导数大题练习带答案

1、.导数大题练习1已知 f( x) xlnx ax，g( x) x2 2，( ) 对一切 x ( 0， ) ， f( x) g( x) 恒成立，求实数a 的取值范围； ( ) 当 a 1 时，求函数 f( x) 在 m， m 3( m 0) 上的最值； ( ) 证明：对一切x ( 0， ) ，都有 lnx 11 2 成立ex ex22、已知函数f ( x) a ln x 2( a 0) . （）若曲线 y=f (x)在点 P（ 1，f (1)）处的切线 x与直线 y=x+2 垂直，求函数 y=f (x)的单调区间； （）若对于x (0,) 都有 f (x) 2(a1)成立，试求 a 的取值范围；

2、（）记g (x)=f (x)+xb（ b R） . 当 a=1 时，函数 g (x)在区间e 1b 的取值范围 .， e上有两个零点，求实数3 设函数 f (x)=ln x+(x a)2， a R. （）若 a=0，求函数 f (x)在 1， e上的最小值；（）若函数f (x)在 1, 2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；2（）求函数f (x)的极值点 .4、已知函数 f ( x)1 ax2(2 a1)x2ln x(a R ) .2( ) 若曲线 yf ( x) 在 x 1 和 x3 处的切线互相平行，求 a 的值； ( ) 求 f (x) 的单调区间；( ) 设 g(x)x22x

3、 ，若对任意 x1(0, 2，均存在x2 (0,2 ，使得f ( x1 )g (x2 ) ，求 a 的取值范围 .5、已知函数f x2a ln x2(a0)x( ) 若曲线 y f( x) 在点 P( 1，f( 1)处的切线与直线y x2 垂直，求函数 y f( x) 的单调区间；( ) 若对于任意 x0,都有 f x2( a1) 成立，试求a 的取值范围；( ) 记 g( x) f( x) x b( b R). 当 a 1时，函数 g( x) 在区间 e1 ,e 上有两个零点，求实数 b 的取值范围6、已知函数f (x)1ln x x( 1) 若函数在区间 ( a , a10 ) 上存在极值

4、，求实数 a 的取值范围；) ( 其中 a2( 2) 如果当 x1时，不等式 f (x)k恒成立，求实数k 的取值范围x1.1.解： ( ) 对一切 x(0,), f (x)g( x) 恒成立，即 x ln x axx22恒成立 .也就是 aln xx2 在 x(0,) 恒成立 .1 分x令 F ( x)ln xx2，x则 F (x)112x 2x 2 ( x 2)( x 1)， 2分xx 2x2x2在 (0，1) 上 F ( x)0 ，在 (1， ) 上 F (x) 0 ，因此， F (x) 在 x1处取极小值，也是最小值，即 Fmin ( x)F(1)3，所以 a3.4 分( ) 当 a1

5、时，f ( x) x ln xx，f (x)ln x2 ，由 f(x)0得 x1.6 分e21当 0m(x)0 ，在 x ( 12 , m3 上 f( x)02 时，在 x m, 12 ) 上 feee因此， f (x)在 x1.f min ( x)12处取得极小值，也是最小值e2 .e由于 f ( m)0, f (m3)(m3)ln( m3)10因此， f max (x)f (m3)(m 3)ln( m3)18 分当 m1时 ， f '( x)0 ，因此 f (x)在 m, m3上单调递增，e2所以( )()(ln1) ，f minxfmmmfmax ( x)f ( m3)(m3)l

6、n( m3)1 9分( ) 证明：问题等价于证明xln xxx2 ( x(0,) , 10分exe由 ( ) 知 a1时， f (x)x ln x x 的最小值是112 ，当且仅当 x2时取ee.得， 11 分设 G( x)x2 (x(0,)，则 G(x)1x，易知exeexGmax (x)G(1)11 时取到， 12分，当且仅当 xe但11，从而可知对一切 x(0,) ，e2e都有 ln x112成立 . 13 分exex2、解：（）直线 y=x+2的斜率为1. 函数 f( x) 的定义域为（0，+），因为 f '(x)2ax2，x所 以f '(1)2a1=1.所 以f (

7、x)2ln x2 .f '(x)x2.由121， 所 以 axx2f'(x)00f'( x)0解得0 x2.所以 f()的单调增区间是（2+解得 x ；由x， ），单调减区间是（0，2）. 4分（ ） f '(x)2aax2由 f'(x)02； 由 f '( x)0 解 得x2xx2，解 得 x222a20x. 所以 f(x)在区间 (,) 上单调递增，在区间(0,) 上单调递减 . 所以当 xaaf ( 2) . 因为对于aa时，函数 f (x)取得最小值， yx(0,) 都有 f (x) 2( a1) 成立，mina22222所以 f ( a

8、 )2(a1)即可.则 2a ln a22(a1). 由 a ln aa 解得 0ae . 所以 a 的取值范围是 (0, 2 ) .a8 分e（）依题得 g(x)2ln x x2b ，则 g '( x)x2x2xx2. 由 g '( x) 0 解得 x 1；由 g '(x)0解得0 x 1.所以函数 g (x) 在区间（ 0， 1）为减函数，在区间（1， +）为g (e 1 ) 0增 函 数 . 又 因 为 函 数 g(x) 在 区 间 e 1 ， e 上 有 两 个 零 点 ， 所 以 g (e)0. 解 得g (1)01b2e1. 所以 b 的取值范围是 (1,2

9、e1.13ee分3解：（） f (x)的定义域为（0， +） .1 分.12x0 ，所以 f (x)在 1， e上是增函数，因为 f '(x)x当 x=1 时， f (x)取得最小值 f (1)=1.所以 f (x)在 1， e上的最小值为 1.3 分（）解法一：f '( x)12( x a)2x22ax1xx设 g (x)=2x2 2ax+1，4 分依题意，在区间 1 , 2 上存在子区间使得不等式g (x) 0 成立 .5 分21注意到抛物线g (x)=2x2 2ax+1 开口向上，所以只要g (2) 0，或 g(0 即可)26 分由 g (2) 0，即 8 4a+1 0，

10、得 a9，41130 ，得 a由 g( )0 ，即a 1，2922所以 a，4,9).所以实数 a 的取值范围是 (8 分4解法二： f '( x)12( x2x22ax1，4 分xa)x依题意得，在区间 1 ,2 上存在子区间使不等式2x2 2ax+1 0 成立 .21 ) .又因为 x 0，所以 2a(2 x5 分x设 g(x)2x1，所以 2a 小于函数 g (x) 在区间 1 ,2 的最大值 .x12又因为 g '(x)2，x由 g '( x)210 解得x2x2；2由 g '( x)210 解得02.x2x2所以函数 g (x)在区间 (2 ,2)上递

11、增，在区间 (1 ,2)上递减 .222所以函数 g (x)在 x1，或 x=2 处取得最大值 .2.91) 3 ，所以 2a99又 g(2)， g (2， a2294所以实数 a 的取值范围是() .8 分,4（）因为 f2x22ax1，令 h (x)=2 x2 2ax+1'( x)x显然，当 a0 时，在（ 0， +）上 h(x) 0 恒成立， f '( x) 0，此时函数 f(x)没有极值点；9 分当 a 0 时，（ i）当 0，即 0a2 时，在（ 0， +）上 h (x) 0 恒成立，这时 f'(x) 0，此时，函数 f (x)没有极值点；10 分（ ii ）

12、当 0 时，即 a2 时，易知，当 aa22xaa22时， h (x) 0，这时 f'(x) 0；22当aa22aa22f '(x)x或 x时，这时 ；0h (x)2200所以，当 a2 时， xaa22是函数 f(x)的极大值点； xaa2222是函数 f (x)的极小值点 .12 分综上，当 a2 时，函数 f (x)没有极值点；当 a2 时， xaa22 是函数 f(x)的极大值点； xaa22 是函数 f(x)的极22小值点 .4解：( )f (x)ax(2a 1) 2( x 0) .1分x2f (1)f3分(3) ，解得 a.3(ax1)(x2)0) .4分( ) f

13、 ( x)x(x当 a 0 时， x0 ， ax 10 ，在区间 (0,2) 上， f ( x)0 ；在区间 (2,) 上 f ( x)0 ，故 f ( x) 的单调递增区间是(0,2) ，单调递减区间是 (2,).5分当 0 a11时，2 ，2a.在区间(0,2) 和 (1,) 上， f(x)0 ；在区间 (2,1) 上 f ( x)0，a1a1故 f ( x) 的单调递增区间是(0,2)和 (,) ，单调递减区间是 (2,). aa6 分当 a1时， f( x)( x2) 22，2x故 f ( x) 的单调递增区间是(0,) . 7分当 a1时， 012 ，2a11在区间 (0,)和(2,

14、) 上， f(x)0 ；在区间 (,2) 上 f ( x)0，aa故 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, 1 )和 (2,)，单调递减区间是(1,2).a8分a( ) 由已知，在(0,2上有 f ( x) maxg( x)max .9分由已知， g (x)max0，由()可知，当 a1时， f (x) 在 (0, 2 上单调递增，2故 f ( x) maxf (2)2a2(2 a1)2ln 22a22ln 2 ，所以，2a22ln 20，解得 aln 21，故 ln 21. 10分1 a1112当 a时， f (x) 在 (0, 上单调递增，在,2 上单调递减，2f ( 1 )

15、a1a故 f ( x) max22ln a .a2a由 a1可知 ln a111， 2ln a2 ，2ln a 2 ，2lnln2e所以，22ln a0 ， f ( x) max 0 ，综上所述， aln 21. 12 分5、 ( ) 直线 yx 2 的斜率为1， 函数 f( x) 的定义域为0,因为 f ' (x )2a，所以 f ' 12a1，所以 a 1x 2x121所以 f x2ln x 2, f 'xx 2xx2.由 f 'x0 解得 x 2 ； 由 f ' x0 解得 0 x 2所以 f( x) 得单调增区间是 2,，单调减区间是0,24分(

16、 ) f ' (x )2a ax 2x 2xx 2由 f 'x0 解得 x2 ; 由 f 'x0 解得 0 x2aa所以 f( x) 在区间 ( 2 ,) 上单调递增，在区间(0, 2) 上单调递减aa所以当 x2f2)时，函数 f( x) 取得最小值 y min(aa因为对于任意 x0,都有 fx2(a1) 成立，所以 f ( 2 )2(a1)即可a则 2a ln222(a 1) ，由 a ln2a 解得 0a22aaea所以 a 得取值范围是 (0, 2 ) 8分e( ) 依题意得 g (x )2ln x2'( x )x 2x 2xb ，则 gx2由 g 'x0 解得 x1，由 g 'x0 解得 0 x 1所以函数g( x) 在区间e 1, e 上有两个零点，g (e 1 )02所以 g (e)0解得 1be 1eg (1)0所以 b 得取值范围是 (1, 2e112 分6、解：e( 1) 因为 f (x)1ln x ， x0 ，则 f ( x)ln 2x ， 1 分xx当 0 x1时， f ( x)0 ；当 x1时， f (x)0 f ( x) 在 (0,1)上单调递增；在(1,) 上单调递减，函数 f (x) 在 x 1处取得极大值 3 分函数 f (x) 在区间 (a, a10 ) 上存在极值，) ( 其中 a2.a 1,