若函数f (x)在 1 , 2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；2（）求函数f (x)的极值点 .4、已知函数f ( x)1 ax2 (2 a 1)x 2ln x (a R ) .2( ) 若曲线 yf ( x) 在 x1和 x3 处的切线互相平行，求a 的值；( ) 求 f ( x) 的单调区间；( ) 设 g( x)x22x ，若对任

3、意 x1(0, 2 ，均存在 x2(0,2 ，使得 f (x1)g( x2 ) ，求 a 的取值范围 .5、已知函数 f (x)1 ln x x( 1)若函数在区间 ( a , a1 ) ( 其中 a0 ) 上存在极值，求实数a 的取值范围；2( 2)如果当 x1时，不等式f (x)k恒成立，求实数k 的取值范围x1.1.解： ( ) 对一切 x(0,), f ( x)g ( x) 恒成立，即 x ln x axx 22恒成立 .也就是 aln xx2 在 x(0,) 恒成立 .1 分x令 F ( x)ln xx2，x则 F (x)112 x 2x 2 ( x 2)( x 1)， 2分xx 2

4、x2x2在 (0，1) 上 F ( x)0 ，在 (1， ) 上 F (x) 0 ，因此， F (x) 在 x1处取极小值，也是最小值，即 Fmin ( x)F(1)3，所以 a3.4 分( ) 当 a1时，f ( x) x ln xx，f (x)ln x2 ，由 f(x)0 得 x1.6 分e2当m111e2 时，在 x m, e2 ) 上 f(x)0，在 x( e2 , m3 上 f ( x)00因此， f (x)在 x1.f min ( x)12处取得极小值，也是最小值e2 .e由于 f ( m)0, f (m3)(m3)ln( m3)10因此， f max (x)f (m3)(m3)l

5、n( m3)18 分当 m1时 ，f '( x)0，因此 f (x)在 m, m3 上单调递增，e2所以f min()f()(lnm1)，xmmfmax ( x)f ( m3)(m3)ln( m3)19分( ) 证明：问题等价于证明xln xxx2 (x(0,) , 10分exe由 ( ) 知 a1时， f (x)x ln x x 的最小值是11时取e2，当且仅当 xe2得， 11分设G( x)x2 (x(0,) ，则G(x)1x，易知exeex.Gmax (x)G(1)11 时取到， 12分，当且仅当 xe11但，从而可知对一切 x(0,) ，e2e都有 ln x12成立 . 13

6、分1exex2、解：（）直线 y=x+2 的斜率为1. 函数 f( x) 的定义域为（0，+），因为 f '(x)2ax2，x所 以2af ( x)2ln x2 .f '(x)x2f '(1)1=1.所 以.由121， 所 以 axx2f'(x)0解得 x 0；由 f'( x)0 解得 0 x2.所以 f(x) 的单调增区间是（2， +），单调减区间是（ 0， 2） . 4 分（ ） f '(x)2aax2由 f'(x)0解 得 x2； 由 f '( x)0 解 得x2xx2，a0x2. 所以 f(x)在区间 ( 2 ,) 上单调

7、递增，在区间(0, 2) 上单调递减 . 所以当 x2aaf ( 2) .aa时，函数 f (x)取得最小值， ymin因为对于x(0,) 都有 f (x) 2( a1) 成立，a所以 f ( 2 ) 2( a1)即可. 则2a ln 222(a1). 由 a ln2a 解得 0a2. 所a2aae2a以 a 的取值范围是8 分(0, ).e2ln x x2b ，则 g '( x)x2x 2（）依题得 g(x)x2. 由 g '( x) 0 解得 x 1；x由 g '(x)0解得 0 x 1.所以函数 g (x) 在区间（ 0， 1）为减函数，在区间（1， +）为g (

8、e 1 ) 0增 函 数 . 又 因 为 函 数 g(x) 在 区 间 e 1 ， e 上 有 两 个 零 点 ， 所 以g (e)0. 解 得g (1)01b2e 1. 所以 b 的取值范围是 (1,2e1 .13ee分3解：（） f (x)的定义域为（0， +） .1 分因为 f '(x)10 ，所以 f (x)在 1， e上是增函数，2xx当 x=1 时， f (x)取得最小值 f (1)=1.所以 f (x)在 1， e上的最小值为 1.3 分.（）解法一：f '( x)12( x a)2x22ax1xx设 g (x)=2x2 2ax+1，4 分依题意，在区间 1 ,

9、2 上存在子区间使得不等式g (x) 0 成立 .5 分2g (2) 0，或 g( 1)注意到抛物线g (x)=2x2 2ax+1 开口向上，所以只要0 即可26 分由 g (2) 0，即 8 4a+1 0，得 a9，4由 g( 1)0 ，即 1 a 13 ，0 ，得 a2922所以 a，49所以实数 a 的取值范围是 (8 分, ) .4解法二：f '( x)12( x2x22ax14 分xa)x，依题意得，在区间 1 ,2 上存在子区间使不等式2x2 2ax+1 0 成立 .21又因为 x 0，所以 2a(2 x5 分) .x设 g(x)2x1，所以 2a 小于函数 g (x) 在

10、区间 1 ,2 的最大值 .x12又因为 g '(x)2，x由 g '( x)210 解得 x2x2；2由 g '( x)210 解得02x2x.2所以函数 g (x)在区间 (2 ,2)上递增，在区间(1 ,2)上递减 .222所以函数g (x)在 x1，或 x=2 处取得最大值 .9， g ( 1)299又 g(2)3 ，所以 2a， a22,9).24所以实数 a 的取值范围是 (8 分4.（）因为f '( x)2x22ax1x，令 h (x)=2 x2 2ax+1显然，当 a0 时，在（ 0， +）上 h(x) 0 恒成立， f '( x) 0，

11、此时函数 f (x)没有极值点；9 分当 a 0 时，（ i）当 0，即 0a2 时，在（ 0， +）上 h (x) 0 恒成立，这时 f'(x) 0，此时，函数 f (x)没有极值点；10 分（ ii ）当 0时，即 a2 时，易知，当 aa22xaa22时， h (x) 0，这时 f'(x) 0；22当 0aa22aa22x2或 x2时， h (x) 0，这时 f '(x) 0；所以，当 a2 时， xaa22 是函数 f (x)的极大值点； xaa22 是函22数 f (x)的极小值点 .12 分综上，当 a2 时，函数 f(x)没有极值点；当 a2 时， xaa

12、22aa222是函数 f(x)的极大值点； x2是函数 f (x)的极小值点 .4解：( )f (x)ax21分(2a 1)( x 0) .xf (1)f(3)23分，解得 a.3( ) f ( x)( ax1)(x2) (x0) .4分x当 a 0 时， x0 ， ax 10 ，在区间 (0,2) 上， f( x)0 ；在区间 (2,) 上 f ( x)0 ，故 f ( x) 的单调递增区间是(0,2) ，单调递减区间是(2,) .5分当 0a112 ，时，a2在区间 (0,2) 和 (1 ,) 上， f (x)0 ；在区间 (2,1 ) 上 f ( x)0，a1a1故 f ( x) 的单调

13、递增区间是(0,2)和 (,) ，单调递减区间是 (2,). aa.6 分当 a1时， f( x)( x2) 22，2x故 f ( x) 的单调递增区间是(0,) . 7分当 a1时， 012 ，2a1；在区间 ( 1 ,2) 上 f ( x)在区间 (0,)和(2,) 上， f(x)00 ，a1a故f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0,)和(2,)，单调递减区间是1a 8分( ,2).a( ) 由已知，在(0,2上有 f ( x) maxg( x)max .9分由已知， g (x)max0，由()可知，当 a1时， f (x) 在 (0, 2 上单调递增，2故 f ( x) ma

14、xf (2)2a2(2 a1)2ln 22a22ln 2 ，所以，2a22ln 20，解得 aln 21，故 ln 21 a1. 10分11 上单调递增，在 1 ,2 上单调递减，2当 a时， f (x) 在 (0,2aa故 f ( x) maxf ( 1 )212ln a .a2a由 a1可知 ln a111， 2ln a2 ，2ln a 2 ，2lnln2e所以，22ln a0 ， f ( x) max 0 ，综上所述，aln 21. 12 分5、 ( ) 直线 yx 2 的斜率为1， 函数 f( x) 的定义域为0,因为 f ' (x )2a，所以 f' 12a1，所以

15、a 1x 2x121所以 f x2ln x 2, f 'xx 2xx2由 f ' x0 解得 x 2 ； 由 f 'x0 解得 0 x 2所以 f( x) 得单调增区间是2,，单调减区间是0,2 4 分.( ) f ' (x )2a ax 2x 2xx 2由 f ' x0 解得 x2 ; 由 f 'x0 解得 0 x2aa所以 f( x) 在区间 ( 2 ,) 上单调递增，在区间(0, 2) 上单调递减aa所以当 x2时，函数 f( x) 取得最小值 y minf ( 2)aa因为对于任意 x0,都有 fx2(a1) 成立，所以 f (2 )2(

16、a1)即可a则 2 a ln222(a 1) ，由 a ln2a 解得 0a22aaea所以 a 得取值范围是 (0, 2 ) 8分e( ) 依题意得 g (x )2ln x2b ，则 g ' ( x )x 2x2xx 2由 g ' x0 解得 x1，由 g 'x0 解得 0 x 1所以函数g( x) 在区间e 1, e 上有两个零点，g (e1 )02所以g (e)0解得1e 1bg (1)0e所以 b 得取值范围是 (1, 2e112 分6、解：e( 1) 因为 f (x)1ln x ， x0 ，则 f ( x)ln 2x ， 1 分xx当 0x 1时， f( x) 0；当 x1时， f(x) 0 f ( x) 在 (0,1)上单调递增；在(1, ) 上单调递减，函数 f (x) 在 x1处取得极大值3 分函数 f (x) 在区间 (a, a1 ) ( 其中 a0 ) 上存在极值，2a1,1a 1 .5 分解