《高数期末复习-1》ppt课件

1、第一章 函数与极限(习题课一函数的定义一函数的定义二极限的概念二极限的概念三延续的概念三延续的概念一、主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系根本初等函数根本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件断定极限断定极限存在的准那么存在的准那么无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限

2、的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质独一性独一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf左右延续左右延续在区间在区间a,ba,b上延续上延续延续函数延续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的延续性的延续性延续点定义延续点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 延续的延续的充要条件充要条件延续函数的延续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的延续性的延续性 振荡延续点振荡延续点 无穷延续点无穷延续点 腾跃延续点腾跃延

3、续点 可去延续点可去延续点第一类第一类 第二类第二类 求极限的常用方法求极限的常用方法1.利用延续性求极限利用延续性求极限;2.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;3.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;4.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;5.利用左右极限求分段函数分段点处极限利用左右极限求分段函数分段点处极限;6.利用分子或分母有理化利用分子或分母有理化;1 1、导数的定义、导数的定义即即或或记为记为处的导数处的导数在点在点并称这个极限为函数并称这个极限为函数处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果取得增量取得增量相应

4、地函数相应地函数时时内内仍在该邻域仍在该邻域点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数,)(,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000 xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定义定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函

5、数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.2 2、根本导数公式、根本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx 常数和根本初等函数的导数公式常数和根本初等函数的导数公式222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3 3、求导法那么、求导法那么设设)(),(xvvxuu

6、可可导导，则则（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常数数),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函数的和、差、积、商的求导法那么函数的和、差、积、商的求导法那么(2) 反函数的求导法那么反函数的求导法那么.)(1)(),()(xxfxfyyx 则则有有的的反反函函数数为为如如果果函函数数(3) 复合函数的求导法那么复合函数的求导法那么).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的导导数数为为则则复复合合函函数数而而设设(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的

7、求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu(5) (5) 隐函数求导法那么隐函数求导法那么用复合函数求导法那么直接对方程两边求导用复合函数求导法那么直接对方程两边求导.,)()(间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 参变量函数的求导法那么参变量函数的求导法那么4 4、高阶导数、高阶导数,)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.

8、)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)5、微分的定义、微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分于自

9、变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的本质微分的本质) )6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变

10、量的微分. .根本初等函数的微分公式根本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc 函数和、差、积、商的微分法那么函数和、差、积、商的微分法那么2)()()()(vudvvduvududvvduuv

11、dCduCuddvduvud 8 8、 微分的根本法那么微分的根本法那么 微分方式的不变性微分方式的不变性的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx dxxfdy)( 洛必达法那洛必达法那么么Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最

12、值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描画图形的描画; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的运用导数的运用一、主要内容一、主要内容1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端且在区间端点的函数值相等，即点的函数值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该在该点的导数等于零，点的导数等于零， 即即0)( f 2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日

13、中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那那末在末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.3 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可

14、导, ,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式)()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf4 4、洛必达法那么、洛必达法那么定义定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再这种在一定条件下经过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法那么求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法那么.型型未未定定式式型型及及 00.10型型未未定定式

15、式000,1 ,0 ,0.2 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法那么可处将其它类型未定式化为洛必达法那么可处理的类型理的类型 . .),00()( 留意：洛必达法那么的运用条件留意：洛必达法那么的运用条件.泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函数数)(xf在在含含有有0 x的的某某个个开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶的的导导数数, ,则则当当x在在),(ba内内时时, , )(xf可可以以表表示示为为)(0 xx 的的一一个个n次次多多项项式式与与一一个个余余项项)(xRn之之和和: :)()(!)()(!2)()

16、()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之之间间与与在在其其中中xxxxnfxRnnn 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 6 6、导数的运用、导数的运用定理定理.,)

17、(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在可可导导内内上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函数单调性的断定法函数单调性的断定法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立

18、均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个点的一个点内内是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数,且且在在0 x处取得极值处取得极值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统

19、称为极值,使函数获得使函数获得极值的点称为极值点极值的点称为极值点.极值是函数的部分性概念极值是函数的部分性概念: :极大值能够小于极小极大值能够小于极小值值, ,极小值能够大于极大值极小值能够大于极大值. .驻点和不可导点统称为临界点驻点和不可导点统称为临界点. .(1)如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值.(2)如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.(3)如如果果当当),(00 xxx 及及

20、),(00 xxx时时, )(xf符符 号号相相同同,则则)(xf在在0 x处处无无极极值值.定理定理( (第一充分条件第一充分条件) ) 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()()3(判断极值点判断

21、极值点该点的符号该点的符号在在在驻点左右的正负号或在驻点左右的正负号或检查检查xfxf .)4(求极值求极值步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;留意留意: :假设区间内只需一个极值假设区间内只需一个极值, ,那么这个极值那么这个极值就是最值就是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实践问题求最值应留意实践问题求最值应留意: :1)建立目的函数建立目的函数

22、;2)求最值求最值;（或或最最小小）值值函函数数值值即即为为所所求求的的最最大大点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内内的的图图形形是是凹凹的的在在那那末末称称恒恒有有两两点点内内任任意意如如果果对对内内连连续续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或或

23、凸凸内内的的图图形形是是凹凹在在那那末末称称的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹且且在在内内连连续续在在如如果果baxfbabaxf定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数 , 则则 点点 )(,00 xfx是是 拐拐

24、点点 的的 必必 要要 条条 件件 是是0)(0 xf.方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点曲线曲线是是那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 利用函数特性描画函数图形利用函数特性描画函数图形.第一步第一步第二步第二步 确定函数确定函数)

25、(xfy 的定义域的定义域,对函数进行对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf; 求出方程求出方程0)( xf和和0)( xf 在函数定义在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.(5) 函数图形的描画函数图形的描画第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与

26、极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的程度、铅直渐近线以及其确定函数图形的程度、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的

27、计算公式.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图圆圆为半径作为半径作为圆心为圆心以以使使取一点取一点在凹的一侧在凹的一侧处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy 定义定义,是曲率中心是曲率中心D.是是曲曲率率半半径径 .1,1 kk曲曲率率圆圆.30积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分

28、一、不定积分主要内容1 1、原函数、原函数 如果在区间如果在区间I内，可导函数内，可导函数)(xF的导函数为的导函数为)(xf， 即， 即Ix ， 都 有， 都 有)()(xfxF 或或xxfxFd)()(d ，那么函数，那么函数)(xF就称为就称为)(xf或或xxfd)(在区间在区间I内原函数内原函数. 定义定义原函数存在定理原函数存在定理 如如果果函函数数)(xf在在区区间间I内内连连续续，那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF .即：延续函数一定有原函数即：延续函数一定有原函数2 2、不定积分、不定积分(1) 定义定义CxFxxf

29、 )(d )( xxgxfd)()(10 xxgxxfd)(d)( xxkfd)(20 xxfkd)(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的.（k是是 常常 数数 ，) 0 kxxfxxfd )(d )( d CxFxxF)(d)(3) 不定积分的性质不定积分的性质 CxFxF)()(d kCkxkdx() 1 () 1(1)2(1 Cxdxx3 3、根本积分表、根本积分表 dxx211)4(是常数是常数)Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx

30、 sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdx sinlncot)17( Cxxxdx tanseclnsec) 18( Cxxxdxcotcsclncsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22axnn

31、 limaxnn limaxnn lim5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法;d)(.11xxxfnn ;d)(.2xxxf;d)(ln.3xxxf第一类换元公式凑微分法第一类换元公式凑微分法由定义直接利用根本积分表与积分的性质求不由定义直接利用根本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.;d)1(.42xxxf; dcos)(sin. 5xxxf;d)(. 6xaafxx; dsec)(tan. 72x xxf;d1)(arctan.82xxxf 定定理理 设设)(tx 是是单单调调的的、可可导导的的函函数数，并并且且0)( t ， 又又 设设)()(tt

32、f 具具 有有 原原 函函 数数 ，则则有有换换元元公公式式常见类型常见类型: )()()()(xtdtttfdxxf 其其 中中) (x 是是) ( tx 的的 反反 函函 数数 .6 6、第二类换元法、第二类换元法., )(. 1Rbatx .sec,)(.tan,)(.sin,)(.2222222taxaxxftaxxaxftaxxaxf 令令令令令令如如三三角角函函数数代代换换axnn lim第二类换元公式第二类换元公式常用代换常用代换:axnn limdxv uuvdxv u .1. 3tx 令倒置代换7 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式axnn limaxnn l

33、im 选择选择u u的有效方法的有效方法:LIATE:LIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数； 哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分1有理函数的积分有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.axnn limaxnn lim真分式化为部分分式之和的待定系数法真分式化为部分分式之和的待定系数法一、主要内容 、 定积分问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运

34、动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式x轴轴与与两两条条直直线线ax 、1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积Abx 所所 围围 成成 .iniitvs )(lim10 设设 某某 物物 体体 作作 直直 线线 运运 动动 ， 已已 知知 速速 度度)( tvv 是是 时时 间间间间 隔隔,21TT上上t的的 一一 个个 连连 续续 函函 数数 ， 且且0)( tv， 求求物物 体体 在在 这这 段段 时时 间间 内内 所所 经经 过过 的的 路路 程程S

35、 .设设 函函 数数)(xf在在, ba上上 有有 界界 ，在在,ba中中 任任 意意实例实例2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程若若 干干 若若 干干 个个 分分 点点bxxxxxann 1210方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义把把区区间间, ba分分成成n个个小小区区间间，各各 小小 区区 间间 的的 长长 度度 依依 次次 为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在 各各 小小 区区间间 上上 任任 取取一一 点点i （iix ） ，,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(

36、lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上定义定义的的取取法法，只只 要要 当当0 时时 ，和和S总总 趋趋 于于确确 定定 的的 极极 限限I，在在 区区 间间 , ba上上 的的 定定 积积 分分 ，记记,max21nxxx ，如如 果果 不不 论论 对对, ba我我 们们 称称 这这 个个 极极 限限I为为 函函 数数) (xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i记为记为点点i 怎怎 样样并并 作作 和和iinixfS )(1 ， 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时， 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称) (xf在

37、在 区区 间间 , ba上上 可可 积积 .且且只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点，则则)(xf 在在区区间间,ba上上可可积积. . 可积的两个充分条件：可积的两个充分条件： badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(定理定理1定理定理2 babadxxfkdxxkf)()( ( k为为 常常 数数 ) badxxf)( bccadxxfdxxf)()(dxba 1dxba ab 3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质1如如果果在在区区间间, ba上上0)( xf，性质性质2则则dxxfba )(

38、 dxxgba )( )(ba 性质性质3 如如 果果 在在 区区 间间 , ba上上) () (xgxf ，性质性质4dxxfba )(dxxfba )(性质性质5)(ba 推论：推论： 则则0)( dxxfba )(ba 如如 果果 在在 区区 间间,ba上上0)( xf， 1,0)( xf且且如如 果果 函函 数数) ( x f在在 闭闭 区区 间间 , b a上上 连连 续续 ，2则则 在在 积积 分分 区区 间间, ba上上 至至 少少 存存 在在 一一 个个 点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 3设设M及及m分分 别别 是是 函函 数数 则则 )()()(abMd

39、xxfabmba . )(xf在在区区间间, ba上上 的的 最最 大大 值值 及及 最最 小小 值值 ，性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理) 如如果果)( xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数 dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数 是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如如果果)( xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)( xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. 如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原

40、原函函数数，则则 )()()(aFbFdxxfba 性质性质6.)()(babaxFdxxf 积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式. , , :上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于一一个个连连续续函函数数在在区区间间表表明明baba定理定理1定理定理2原函数存在定理原函数存在定理 dtttfdxxfba )()()(定理定理 3微积分根本公式微积分根本公式 bababavduuvudv adxxf)(也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 babdxxf)(lim6 6、定积分的计算法、定积分的计算法当当

41、极极 限限 存存 在在 时时 ， 称称 广广 义义 积积 分分 收收 敛敛 ； 当当 极极 限限 不不 存存 在在时时 ， 称称 广广 义义 积积 分分 发发 散散 .换元公式换元公式1换元法换元法2分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式 bdxxf)(、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 baadxxf)(lim badxxf)( badxxf )(lim0当当 极极 限限 存存 在在 时时 ， 称称 广广 义义 积积 分分 收收 敛敛 ； 当当 极极 限限 不不 存存 在在时时 ， 称称 广广 义义 积积 分分 发发 散散 . badxxf )( badxxf

42、)(lim0(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxx f) ( cadxx f) ( bcdxx f) ( cadxxf )(lim0 bcdxxf )(lim0.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定定积积分分的的微微分分的的分分就就是是这这表表明明连连续续函函数数的的定定积积于于是是即即的的一一个个原原函函数数是是则则它它的的变变上上限限积积分分上上连连续续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa .)()(:)()(,)2(方方法法称称微微元元法法计计算算积积分分或或原原函函数数的的这这种种取取微微元元积积分分的的无无限限积积

43、累累到到从从就就是是其其微微分分所所求求总总量量知知由由理理论论依依据据dxxfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2 ）U对对于于区区间间 ba ,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba ,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；、定积分的运用微微 元元 法法理理 论论 依依 据据称号释译称号释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分运用中的常用公式定积分运用中的常用公式1 1、实际根据、实

44、际根据（3 ）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为i ixf ) ( ；2 2、称号释译、称号释译就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量U.1)根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2 ） 设设 想想 把把 区区 间间,ba分分 成成n个个 小小 区区 间间 ， 取取 其其 中中 任任一一 小小 区区 间间 并并 记记 为为,dxxx ， 求求 出出 相相 应应 于于 这这 小小 区区间间 的的 部部 分分 量量U 的的 近近 似似 值值 如如 果果U 能能

45、近近 似似 地地 表表示示 为为,ba上上 的的 一一 个个 连连 续续 函函 数数 在在x处处 的的 值值)( xf与与dx的的 乘乘 积积 ， 就就 把把dxxf)(称称 为为 量量U的的 元元 素素 且且 记记 作作dU， 即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量Uxyo3 3、所求量的特点、所求量的特点)( xfy badxxfA)()(1xfy 4 4、解题步骤、解题步骤5 5、定积分运用的常用公式、定积分运用的常用公式(1) 平面图形的面积平

46、面图形的面积)(2xfy badxxfxfA)()(12A)(2xfy ab )()(tytx 21) ( ) (ttdtt tA 21) ( ) (ttdtt tA 直角坐标情形直角坐标情形（其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t （或或2t,1t ）上上) ( t x 具具有有连连续续导导数数，) ( t y 连连续续.（其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t （或或2t,1t ）上上) ( t x 具具有有连连续续导导数数，) ( t y 连连续续.假设曲边梯形的曲边为参数方程假设曲边梯形

47、的曲边为参数方程 dA2)( 21曲边梯形的面积曲边梯形的面积xo参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 d ) ( r) (2 r) (1 r dA)()(212122) (1 r d dxx dxxfVba2)( 极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积dyyVdc2)( dyxyo)( yx c dd badxxAV)(ab)( xA d o dyy 平行截面面积为知的立体的体积平行截面面积为知的立体的体积dy(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 ddxysba 21)( ty dy其其中中) ( ), (t t 在在 , 上上具具有有连连续续导导数数dttts ) () (22弧长弧长)

48、(xfy A曲线弧为曲线弧为 dA2)( 21)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧弧长弧长(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积dyyVdc2)( dyxyoodxx )(x (5) 细棒的质量细棒的质量 lldxxdmm00)( x)(为为线线密密度度x x) ( xFab(7) 变力所作的功变力所作的功 babadxxFdWW)( lldxxdmm00)( y) (xfx)(为为线线密密度度x x()bbaabaF d Fg h d sg x fxd x ()bbaab

49、aF d Fg h d sg x fxd x ()bbaabaF d Fg h d sg x fxd x ()bbaabaF d Fg h d sg x fxd x ()为 水 的 密 度(8) 水压力水压力x babadxxxfdPP)( lldxxdmm00)( y) (xfx)(为为线线密密度度x )( 为为比比重重 Al (7) 变力所作的功变力所作的功 babadxxFdWW)( lldxxdmm00)( y) (xfx)(为为线线密密度度x x()bbaabaF d Fg h d sg x fxd x ()bbaabaF d Fg h d sg x fxd x ()bbaabaF

50、d Fg h d sg x fxd x ()bbaabaF d Fg h d sg x fxd x ()为 水 的 密 度(8) 水压力水压力x babadxxxfdPP)( lldxxdmm00)( y) (xfx)(为为线线密密度度x )( 为为比比重重 l (9) 引力引力x babadxxxfdPP)( x)(为为线线密密度度x lldxxdmm00)( llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)( 为为引引力力系系数数G badxx faby) (1 badxxfaby)(12axnn limaxnn lim(10) 函数的平均值函数的平均值axnn lim(11)

51、均方根均方根axnn lim1 1、根本概念、根本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解假设微分方程的解中含有恣意常数，并且通解假设微分方程的解中含有恣意常数，并且恣意常数的个数与微分方程的阶数一样，这样的恣意常数的个数与微分方程的阶数一样，这样的解叫做微分方

52、程的通解解叫做微分方程的通解特解确定了通解中的恣意常数以后得到的解，特解确定了通解中的恣意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件用来确定恣意常数的条件初始条件用来确定恣意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题)(111cybxacbyaxfdxdy 形形如如(1) 可分别变量的微分方程可分别变量的微分方程解法解法,01时时当当 cc分别变量法分别变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法，令令kYyhXx ,(2) 齐次方程齐次方程解法解法) () ( xQy x Pdxdy 形形如

53、如作变量代换作变量代换,0)( xQ当当齐次方程齐次方程,0)( xQ当当.)( dxxPCey其中其中h和和k是待定的常数是待定的常数否那么为非齐次方否那么为非齐次方程程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程nyxQyxPdxdy)()( 形形如如上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.)1 ,0( n齐次方程的通解为齐次方程的通解为时时，当当1 , 0 n运用分别变量法运用分别变量法解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为时时，当当1,0 n常数变易法常数变易法(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程,1nyz 令令. )1)()()1 ()()1 (1 cdxenxQezydxxPndxxPnn方程为线性微分方程方程为线性微分方程.),(xPy 令令 方程为非线性微分方程为非线性微分方程方程. y不不显显含含未未知知函函数数解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化