自由度和广义坐标

1、2021/2/71散散 射射 具有确定动量的粒子从远处而来具有确定动量的粒子从远处而来,通过另一个粒子（称通过另一个粒子（称为散射中心）附近为散射中心）附近,相互作用后而发生偏转相互作用后而发生偏转,又向远处而去又向远处而去,这就是散射这就是散射,经散射后粒子处于非束缚的散射定态经散射后粒子处于非束缚的散射定态。量子。量子力学中力学中,散射又称碰撞。在碰撞过程中散射又称碰撞。在碰撞过程中,如果两粒子内部状如果两粒子内部状态均未发生改变态均未发生改变,则称为弹性散射则称为弹性散射;反之反之,称为非弹性散射。称为非弹性散射。 我们仅限于讨论弹性散射。我们仅限于讨论弹性散射。 为方便起见为方便起见,

2、采用质心坐标系采用质心坐标系,并假定散射中心的质量远并假定散射中心的质量远大于入射粒子的质量大于入射粒子的质量,即由碰撞引起的散射中心的运动可即由碰撞引起的散射中心的运动可以略去。这样以略去。这样,入射粒子发生弹性散射后入射粒子发生弹性散射后,只有运动方向发只有运动方向发生改变生改变,动量大小并未发生改变。动量大小并未发生改变。 另外另外,入射粒子与散射中心的相互作用只发生在很小的空入射粒子与散射中心的相互作用只发生在很小的空间区域内间区域内,在这小区域外在这小区域外,入射粒子（初态）及散射粒子入射粒子（初态）及散射粒子（末态）均处于自由粒子状态。（末态）均处于自由粒子状态。 2021/2/7

3、2 散射过程实际上是由于空间小区域中的相互作用导散射过程实际上是由于空间小区域中的相互作用导致的粒子从一个自由态到另一自由态的跃迁。但是致的粒子从一个自由态到另一自由态的跃迁。但是,这种这种跃迁的初末态能量是相同的跃迁的初末态能量是相同的,并且组成连续谱。本讲主要并且组成连续谱。本讲主要讨论的仍属于跃迁概率问题讨论的仍属于跃迁概率问题,而中心问题是散射截面。散而中心问题是散射截面。散射截面的计算射截面的计算,主要通过两种近似方法主要通过两种近似方法:分波法和玻恩近似分波法和玻恩近似法。法。 1 散射截面散射截面 1、1 入射入射 设自由粒子流沿着设自由粒子流沿着 轴向散射中心入射。首先轴向散射

4、中心入射。首先,我们我们定义定义:单位时间内穿过垂直于入射方向的单位面积的入射单位时间内穿过垂直于入射方向的单位面积的入射粒子数称为入射粒子流强度粒子数称为入射粒子流强度,记为记为 。从波动理论出发。从波动理论出发,入入射波取为射波取为 其中其中 , 是约化质量是约化质量, 是入射粒子动量是入射粒子动量, 是入射粒子的速度是入射粒子的速度 zNikze1（1） 22Ekkpkv2021/2/73入射波的概率流密度入射波的概率流密度 其数量大小即给出入射粒子流强度其数量大小即给出入射粒子流强度, 。由此可见。由此可见, 描述的是单位体积内只有一个入射粒子的情况。描述的是单位体积内只有一个入射粒子

5、的情况。1.2 散射散射 入射粒子流受散射中心的作用而偏离原来的运动方入射粒子流受散射中心的作用而偏离原来的运动方 向向,沿着不同的散射角沿着不同的散射角 射出射出,单位时间内散射到单位时间内散射到 方向上的面积元方向上的面积元 上的粒子数上的粒子数 应由下面关系应由下面关系 vkikikizziJz1*1*111*1*1122（2） vN ikze1),(),(dSdnNdrdSNdn2Ndqdn),(（3） 2021/2/742021/2/75式中式中 是比例系数是比例系数,与入射粒子的能量、散射中心的与入射粒子的能量、散射中心的性质及粒子出射的方向性质及粒子出射的方向 有关。有关。 实际

6、上由实际上由 可以看出可以看出 （1） 表明单位时间内沿不同角度表明单位时间内沿不同角度 散射粒子数散射粒子数 目的多少目的多少,或散射粒子的概率的大小或散射粒子的概率的大小,所以称它为所以称它为 散射粒子的角分布。散射粒子的角分布。 （2）从量纲看）从量纲看, 具有面积的量纲具有面积的量纲,因此又称它为因此又称它为 方向上的微分散射截面方向上的微分散射截面,而把而把 称为总散射面积。称为总散射面积。),(q),(dqNdn),(/),(q),(),(q),( 020sin),(),(ddqdqQ（4） 2021/2/76“截面截面”一词一词,可作如下解释可作如下解释: 按着（按着（3）式）式

7、,在入射粒子流中在入射粒子流中,每单位时间穿过与入射每单位时间穿过与入射 方向垂直的方向垂直的 面积的粒子数面积的粒子数,即为单位时即为单位时间被散射到立体角间被散射到立体角 中去的粒子数中去的粒子数 ,而单位时间被散而单位时间被散射的总粒子数射的总粒子数 则等于单位时间穿过垂直于入射方向的面则等于单位时间穿过垂直于入射方向的面积积 的入射粒子数。因此的入射粒子数。因此,对于入射粒子流来说对于入射粒子流来说,散射体散射体的作用等效于一块横截面积的作用等效于一块横截面积,凡是打在这块面积上的粒子凡是打在这块面积上的粒子,都被散射到各个方向上去。都被散射到各个方向上去。 及及 都是可由实验测定的量

8、都是可由实验测定的量,需要讨论的问题是需要讨论的问题是:如如何从薛定谔方程的解来计算散射截面何从薛定谔方程的解来计算散射截面,以便与实验值相比以便与实验值相比较较,从而来研究粒子间相互作用的性质及其它问题。所以从而来研究粒子间相互作用的性质及其它问题。所以说说,散射截面是散射理论的核心问题。下面讨论散射截面散射截面是散射理论的核心问题。下面讨论散射截面与散射粒子的波函数之间的关系。与散射粒子的波函数之间的关系。 dqdQ),(),(ddnQ),(qQ2021/2/77 受散射中心作用后受散射中心作用后,入射粒子将改变方向入射粒子将改变方向,动量不再守恒动量不再守恒,从而出现散射波。而实验上观测

9、都是在远离散射中心的地方从而出现散射波。而实验上观测都是在远离散射中心的地方进行的进行的,因此散射波应该是球面波因此散射波应该是球面波 其中其中 是沿是沿 方向向外传播的散射波的振幅方向向外传播的散射波的振幅,称为称为散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度它的数值即为单位时间内穿过它的数值即为单位时间内穿过 方向上的单位面积的方向上的单位面积的粒子数粒子数 refikr),(2（5） ),(f),(rriJr2*2*22222222),(),(2frvrikrikfi（6） ),(2021/2/78因此穿过因此穿过 面积的粒子数是面积的粒子数是 与（与（3

10、）比较）比较,可得可得 即散射截面可由散射波的散射振幅决定。问题又转化为对即散射截面可由散射波的散射振幅决定。问题又转化为对 散射波的研究。散射波的研究。 dfNdfvdSfrvdSJdnr2222),(),(),(2),(),(fq（7） dS2021/2/792.分波法分波法 2.1薛定谔方程及其边界条件薛定谔方程及其边界条件 若入射粒子与散射中心之间的相互作用势能用中心力若入射粒子与散射中心之间的相互作用势能用中心力 场场 表示表示,并假定并假定 ,则体系的薛定谔方程写为则体系的薛定谔方程写为令令 , ,且在中心力场情况下且在中心力场情况下,势势能只与能只与 大小有关大小有关,所以所以

11、)(rU0)(limrUrErU)(222（8） 22222pEk)(2)(2rUrVr0)(22rVk（9） 2021/2/710如前所述如前所述,实验上观测散射粒子都是在远离散射中心的地方进实验上观测散射粒子都是在远离散射中心的地方进行行,所以我们总是关注波函数在所以我们总是关注波函数在 时的渐进行为。时的渐进行为。 而在无穷远处而在无穷远处,不但有平面波存在不但有平面波存在,而且有散射波存在而且有散射波存在,所以满足（所以满足（9）式的波函数应具有如下的渐进行为（边界条）式的波函数应具有如下的渐进行为（边界条件）件） 综上所述综上所述,中心力场中的散射问题中心力场中的散射问题,归结为按不

12、同的势能归结为按不同的势能函数求解薛定谔方程（函数求解薛定谔方程（9）式）式,并使其解得的波函数渐进行并使其解得的波函数渐进行为满足（为满足（10）式）式,这样就得到散射振幅这样就得到散射振幅亦得到散射截亦得到散射截面。面。 rrefeikrikzr),(21（10） 2021/2/7112.2薛定谔方程的渐近解薛定谔方程的渐近解 对于中心力场问题对于中心力场问题,我们已知对于确定的能量我们已知对于确定的能量 ,方程方程 （9）的一般解可写为）的一般解可写为 若选取粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴若选取粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴,则则中心力场的散射问题具有轴对称性中心力场的散

13、射问题具有轴对称性,波函数及散射振幅都与波函数及散射振幅都与 无关无关,即即 ,所以有所以有式中的式中的 ,对应的各项称为对应的各项称为 分波分波,每一个分每一个分波波 都是方程（都是方程（9）的解。）的解。 nEmllmlYrRr,),()(),(0m)(cos)(),(lllPrRr（11） , 2 , 1 , 0l,dps)(cos)(llPrR2021/2/712其中勒让德多项式其中勒让德多项式 为已知为已知,所以我们只需讨论所以我们只需讨论满足的径向方程满足的径向方程 令令 得得 满足的方程满足的方程这里这里, 的函数形式尚依赖于的函数形式尚依赖于 的具体形式的具体形式,考查考查处的

14、渐进形式处的渐进形式,则上式简化为则上式简化为 )(coslP)(rRl0)() 1()()(12222rRrllrVkdrrdRrdrdrll（12） rrurRll)()(（13） )(rul0)() 1()()(2222rurllrVkdrrudll（14） )(rul)(rUr0)()(222rukdrrudll2021/2/713其一般解为其一般解为 因此因此, 的渐进形式是的渐进形式是为了与入射波进行方便的比较引入为了与入射波进行方便的比较引入 及及将（将（15）式代入（）式代入（11）式）式,得出方程的渐近解为得出方程的渐近解为2.3散射波与入射波的比较散射波与入射波的比较 因为

15、平面波因为平面波 可以按着数理方程中的展开公式展开成可以按着数理方程中的展开公式展开成一系列球面波的叠加一系列球面波的叠加)sin()(lllkrAru)(rRl)2sin()sin()(llllrllkrkrAkrrArR（15） llAkAlll21llllrPlkrkrAr)(cos)2sin(),(（16） ikzellllikrikzPkrjilee)(cos)() 12(cos2021/2/714式中球贝塞耳函数式中球贝塞耳函数 的渐近式为的渐近式为 所以入射波的渐近式为所以入射波的渐近式为（17）式与（）式与（16）式比较可以看出）式比较可以看出,入射波被散射后入射波被散射后,第

16、第 个分波个分波 变成了变成了 ,角度部分角度部分 保持不变保持不变,径向部分多了一个相角径向部分多了一个相角 ,相角相角 称为第称为第 分波的相移。分波的相移。 )(krjl)2sin(1)(2)(21lkrkrkrJkrkrjrlllllrikzPlkrkrile)(cos)2sin() 12(（17） )(cos)2sin(lPlkr )(cos)2sin(llPlkr)(coslPllll2021/2/715入射波展开后入射波展开后,散射波函数的边界条件变为散射波函数的边界条件变为 2.4 散射截面散射截面 薛定谔方程的渐近解（薛定谔方程的渐近解（16）式一定满足波函数的边界条）式一定

17、满足波函数的边界条件（件（18）式）式,即即 ikrlllrerfPlkrkrilr)()(cos)2sin() 12(),(（18） 0)(cos)2sin(llllPlkrkrAikrlllerfPlkrkril)()(cos)2sin() 12(0（19） 2021/2/716由此可解出散射振幅（详细推导见教材）由此可解出散射振幅（详细推导见教材）微分散射截面的表达式为微分散射截面的表达式为由此可以看出由此可以看出:求散射振幅求散射振幅 的问题归结为求相移的问题归结为求相移 ,而而 的获得需要根据的获得需要根据 的具体情况解径向方程求的具体情况解径向方程求 ,然然后取其渐近解后取其渐近解

18、,并写成并写成 02)(cos) 1)(12(21)(lliPelkifl0sin)(cos) 12(1llillePlk（20） 2022sin)(cos) 12(1)()(llillePlkfq（21） )(fll)(rU)(rRl)2sin(1)(lrllkrkrrR2021/2/717即可得到第即可得到第 个分波的相移个分波的相移 。由于每个分波都将产生相。由于每个分波都将产生相移移,所以所以,必须寻找各个分波的相移来计算散射截面必须寻找各个分波的相移来计算散射截面,这种这种方法叫作分波法。方法叫作分波法。 最后最后,利用勒让德函数的正交性利用勒让德函数的正交性,可得出总散射截面为可得

19、出总散射截面为 可以证明可以证明 （光学定理）（光学定理） ll0022sin) 12(4llllQlkQlllkQ22sin) 12(4（22） （23） )0(Im4fkQ（24） 2021/2/7182.5分波法的适用范围分波法的适用范围 分波法求散射截面是一个无穷级数的问题分波法求散射截面是一个无穷级数的问题,从原则上讲从原则上讲,分分波法是求解散射问题的普遍方法。但实际上波法是求解散射问题的普遍方法。但实际上,顺次计算级顺次计算级数中的各项是相当复杂的数中的各项是相当复杂的,有时也是不可能的。所以只能有时也是不可能的。所以只能在一定条件下计算级数中的前几项在一定条件下计算级数中的前几

20、项,达到一定的精确度即达到一定的精确度即可。可。 分波法适用的条件写成分波法适用的条件写成 ,而而 的分波不必考的分波不必考 虑虑, 愈小愈小,则需计算的项数愈少则需计算的项数愈少,当当 时时, ,只需计只需计算一个相移算一个相移 就足够了。就足够了。 足够小意味着入射粒子的动足够小意味着入射粒子的动能较低能较低,所以分波法适用于低能散射。所以分波法适用于低能散射。 kal kal ka1ka0l0ka2021/2/719由径向方程由径向方程 相移相移 散射振幅散射振幅 散射截面散射截面 )(fl)(rRl)(q2021/2/720例一例一 求粒子受势能求粒子受势能 散射的微分散射截面。散射的

21、微分散射截面。解解: 把把 代入径向方程代入径向方程,得得 令令 ,得得 的方程为的方程为式中式中 ,这是一个贝塞耳方程这是一个贝塞耳方程,其解为其解为考虑到考虑到 时波函数应为有限值时波函数应为有限值,则则 ,故故2/)(rarU2/)(rarU0)() 1(2)(1222222rRrllrakdrrdRrdrdrllrruRll)()(rul0)(122222lllurpkdrdurdrud2222)21(alp)()()(krBNkrAJruPPl0r0B)()(krJrArruRPll2021/2/721考虑到考虑到 的渐近行为的渐近行为 故有故有与与 相比较相比较,得得当当 很小时很

22、小时,上式展开并略去高次项得上式展开并略去高次项得)(krJP)42sin(2)(pkrkrkrJrP)42sin(1)(pkrrrRrl)2sin(1llkrrllp242)21(2)21(224222lallpla2/1/22lal2021/2/722将结果代入将结果代入 ,并考虑到并考虑到 ,所以所以 （1）对）对 分波分波, , 所以所以 )(fliiel21202)(cos) 1)(12(21)(lliPelkifl02)(cos2/1/2) 12(1llPlalkllPka)(cos2s0l1)(cos0P2)(kaf22)(kaq2021/2/723（2）一般情况）一般情况,利用

23、勒让德函数的母函数利用勒让德函数的母函数,可得可得 所以所以 llP)2/sin(21)(cos)2/sin(21)(2kaf22)2/sin(2)(kaq2021/2/7243 玻恩近似玻恩近似 如果入射粒子的动能比粒子与散射中心的相互作用势能如果入射粒子的动能比粒子与散射中心的相互作用势能大得多大得多,以致势能以致势能 可以看作是微扰时可以看作是微扰时,体系的哈密顿体系的哈密顿算符可以写成算符可以写成 式中式中 是自由粒子的哈密顿算符。从微扰角度出发是自由粒子的哈密顿算符。从微扰角度出发,粒子粒子的散射相当于在常微扰的散射相当于在常微扰 的作用下的作用下,从动量从动量 的初态跃的初态跃迁到

24、动量为迁到动量为 的末态的末态,在弹性散射情况下在弹性散射情况下,即弹性散射只改变粒子的运动方向即弹性散射只改变粒子的运动方向,不改变其动量的大小。不改变其动量的大小。 )(rUHHrUPH)(202（25） 0H)(rUkk 222kkk（26） 2021/2/725由常微扰跃迁概率公式由常微扰跃迁概率公式 式中式中 是微扰矩阵元是微扰矩阵元, 是动量大小为是动量大小为 ,在在 方向方向上立体角上立体角 内的末态的态密度。上式在数量上即表示单位内的末态的态密度。上式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角时间内跃迁到立体角 内的粒子数内的粒子数 ,由（由（3）式）式 比较后可得微分散射截面比较后

25、可得微分散射截面式中的微扰矩阵元式中的微扰矩阵元 ,入射粒子流强度入射粒子流强度 及态密度及态密度的具体表达形式取决于体系的初态与末态的具体情况。我们的具体表达形式取决于体系的初态与末态的具体情况。我们这里的初末态是具有确定动量这里的初末态是具有确定动量 和和 的自由粒子的自由粒子,设其设其波函数分别为波函数分别为)(22mHwkkkkH)(mkdddnNdqdn)(NdmHqkk)(2)(2（27） kkHN)(mkk rpipeV1rpipeV 12021/2/726式中式中 为归一化体积为归一化体积, 表示单位体积内具有确定动量表示单位体积内具有确定动量的粒子数（即状态数）的粒子数（即状

26、态数）,所以入射粒子流强度所以入射粒子流强度微扰矩阵元为微扰矩阵元为而在动量表象的波函数而在动量表象的波函数VV/1VvN （28a） derUVdrUHrppikkkk)(*)(1)(（28b） deVdrrprppipp)(*1)()()(pVpVppV333)2()2()()2(2021/2/727 可见在动量空间中具有确定动量可见在动量空间中具有确定动量 的状态数变为的状态数变为 个个,于是在于是在 范围内的状态数应为范围内的状态数应为 ,用球坐标表用球坐标表示示即沿即沿 方向的立体角方向的立体角 内的末状态密度内的末状态密度而而 , 代入上式得代入上式得 p3)2(VpdpdV3)2

27、(dpdpVdddppV2323)2(sin)2(ddpdpVdm23)2()(22pvdppdpdvdVpm32)2()(（28c） 2021/2/728将（将（28a）,（28b）,（28c）代入（）代入（27)式式,得得式中绝对值号内留有负号是因为用格林函数法算出的散射振式中绝对值号内留有负号是因为用格林函数法算出的散射振幅幅 有一负号有一负号,引进矢量引进矢量若入射波矢与散射波矢间的夹角（即散射角）为若入射波矢与散射波矢间的夹角（即散射角）为 ,则则 的数值为的数值为20)(422)(4)(derUvpqrppi20)(422)(4derUrppi（29） )(fkkK（30） K2s

28、in2)cos1 (22222kkkkkkK （31） 2021/2/729 我们取我们取 的方向为球坐标的极轴方向的方向为球坐标的极轴方向, 为方位角为方位角,则则可简化积分为可简化积分为 因而散射截面为因而散射截面为上式即为玻恩近似表达式。若势能已知上式即为玻恩近似表达式。若势能已知,计算积分后即可求计算积分后即可求出微分散射截面。出微分散射截面。 K,0020cos2sin)()(ddedrrrUderUikrrKi0)sin()(4drKrrrUK20422)sin()(4)(drKrrrUKq（32） 2021/2/730所以应用玻恩近似法计算微分散射截面时所以应用玻恩近似法计算微分散射截面时,主要难点在于给主要难点在于给出出 的具体形式后的具体形式后,如何计算积分如何计算积分 ,下面下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式)(rU0)sin()(drKrrrU02002220040022202)sin(1)sin(2)cos()(2)sin()(222222drrKrrU