导数解题技巧

1、精品文档导数题的解题技巧【命题趋向】 导数命题趋势：导数应用：导数函数单调性函数极值函数最值导数的实际应用【考点透视】1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【例题解析】考点 1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处

2、的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例 1（ 2006 年辽宁卷）与方程y = e2 x - 2ex + 1(x 3 0) 的曲线关于y = x 对称的曲线的方程为A. y ln(1x )B.y ln(1x ) C. yln(1x) D.yln(1x ) 考查目的 本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解. 同时还考查了转化能力 解答过程 ye2 x2ex1( x 0)(ex1) 2y ，Q x0, ex1 ，即： ex 1y xln(1y) ，所以 f1( x)ln(1x ) .故选 A.例 2. ( 2006年湖南卷 ) 设函数 f (x) = x - a ,集合 M = x f

3、(x) < 0 , P=是 ( )x - 1A.(- ,1) B.(0,1) C.(1,+) D.1,+) 考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. x | f ' (x )0 , 若 M P, 则实数 a 的取值范围 解答过程 由 xa0,当a>1时,1xa; 当a<1时, a x1.x1/x 1 x 2aa 1 2 0.Q yxa , y/xax1x1x1x1a1.综上可得 M P 时,a1.考点 2曲线的切线（ 1）关于曲线在某一点的切线求曲线 y=f(x) 在某一点 P（ x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在 P 点的导数就是曲线在该点

4、的切线的斜率.（ 2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例 3. （ 2004 年重庆卷）已知曲线y=1x3+4 ，则过点（ 2， 4）的切线方程是 _.33P思路启迪 ：求导来求得切线斜率 .解答过程： y =x2，当 x=2 时， y =4. 切线的斜率为4.切线的方程为y 4=4（ x 2），即 y=4x4.答案： 4x y 4=0.例 4. （ 2006 年安徽卷）若曲线yx4的一条切线 l 与直线 x4 y 8 0 垂直，则 l 的方程为（）A 4x y 3 0B x 4 y 5 0。1欢迎下载精品文档C 4x y 3 0D x 4y3

5、0 考查目的 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程 与直线 x 4 y 80垂直的直线 l 为4x y m 0 ，即 yx4 在某一点的导数为4，而 y4x3 ，所以 yx4 在 (1 ，1) 处导数为 4，此点的切线为 4x y 3 0.故选 A.例 5 ( 2006年重庆卷 ) 过坐标原点且与2相切的直线的方程为( )x+y2 -4 x+2y+ 5 =02A. y=-3 x 或 y= 1 xB.y=-3 x 或 y=- 1 x C.y=-3 x 或 y=- 1 xD. y=3x 或 y= 1 x3333 考查目的 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础

6、知识的应用能力. 解答过程 解法 1：设切线的方程为ykx,kx y 0.又 x2y25 ,圆心为 2,1 .2122k15,3k2 8k3 0. k1 , k3.k 2 123y1 x,或y3x.3故选 A.解法 2: 由解法1 知切点坐标为 (1 ,3 ),3,1 ,由2222( x 2) 22/y 1x/5,2 x2( x 2)2 y 1 yx /0,yx/x2y.1ky/133, kyx/1x23 1(,)( , )222 2y3x, y1 x.31 .3故选 A.例 6. 已知两抛物线 C:yx22x C:yx 2a,a 取何值时 C1，C 2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程

7、.1,2思路启迪 ：先对 C1 : yx 22x,C 2: yx2a 求导数 .解答过程：函数 yx 22 x 的导数为 y '2 x2 ，曲线 C1 在点 P( x1 , x122x1 ) 处的切线方程为y (x122x1 ) 2(x1 2)(x x1 ) ，即 y 2(x1 1)x x122a) 的切线方程是 y( x2a)2 x 2 ( x x2 ) 即曲线 C 1 在点 Q( x2 , x2yx2xx 2a22若直线 l 是过点 P 点和 Q点的公切线，则式和式都是l 的方程，故得x 1x, x2x 21，消去 x2得方程，2x 22x1a 0121211若 =442(1a)

8、0 ，即 a1 时，解得 x11 ，此时点 P、Q重合 .22。2欢迎下载精品文档当时 a = - 1， C1 和 C 2 有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y = x -1 .24考点 3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法 . 复习时，应高度重视以下问题 :1.求函数的解析式; 2.求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数

9、的极值（最值）;5. 构造函数证明不等式.典型例题例 7（ 2006 年天津卷）函数f ( x) 的定义域为开区间(a, b) ，导函数区间 (a,b)内有极小值点（）A1个B2个f ( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数f ( x) 在开C3个D4个 考查目的 本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识yy?f (x)b的应用能力 . 解答过程 由图象可见 , 在区间 (a,0) 内的图象上有一个极小值点.故选 A.例 8.设 yf (x) 为三次函数，且图象关于原点对称，当x1 时，2aOxf ( x) 的极小值为1，求出函数 f ( x) 的解析式 .思路启迪 ：先设

10、f (x)ax3bx 2cxd(a0) ，再利用图象关于原点对称确定系数.解答过程： 设 f ( x)ax 3bx2cxd (a0) ，因为其图象关于原点对称，即f ( x)f ( x) ，得ax3bx2cxdax3bx2cx，db 0，d 0，即f ( x) ax3 cx由 f '( x) 3ax2 c，依题意， f '( 1)3 ac0 ，f (1 )1 ac1 ，24282解之，得 a4 ， c3 .故所求函数的解析式为f ( x)4x 33x .例 9. 函数 y2 x4x3 的值域是 _.思路启迪 ：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性

11、质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程： 由 2x40 得， x2 ，即函数的定义域为 2, ) .x30y'142132x 32x4 ，2xx22x4 x3又 2x32 x42x8，2x32x4当 x2 时， y' 0 ，函数 y2 x 4x 3 在 ( 2,) 上是增函数，而f ( 2)1， y2 x4x 3的值域是 1, ).例 10（ 2006 年天津卷）已知函数 f x4x33x2 cos3 cos，其中 xR,为参数，且02 16。3欢迎下载精品文档（ 1）当时 cos0，判断函数 f x 是否有极值

12、；（ 2）要使函数 f (x) 的极小值大于零，求参数的取值范围；（ 3）若对（ 2）中所求的取值范围内的任意参数，函数 f x在区间 2a1,a 内都是增函数，求实数a 的取值范围 考查目的 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 解答过程 （）当 cos0 时， f (x)4x3 ，则 f (x) 在 ( ,) 内是增函数，故无极值 .（） f '( x)12 x26 x cos，令 f '( x)0 ，得 x10, x2cos .2由（），只需分下面两种情况讨论.当 cos0时

13、，随 x 的变化 f '(x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表：x(,0)0cos)coscos(0,2(, )22f '(x)+0-0+f ( x)极大值极小值因此，函数f ( x) 在 xcos处取得极小值 f( cos ) ，且 f ( cos)1 cos33222416 .要使 f ( cos)0 ，必有1cos(cos23) 0 ，可得 0 cos3 .2442由于 0 cos3 ，故62或 311 .226当时 cos0，随 x 的变化， f '(x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表：x(, cos )cos( cos ,0)0(0,)2

14、22f '(x)+0-0+f (x)Z极大值极小值Z因此，函数f ( x)在 x0 处取得极小值f (0)，且 f (0)3 cos .16若 f(0) 0，则 cos0. 矛盾 . 所以当 cos0时， f (x) 的极小值不会大于零 .综上，要使函数f (x) 在 (,) 内的极小值大于零，参数的取值范围为 ( ,)(3, 11) .6226（ III）解：由（ II ）知，函数f (x) 在区间 (,) 与 ( cos ,) 内都是增函数。2由题设，函数f ( x) 在 (2a1,a) 内是增函数，则a 须满足不等式组2a1a或2a1a1 cosa02a12由（ II ），参数时

15、(, )(3 ,11 ) 时，0cos3 . 要使不等式 2a 11 cos关于参数恒成立， 必有 2a 13 ，6226224即 43a .8综上，解得 a0 或 483a 1.所以 a 的取值范围是 (,0) 43,1).8。4欢迎下载精品文档例 11 (2006 年山东卷 ) 设函数 f ( x)= ax ( a+1)ln(x+1) ，其中 a -1 ，求 f ( x) 的单调区间 . 考查目的 本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定, 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程 由已知得函数f (x) 的定义域为 (1,) ，且 f '( x)ax1(a1

16、),x1（1）当 1a 0 时， f' ( x)0, 函数 f (x) 在 (1,) 上单调递减，（ 2）当 a0 时，由 f ' ( x)0, 解得 x1 .af ' (x ) 、 f (x) 随 x 的变化情况如下表x( 1,1)1(1,)aaaf ' (x)0+f (x)极小值Z从上表可知当 x( 1,1 ) 时， f ' ( x)0, 函数 f ( x) 在 ( 1,1 ) 上单调递减 .aa当 x( 1 ,) 时， f ' ( x)0, 函数 f (x) 在 ( 1,) 上单调递增 .aa综上所述：当 1 a 0时，函数 f ( x)

17、在 (1,) 上单调递减 .当 a0 时，函数 f (x) 在 ( 1,1 ) 上单调递减，函数f ( x) 在 (1,) 上单调递增 .aa例 12（ 2006 年北京卷） 已知函数 f ( x)ax3bx2cx 在点 x0 处取得极大值 5，其导函数yf '( x) 的图象经过点(1,0) ， (2,0) ，如图所示 . 求：（） x0 的值；（） a,b, c 的值 . 考查目的 本小题考查了函数的导数, 函数的极值的判定, 闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用 , 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程 解法一：（）由图像可知，在

18、,1上 f' x0 ，在 1,2上 f ' x0，在 2,上 f ' x 0 ,故 f (x) 在（- ，1），（ 2，+ ）上递增，在 (1,2) 上递减，因此 fx 在 x1 处取得极大值，所以x01（） f ' ( x)3ax22bx c,'''1） 5，由 f（ 1） =0，（f2） 0，（f3a2b c0,得 12a4bc0,ab c5,解得 a2,b9,c12.解法二：（）同解法一（）设 f ' ( x)m( x 1)(x2) mx 23mx2m,又 f ' ( x) 3ax2 2bx c,所以 am ,b3

19、m, c 2m32f ( x)m x3 3 mx2| 2mx,32。5欢迎下载精品文档由 f (1)5，即 m3 m 2m 5, 得 m6,32所以 a2, b9,c 12例 13（ 2006 年湖北卷）设x3是函数 f xx 2ax b e3 x xR的一个极值点 .（）求 a 与 b 的关系式（用a 表示 b ），并求 fx的单调区间；（）设 a 0， g xa 225 ex . 若存在 1 ,20,4使得 f 1g 21成立，求 a 的取值范围 .4 考查目的 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解答过程 （） f (x) x2 ( a 2

20、) x ba e3x,由 f (3)=0 ，得 32 ( a 2)3 ba e33 0，即得 b 3 2a，则 f (x) x2 ( a2) x 32aa e3 x x2 ( a2) x 33a e3x ( x3)( xa+1) e3x .令 f (x) 0，得 x13 或 x2 a 1，由于 x 3 是极值点，所以 x+a+1 0，那么 a 4.当 a< 4 时， x2>3 x1 ，则在区间（，3）上， f (x)<0，f (x)为减函数；在区间（ 3， a 1）上， f (x)>0，f (x)为增函数；在区间（ a 1，）上， f (x)<0，f (x)为减函

21、数 .当 a> 4 时， x2<3 x1 ，则在区间（， a 1）上， f (x)<0， f (x)为减函数；在区间（ a 1， 3）上， f (x)>0，f (x)为增函数；在区间（ 3，）上， f (x)<0， f (x)为减函数 .（）由（）知，当a>0 时， f (x)在区间（ 0， 3）上的单调递增，在区间（3， 4）上单调递减，那么 f (x)在区间 0 ，4上的值域是 min(f (0)，f (4)， f (3) ，而 f (0)（ 2a3） e3<0，f (4)（ 2a 13）e 1>0， f (3)a 6，那么 f (x) 在区

22、间 0 ， 4上的值域是 （ 2a 3）e3， a 6.又 g (x)(a225)ex 在区间 0 ， 4 上是增函数，4且它在区间 0 ， 4 上的值域是 a2 25，（ a2 25） e4 ，44?25?1?2? 225?由于a2)21 ?所以只须仅须)且a > 0，解得?+- a + 6= a - a + =?a -÷3 0a +-a+ 6< 1÷ (4?4÷ (è4 ?è 2 ?è?0 < a <3 . 故 a 的取值范围是（ 0， 3 ） .22例 14（ 2004 年天津卷）已知函数 f（ x）32

23、x 在 x=±1 处取得极值 .=ax +bx3。6欢迎下载精品文档（ 1）讨论 f （ 1）和 f （ 1）是函数f （ x）的极大值还是极小值；（ 2）过点 A（ 0， 16）作曲线y=f （ x）的切线，求出此切线方程.思路启迪 ：（ 1）分析 x=± 1 处的极值情况，关键是分析x=± 1 左右 f （x）的符号 . （ 2）要分清点A（ 0，16）是否在曲线上 .解答过程： ：（ 1） f（ x）=3ax2+2bx3，依题意，f（ 1）= f（ 1）=0，即3a2b30,3a2b30.解得 a=1，b=0. f （ x） =x3 3x， f （ x） =

24、3x2 3=3（ x+1）（ x 1）.令 f （ x） =0，得 x=1， x=1.若 x（， 1）（ 1，+），则f（ x） 0，故 f （ x）在（，1）上是增函数，f （ x）在（ 1， +）上是增函数.若 x（ 1， 1），则 f（ x） 0，故 f （x）在（ 1， 1）上是减函数 .所以 f （ 1） =2 是极大值， f （ 1） =2 是极小值 .（ 2）曲线 y=x3M（ x ， y ），则 y3 3x，点 A（ 0，16）不在曲线上，设切点=x 3x.0000f（0） =302 3，xx切线方程为y y0=3（ x02 1）（ x x0） .32代入 A（ 0， 16）得

25、 16 x0 +3x0=3（x0 1）（ 0 x0） .解得x= 2， （ 2， 2），切线方程为 9 +16=0.0小结：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.考点 4 导数的实际应用建立函数模型 , 利用典型例题例 15. 有一块边长为4 的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗不计） . 有人应用数学知识作了如下设计：如图（a） , 在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方形，该长方体的高为小正方形的边长，如图（b） .xxab请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1 ；由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重

26、新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2 V1.解答过程：（1）设切去的正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x, 高为 x，所以 ,V1 (4 2 x )2 x 4( x 34 x24x ) , (0 x 2) . V '14(3 x 28 x4) .'0, 得 x122( 舍去).令 V 1, x23'12( x22) ,而 V 1)( x3又当 x2 时 ,'0 .V 13当 2x2 时 ,V 10 ,'3。7欢迎下载精品文档当 x2 时 ,V1取最大值 128 .327（ 2）重新设计方案如下：如图在正方形的两个

27、角处各切下一个边长为 1 的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器。31314222图图图新焊成的长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为 2，此长方体容积V232 16，显然 V2V1.故第二种方案符合要求.例 16（ 2006 年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y （升）关于行驶速度 x （千米 / 小时）的函数解析式可以表示为：y 1 x3 3 x 8(0 x 120).已知甲、乙两地相距 100 千米 .12800080（ I ）当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（ II

28、 ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 考查目的 本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 解答过程 （ I ）当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.5 小时，40要耗没 (1403340 8) 2.5 17.5（升） .12800080答：当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 升。（ II）当速度为 x 千米 /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 小时，设耗油量为h( x) 升，依题意得xh(x)(1x33 x8).1001x280015 (0 x 120),1280

29、0080x1280x4h '(x)x800x3803(0 x120).640x2640x2令 h '(x )0, 得 x80.当 x(0,80)时， h'( x)0, h( x) 是减函数；当x (80,120) 时， h '( x)0, h( x ) 是增函数 .当 x 80时， h(x) 取到极小值 h(80) 11.25.因为 h(x) 在 (0,120 上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升 .【专题训练】一、选择题1. y =esin xcos(sin x) ，则 y

30、 (0) 等于 ( )A.0B.1C.1D.22. 经过原点且与曲线 y= x9 相切的方程是 ()x5A. x+y=0 或 x +y=0B. x y=0 或 x +y=02525。8欢迎下载精品文档C. + =0 或 x=0D.=0 或 x =0x yyxyy25253. 设 f ( x) 可导，且 f (0)=0,又 limf ( x)x 0x= 1, 则 f (0)()A. 可能不是f ( x) 的极值B. 一定是 f ( x) 的极值C. 一定是 f ( x) 的极小值D. 等于 04. 设函数 f n(x)= n2 x2(1 x) n( n 为正整数 ) ，则f n( x) 在 0,

31、1 上的最大值为 ( )A.0B.1C. (12) nD. 4(n) n12nn25、函数 y=(x2-1) 3 +1 在 x=-1 处 ()A、 有极大值B 、无极值C 、有极小值D、无法确定极值情况6.f(x)=ax32+3x +2，f (-1)=4 ，则 a=( )A、 10B 、13C、 16D、 1933337. 过抛物线 y=x2 上的点 M（ 1 ,1 ）的切线的倾斜角是()A、 300B 、45024、 600D、 900C8. 函数 f(x)=x3b 的取值范围是 ()-6bx+3b 在（ 0， 1）内有极小值，则实数A、（ 0， 1） B 、（ - ， 1） C 、（ 0，+） D、（ 0， 1 ）9. 函数 y=x 3-3x+3 在 3 ,5 上的最小值是 (2)22A、89 B、1C、 33D、 5832810、若 f(x)=x为函数的极值，则 ()+ax +bx+c，且 f(0)=0A、 c0 B、当 a>0 时， f(0)为极大值C、 b=0D、当 a<0 时， f(0)为极小值11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A、（ 2， 3）B、（ 3， +）C、（ 2，