导数难题归类

1、精品文档导数难题归类一导数中与零点相关问题ln ax1a0 ).1. 已知函数 f ( x)(x（）求函数f ( x) 的最大值；（）如果关于x 的方程 ln x1bx 有两解，写出 b 的取值范围（只需写出结论）；22已知函数x(a 1)x ， a R f (x) a ln x2（） 当 a1时，求函数f ( x) 的最小值；（） 当 a1时，讨论函数f ( x) 的零点个数 .3. （本小题共13 分）已知函数 f ( x)1R) .a ln x( ax（）当 a 2时，求曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；（）如果函数g( x) f (x)2x 在 (0,) 上

2、单调递减，求a 的取值范围；（）当 a 0时，讨论函数 yf ( x) 零点的个数4. 已知函数 f ( x)x2ln x .（）求曲线yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程；（）设 g(x)x2xt ，若函数 h(x)f ( x) g (x) 在 1 , e 上 ( 这里 e2.718 ）恰有两e个不同的零点 , 求实数 t 的取值范围 .。1欢迎下载精品文档5. 已知函数（）若曲线exf ( x).xyf ( x) 在点 (x0, f (x0 ) 处的切线方程为axy0 ，求 x0 的值；（）当 x0 时，求证：f ( x)x ；（）问集合 x R f ( x)bx0 bR且

3、为常数） 的元素有多少个？ （只需写出结论）（6. （本小题共 13 分）设函数 f ( x)eax (aR) .（）当 a2 时，求函数 g( x)x2 f (x) 在区间 (0,) 内的最大值；x2（）若函数 h( x)1 在区间 (0,16) 内有两个零点，求实数 a 的取值范围 .f ( x)二利用二阶导数解决问题1. （本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)( xa)ex ， a R x（）当（）当a 0 时，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；a1 时，求证：f ( x) 在 (0,) 上为增函数；（）若f ( x) 在区间 (0,1) 上有且只有

4、一个极值点，求 a 的取值范围2. （本小题共 13 分）设函数 f （x）=xea x+bx，曲线 y=f （ x）在点（ 2，f （ 2）处的切线方程为y=（ e 1）x+4，（）求 a， b 的值；（）求 f （ x）的单调区间。2欢迎下载精品文档三导数中出现三角函数如何解决1 已知函数 f ( x )sin x x cos x （）求曲线 yf ( x) 在点 ( ，f ( )处的切线方程；（）求证：当x(0 ， ) 时， f ( x)133x ；2（）若 f ( x)kxx cos x 对 x (0 ， ) 恒成立，求实数k 的最大值22. 已知函数 f(x)=x 2+xsin x+

5、cos x.（）若曲线y=f(x)在点 (a,f(a)处与直线y=b 相切，求a 与 b 的值。（）若曲线y=f(x)与直线 y=b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。四注意利用上一问结论去解决问题1（本小题满分13 分）已知函数 f (x) ln x 1 1， g( x)x 1xln x（）求函数 f (x) （）求函数 g(x) （）求证：直线的最小值；的单调区间；y x不是曲线yg(x) 的切线。2. （本小题共 14 分）设函数 f ( x)aexx1 ， aR （）当 a1 时，求 f ( x) 的单调区间；（）当 x (0,) 时， f ( x)0 恒成立，求 a 的取值范围；（

6、）求证：当 x(0, ) 时， ln ex 1x x2。3欢迎下载精品文档五导数中求最值问题1. 已知函数 f (x)ax3x2bx(a,bR) ， f ( x) 为其导函数，且 x3 时 f ( x) 有极小值 9（）求 f ( x) 的单调递减区间；（） 若不等式 f(x)k ( x ln x1) 6x4（ k 为正整数） 对任意正实数x 恒成立， 求 k的最大值（解答过程可参考使用以下数据：ln7 1.95, ln8 2.08）2. 已知函数 f ( x) x2ax ln x, a R.（I ）若函数 f ( x) 在 (1, f (1) 处的切线垂直于y 轴，求实数 a 的值；(II)

7、在（ I ）的条件下，求函数f ( x) 的单调区间；(III)若 x 1时, f ( x)0 恒成立，求实数a 的取值范围 .3. （本小题共 14 分）已知函数f ( x)a ln xbx 2 ， a ， bR .1（）若f ( x) 在 x1 处与直线 y相切，求 a ， b 的值；2（）在（）的条件下，求f ( x) 在 1 ,e 上的最大值；e（）若不等式f ( x)x 对所有的 b(, 0 ， x(e,e2 都成立，求 a 的取值范围 .。4欢迎下载精品文档4已知函数，其中 aR 当时，求f( x) 的单调区间； 当 a 0 时，证明：存在实数m 0 ，使得对于任意的实数x，都有f

8、( x) m成立5. 已知函数（）求曲线f ( x)x ln x .yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；（）求证：f ( x)x 1；（）若 f ( x)ax22 (a 0) 在区间 (0,) 上恒成立，求 a 的最小值 .a6已知函数f ( x)ex2x （）求函数f ( x) 的极值；（）证明：当x 0时， exx2 ；（）当 x 0时，方程 f (x)kx 22x 无解，求 k 的取值范围7. （本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) ex ( x2 ax a) .（）当 a1 时，求函数f ( x) 的单调区间；（）若关于x 的不等式 f ( x) ea 在

9、a,) 上有解，求实数 a 的取值范围；( ) 若曲线 yf ( x) 存在两条互相垂直的切线，求实数a 的取值范围 .( 只需直接写出结果 )。5欢迎下载精品文档8（本小题共14 分）已知 f (x) 2ln( x2) (x 1)2 ， g(x) k( x1) （）求 f (x) 的单调区间；（）当 k 2 时，求证：对于x1， f ( x)g( x) 恒成立；（）若存在 x01，使得当 x(1, x0 ) 时，恒有 f ( x)g( x) 成立，试求 k 的取值范围9 （本小题满分13 分）已知函数 f ( x)1x2(a 1)x （1a)ln x ， a R 2（）当（）当a3 时，求曲

10、线 C : yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；1x2,x1,2 时，若曲线 C : yf ( x) 上的点 ( x, y) 都在不等式组xy,所表示的yx32平面区域内，试求a 的取值范围六导数中结合韦达定理1已知函数。6欢迎下载精品文档（）当时，求函数的单调区间；（）若在区间(1,2) 上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（）若函数有两个不同的极值点，。7欢迎下载精品文档，求证：2. （本小题共 14 分）已知函数f ( x)x35x2ax b ,g( x) x3 7x2ln xb ，（ a ， b 为常数）22（）若 g (x) 在 x1 处的切线过点 (0 ,5)

11、 ，求 b 的值；（）设函数f ( x) 的导函数为f ( x) ，若关于 x 的方程 f ( x)xxf ( x) 有唯一解，求实数 b 的取值范围；（）令 F ( x)f ( x)g(x) ，若函数 F ( x) 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2 ，求实数 a 的取值范围七 导数几何意义融入大题中1. （本小题共13 分）1已知函数f (x)xex1（）求函数f ( x) 的极小值；（）过点B(0,t ) 能否存在曲线yf (x) 的切线，请说明理由2. （本小题共14 分）已知 x1是函数 f ( x) 2xbln x 的一个极值点x。8欢迎下载精品文档（）求实数b 的值；（）求f

12、 ( x) 的单调递减区间；（）设函数 g( x) f ( x)3y g( x) 相，试问过点（2 ， 5）可作多少条直线与曲线x切？请说明理由3.HD（本小题满分14 分）已知函数1ln x.f ( x)x2（）求函数f ( x) 的零点及单调区间；（）求证：曲线yln x 存在斜率为 6 的切线，且切点的纵坐标y01.x导数难题归类答案一 导数中与零点相关问题1. （本小题共 13 分）解：（）函数的定义域为 x x0 因为 f ( x)ln ax 1，x所以 f( x)ln axx21因为 a0 ，所以当 f(x)0时， xa11当 x(0,) 时， f (x)0， f ( x) 在 (

13、0,) 上单调递增；aa当 x( 1 ,) 时，f( x)0 ， f ( x) 在 ( 1 ,) 上单调递减aa所以当 x1时， f ( x)最大值f ( 1 )a aa（）当 0 b1时，方程 ln x1 bx 有两解2. （本小题满分 13 分）解：（）函数f ( x) 的定义域为x x0.。9欢迎下载精品文档当 a1时， f (x)ln xx2.2f(x)1xx21( x1)(x1) .xxx由 ( x 1)(x 1)0 (x > 0)解得 x1 ；由 ( x 1)(x1)0 (x > 0) 解得 0 x 1 .xx所以 f (x) 在区间 (0,1) 单调递减 ,在区间 (

14、1, ) 单调递增 .所以 x1时 , 函数 f ( x) 取得最小值f (1)1. .5分2（） f( x)( x1)(xa)x0 .x,（1）当 a0 时，x(0,1)时 ,f(x)0 ,f ( x) 为减函数 ;x(1,) 时，f( x)0， f (x) 为增函数 .所以 f (x) 在 x1时取得最小值f (1)a1 .2（）当 a0x20 ，令 f ( x) = 0 ， x = 2 ，则 f (x) 在 (0,) 上时， f (x)x ，由于 x2有一个零点；（）当 a1 时，即 f (1)0时， f ( x) 有一个零点；2（）当 a1 时，即 f (1)0时， f ( x) 无零

15、点 .2（）当1a0 时，即 f (1)0时，2由于 x0 （从右侧趋近0）时， f ( x)； x时， f (x)，所以 f (x) 有两个零点 .(2) 当0a1 时，x(0, a) 时 ,f( x)0 ,f (x) 为增函数 ;x( a,1) 时， f ( x)0 ， f (x) 为减函数；x(1,) 时， f( x)0， f (x) 为增函数 .所以 f (x) 在 xa 处取极大值，f ( x) 在 x1 处取极小值 .f ( a) a ln a1 a 2( a 1)a a ln a1 a2a .22当0 a1时， f (a)0, 即在 x(0,1)时， f (x)0 .而 f (

16、x) 在 x(1,) 时为增函数，且x时， f (x)，所以此时 f ( x) 有一个零点 .(3) 当 a1 时， f ( x)( x1)20在 0,上恒成立，所以f ( x) 为增函数 .x且 x0（从右侧趋近0）时， f ( x)； x时， f ( x).所以 f (x) 有一个零点 .综上所述，0a1 或 a1 时 f ( x) 有一个零点； a1 时， f ( x) 无零点；1a0222。10欢迎下载精品文档3. 解：（）当 a2 时， f ( x)2lnx1， f (1) 1，21x所以 f ( x)，f (1)1xx2所以切线方程为yx （）因为 g (x)f ( x)2x 在

17、(0,) 上单调递减，等价于 g (x)a120在(0,) 恒成立，xx2变形得 a2x1(x0) 恒成立，x而 2x122x12 2xx（当且仅当2x1，即 x2时，等号成立） x2所以 a22 （） f (x)ax 1x2令 f (x)0 ，得 x1a111x(0, )(, )aaaf (x)0f (x)极小值所以 f ( x)min =f ( 1) = aln 1aa(1ln a) aa（）当 0ae时， f (x)min0 ，所以 f (x) 在定义域内无零点；（）当 a e时， f (x)min 0 （）当 a e时， f (x)min 0，所以 f (x) 在定义域内有唯一的零点；

18、， 因为 f (1) 10 ，所以 f ( x) 在增区间 (1, ) 内有唯一零点；1af ( a2 ) a(a2ln a) ，1 2设 h(a)a 2ln a ，则 h (a)，a因为 ae，所以 h (a) 0 ，即 h(a) 在 ( e,) 上单调递增，所以 h(a) h(e)10 ，所以 f( x) 在减区间 (0,10 ，即 f (2 ) 内有唯一的零点aa。11欢迎下载精品文档所以 ae时 f ( x) 在定义域内有两个零点综上所述：当0ae 时， f (x) 在定义域内无零点；当 ae时， f ( x) 在定义域内有唯一的零点；当 ae时， f (x) 在定义域内有两个零点4.

19、 解：（）函数定义域为(0,)【1 分】f '( x)2x1 ，f '(1)1【2 分】x又 f (1)1 ，所求切线方程为y1x1，即 xy0【5 分】（）函数 h(x)f (x)g ( x)ln xxt 在 1 ,e 上恰有两个不同的零点，1e等价于ln xxt 0 在 ,e 上恰有两个不同的实根，【8 分】e等价于 txln x 在 1 , e 上恰有两个不同的实根，e1x 1令 k( x)xln x,则 k '( x)1xx当 x(1 ,1) 时， k '(x)0，k(x) 在 (1 ,1) 递减；ee当 x(1,e 时， k '(x)0 ，k(

20、 x) 在 (1,e递增 .故 kmin ( x)k (1)1 ，又 k( 1)11,k(e)e1.【11 分】eeQ k(1k(e) 2 e10 ，1k(e) ，k(1)tk ( 1)ek()eee即 t(1,11e5. ）解： f '( x)ex xex.x2因为 切线 axy 0过原点 (0,0)，ex0所以 ex0 x0ex0x0 .分解得： x02 .x02x0xx22x) .（）证明：设 g( x)f ( x)e2 ( x0) ，则 g '( x)e( xx4xx。12欢迎下载精品文档令 g '(x)ex ( x22x)2 .x40 ，解得 xx 在 (0,

21、) 上变化时， g '( x), g( x) 的变化情况如下表x(0, 2)2(2,+ ? )g '(x)-0+g ( x)e24所以 当 x2 时， g( x) 取得最小值 e2.所以 当 x0 时， g(x) ? e21，44即 f (x) x .（）解：当 b0 时，集合 xRf (x)bx0 的元素个数为0；当 0 be2Rf ( x)bx0 的元素个数为1；时，集合 x4e2时，集合 x R f ( x) bx0 的元素个数为 2；当 b4当 be2bx0 的元素个数为 3.时，集合 x R f ( x)46. （本小题共 13 分）解：（）当 a2 时， g( x)

22、x2e2 x ， g '( x)e 2 x (2 x2 x2 )= - 2x( x1)e 2x -2 分x 与 g '(x) 、 g(x) 之间的关系如下表：x(0,1)1(1,)g '( x)+0-g(x)增函数极大值减函数函数在区间 (0,) 内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点x 1，-4分最大值 g(1)12 .e（）（ 1）当 a0 时， h( x) x21，显然在区间(0,16) 内没有两个零点， a0不合题意 .(2)2当 a 0时，h( x)x21，(2 xax2 )eaxax(x a ).eaxh '( x)e2 axeax。13欢迎

23、下载精品文档当 a0 且 x(0,16) 时， h '( x)0 ，函数 h(x) 区间 (0,) 上是增函数，所以函数 h( x)区间(0,16)上不可能有两个零点，所以a0 不合题意；当 a0时，在区间 (0,) 上 x 与 h '(x) 、 h( x) 之间的关系如下表：x(0, 2)2( 2 ,)h '(x)aaa+0-h( x)增函数极大值减函数h( 2) 0,41 0,0 a2 ,ae2 a2e则216,， 所 以a1 ,，化 简a1 ,.因 为a88h(16)02810aln 2e16a21ln 214ln 21 ln16e16 ，822ln 24eln

24、243eln 2 ,1ln 22e2所以2.8e综上所述，当 ln 2a2时，函数 h( x)x21 在区间(0,16) 内有两个零点 .2ef ( x)二 二阶导数解决问题1. （本小题满分13 分）解：函数 f ( x) 定义域为 x x0 ， f(x)x3x2ax a ex .x2（）当 a0 时， f (x)xex ， f( x)(x1)ex .所以 f (1)e, f (1)2e .所以曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程是ye2e(x1) ，即 2exye = 0 .（） 当 a1 时， f (x)x3x2x1 exx2.设 g( x)x3x2x1 ，则 g

25、 (x)3x22x1(3x1)( x1) .x11令 g ( x)(3x1)(x1)3 或 x1 ，注意到 x0 ，所以x0 得，3 .。14欢迎下载精品文档令 g ( x)(3x1)(x1)0 得，注意到 x0x13 .0 ，得(0,1)1,)所以函数 g( x)3(在上是减函数，在3上是增函数 .所以函数 g( x)x1g(1)220在3 时取得最小值，且327.所以 g ( x) 在 (0,) 上恒大于零 .x3x2x1x0于是，当 x(0,) ， f( x)x2e恒成立 .所以当 a1时，函数f ( x) 在 0,上为增函数 .a1 时， f( x)x3x2x1 ex（）问另一方法提示

26、：当x2.由于 x3x2x10在 0,上成立，即可证明函数f ( x) 在 0,上为增函数 .f ( x) ex ( x3x2ax a )（）（）x2.设 h( x)x3x2ax a ， h ( x) 3x22x a .(1) 当 a0 时， h (x)0在(0,) 上恒成立，即函数 h(x) 在 (0,) 上为增函数 .而h(0)a0，h(1)20，则函数h( x)在区间0,1上有且只有一个零点x0，使f (x0 )0, 且在(0, x0)上， f(x0 ,1)上， fx0为函数 f (x) 在(x) < 0 ，在(x) > 0 ，故区间 0,1上唯一的极小值点 ;（2）当 a0

27、 时，当 x ?0,1 时， h ( x)3x22 x0 成立，函数 h( x) 在区间 0,1上为增函数，又此时 h(0)0 ，所以函数 h( x)0 在区间0,1恒成立，即f (x) > 0 ，故函数 f (x) 在区间0,1 为单调递增函数，所以f (x) 在区间 0,1上无极值；（3）当 a0 时， h(x) x3x2ax a x3x2a( x 1) .。15欢迎下载精品文档当 x0,1 时，总有h(x) 0成立，即f ( x) 0 成立，故函数f ( x) 在区间0,1 上为单调递增函数，所以f ( x) 在区间 0,1上无极值 .综上所述 a 0 . 13分2. 【解答】 解：（） y=f （x）在点（ 2， f （2）处的切线方程为y= （ e1） x+4，当 x=2 时， y=2（ e 1） +4=2e+2，即 f （ 2） =2e+2，