悬臂三圆盘弹性转子系统的振动模态分析

1、精品文档悬臂三圆盘弹性转子系统的振动模态分析第一章绪 论1.1引言旋转机械在工业生产中是一类不可缺少的机械设备，在社会生产中发挥着巨大的作用。转子动力学的研究已经历了一百多年的发展历史过程，取得了不少重大研究成果。随着大型旋转机械的功率越来越大，工作转速越来越高，转子-轴承系统的运行稳定性问题已逐渐成为转子动力学研究的主要内容之一。旋转机械的概念含有旋转运动的零部件的机械设备称为旋转机械，几乎大多数的机械设备都属于这一类。其在工农业生产中是一类不可缺少的机械设备，在人类日常生活中也随处可见。小的旋转机械如儿童手中的电动玩具车；大型的旋转机械有发电机厂的巨型汽轮机组等。 旋转机械在社会生产中发挥

2、着巨大的作用。随着生产技术的不断发展，人们对旋转机械的速度、 效率和安全可靠性等方面的要求也越来越高。家庭用的机械设备人们要求它效率高、噪音低、体积小，工业上则要求更高的可靠性和经济性。转子的概念研究转子是旋转机械的心脏， 旋转机械的运行与转子工作状态密切相关，长期以来转子系统动力学的研究就受到各国科技工作者的普遍重视。一百多年以前， 兰金（ Rankin ）发表了一篇题为Centrifugal Whirling of Shafts的论文，从此便随意编辑精品文档标志着应用力学领域里的一门新学科转子动力学的诞生1 。其主要目的是研究旋转机械的动力学问题，尤其是旋转机械的动力稳定性。从研究方法角度

3、分，转子系统研究经历了线性分析阶段，非线性分析阶段；从研究内容上分，转子系统经过了转子系统（含单转子，多转子两部分），转子 -轴承系统，转子 -轴承 - 基础系统和转子 - 轴承 - 底座系统四个阶段。到目前为止，转子系统动力学研究已取得不少重大成绩，从百万千瓦发电机组的成功运行，到航天飞机胜利穿梭太空，无一不依赖于转子动力学研究的重大成果。1.2转子系统动力学研究的发展转子动力学是固体力学的分支。主要研究转子 - 支承系统在旋转状态下的振动、平衡和稳定性问题， 尤其是研究接近或超过临界转速运转状态下转子的横向振动问题。转子是涡轮机、电机等旋转式机械中的主要旋转部件。1869 年英国的兰金关于

4、离心力的论文和 1889 年法国的拉瓦尔关于挠性轴的试验是研究这一问题的先导 1 。随着近代工业的发展，逐渐出现了高速细长转子。由于它们常在挠性状态下工作，所以其振动和稳定性问题就越发重要。转子动力学的研究内容主要有以下5 个1 ：（ 1）临界转速。由于制造中的误差， 转子各微段的质心一般对回转轴线有微小偏离。转子旋转时， 由上述偏离造成的离心力会使转子产生横向振动。 这种振动在某些转速上显得异常强烈， 这些转速称为临界转速。 为确保机器在工作转速范围内不致发生共振，临界转速应适当偏离工作转速例如10 以上。临界转速同转子的弹性和质量分布等因素有关。对于具有有限个集中质量的离散转动系统，临界转

5、速的数目等于集中质量的个数；对于质量连续分布的弹性转动系统，随意编辑精品文档临界转速有无穷多个。 计算大型转子支承系统临界转速最常用的数值方法为传递矩阵法。其要点是：先把转子分成若干段，每段左右端4 个截面参数（挠度、挠角、弯矩、剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递矩阵。再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，籍试凑法求得各阶临界转速，并随后求得相应的振型。（ 2）通过临界转速的状态。 一般转子都是变速通过临界转速的， 故通过临界转速的状态为不平稳状态。 它主要在两个方面不同于固定在临界转速上旋转时的平稳状态：一是振幅的极大值比平稳状态的小，

6、 且转速变得愈快， 振幅的极大值愈小；二是振幅的极大值不像平稳状态那样发生在临界转速上。 在不平稳状态下，转子上作用着变频干扰力， 给分析带来困难。 求解这类问题须用数值计算或非线性振动理论中的渐近方法或用级数展开法。（ 3）动力响应。在转子的设计和运行中，常需知道在工作转速范围内， 不平衡和其他激发因素引起的振动有多大，并把它作为转子工作状态优劣的一种度量。计算这个问题多采用从临界转速算法引伸出来的算法。（ 4）动平衡。确定转子转动时转子的质心、 中心主惯性轴对旋转轴线的偏离值产生的离心力和离心力偶的位置和大小并加以消除的操作。在进行刚性转子（转速远低于临界转速的转子） 动平衡时，各微段的不

7、平衡量引起的离心惯性力系可简化到任选的两个截面上去， 在这两个面上作相应的校正 （去重或配重） 即可完成动平衡。 为找到两截面上不平衡量的方位和大小可使用动平衡机。在进行挠性转子（超临界转速工作的转子）动平衡时，主要用振型法和影响系数法。它们是转子动力学研究的重点。（ 5）转子稳定性。 转子保持无横向振动的正常运转状态的性能。若转子在运随意编辑精品文档动状态下受微扰后能恢复原态，则这一运转状态是稳定的；否则是不稳定的。 转子的不稳定通常是指不存在或不考虑周期性干扰下，转子受到微扰后产生强烈横向振动的情况。 转子稳定性问题的主要研究对象是油膜轴承。油膜对轴颈的作用力是导致轴颈乃至转子失稳的因素。

8、该作用力可用流体力学的公式求出，也可通过实验得出。一般是通过线性化方法， 将作用力表示为轴颈径向位移和径向速度的线性函数，从而求出转子开始进入不稳定状态的转速门限转速。导致失稳的还有材料的内摩擦和干摩擦，转子的弯曲刚度或质量分布在二正交方向不同，转子与内部流体或与外界流体的相互作用，等等。有些失稳现象的机理尚不清楚。大型旋转机械的功率越来越大，工作转速越来越高， 机组动力稳定性也就随着一次次灾难性事故的发生一直受到人们的重视。转子轴承系统的运行稳定性问题已逐渐成为转子动力学研究的重要内容之一。线性运动稳定性分析表明， 系统的失稳一般情况下为对应的扰动方程出现一对正实部的复数根，工程上称为颤振失

9、稳。而按非线性动力学理论， 在非线性分析考虑某些参数小的变化至临界值时，导制系统的解的数目和性质发生变化。转子系统的非线性因素对转子系统局部和全部动态特性具有重大影响，许多非线性力学现象和规律，如振幅跳跃、 分岔混沌、亚谐振动和内共振等， 严重威胁转子系统运行的安全。而对这些复杂的动力学现象，线性力学解释、解决不了，必须使用非线性动力学方法。第二章有限元技术的发展及Ansys 简介随意编辑精品文档2.1 有限元技术的发展历史及现状鉴于本次分析应用到Ansys 的辅助工具，下面就其概况进行简单的介绍。对于许多工程问题，不可能获得解析的数学解。以前，为了得到解析解，人们不得不做多到难以承受的假设和

10、简化，以至于所得结果只能适用于最简单的情况。现在，对于材料性质和边界条件复杂的问题，工程师可以依靠数值方法给出近似的，较令人满意的答案。有限元就是这样一种数值方法。从数学角度来看，有限元基本思想的提出，可以1943 年 Courant的开创性工作为标志。 他第一次尝试应用定、 义在三角行区域上的分片连续函数和最小未能原理相结合，来求解St Venant 扭转问题。但由于当时计算条件的限制，这种方法并没有受到足够重视。从应用角度来看， 有限元的第一次成功应用者是Turener 和 Clough等人。他们在分析飞机结构时，用有限元法第一次得出了平面应力问题的正确答案。但是直到1960 年， Clo

11、ugh又进一步应用有限元法处理了平面弹性问题，并提出了有限单元（Finite Element）的名称，这才使得有限元的理论和应用都得到了迅速的发展。随着有限元理论的发展及计算机软硬件技术的发展，有限元法已经可用于求解结构力学、热传导、电磁场、流体力学、声学等很多问题， 广泛应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、军工、电子、土木工程、造船、生物医学等一般工业及科学研究的模拟分析。2.2 Ansys简介随意编辑精品文档Ansys 软件是美国 Ansys 公司研制的大型通用有限元分析（FEA）软件，作为一款容结构、热、声、流体、电磁场于一体的大型通用有限元分析软件，在核工

12、业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等领域有着广泛的应用。为什么需要 Ansys ？因为随着科学技术的进一步发展，企业只有提高设计研发的能力才能跟上发展的脚步。其中在产品开发过程中， 分析过程是一项重要的工作，其分析必须经过不断地修改，以得到最佳的效果。 所以人们希望通过计算机辅助分析 (CAE)，帮助解决相关复杂问题，做出最佳设计，它是计算机和现代工程方法的完美结合！它包含了前处理、求解、后处理等模块，可完成如下功能：·建立计算模型或者输入结构、产品、组件或系统的CAD 模型·施加载荷

13、或者其它设计条件·研究模型的物理响应，比如应力水平、温度分布等·对产品进行优化设计，以降低产品的费用·做数值模拟实验Ansys 包含 100 多种单元，使用这些单元可进行以下分析类型：·结构分析·热分析·电磁分析·流体分析·声学场分析随意编辑精品文档·耦合场分析·优化设计对于转子试验台主要使用Ansys 的结构分析部分，该分析模块可进行结构静力分析、动力分析、屈曲分析、非线性分析在它的专项分析中还包括断裂分析和疲劳分析。本文对转子试验台的结构主要采用Ansys 的结构静力分析、结构动力分析及模态

14、分析，并使用APDL 实现模型的参数化。2.3基于 ANSYS 的转子临界转速计算回转体在临界转速附近运转时会出现剧烈振动，这是一种由不平衡离心惯性力引起的共振现象， 当不考虑回转效应和工作环境等因素时，回转体的临界转速在数值上与其横向自由振动的固有频率相同。很多旋转机械都工作在其阶临界转速之上，因此临界转速成为旋转机械设计中必须加以考虑的一个重要参数。运用各种解析法都可以求解转子的临界转速，然而对于一些结构复杂的转子，解析计算十分繁琐 ,而且很难计算二阶以上的临界转速，目前有限元法是一种有效求解复杂转子高阶临界转速的方法。计算临界转速时考虑的重要因素1 支座的影响地基和滑动轴承中的油膜均为弹

15、性体具有一定的刚度，形成弹性支承。 一般来说，随意编辑精品文档支座的弹性会降低回转体的临界转速,支座的刚度愈小（弹性愈大） ，这种降低临界转速的影响愈明显。2 盘状零部件的回转效应由于圆盘的角运动而引起的惯性力矩（常称为回转力矩） ，所产生的影响称为回转效应。一般回转力矩的方向是使转轴轴线的倾角减少，因而增加了轴的刚度 ，可使临界转速提高。3 系统部件的阻尼实际系统上各零部件的相互配合会形成粘性阻尼，以及各零部件在转动过程中的变形能耗，形成结构阻尼。总的来说：阻尼会降低系统的临界转速，但对于一般小阻尼情况，这项影响比较小。阻尼会使回转体在临界转速下的运动的动态变形与振幅幅减小，这项影响比较明显

16、。ANSYS 是一大型通用有限元软件， 其模态分析可用于确定设计结构或机器部件的振动特性固有频率和振型。模态分析使用传递矩阵方法计算，具有很高的效率和精度。ANSYS 计算转子临界转速可用BEAM4 、 PIPE16、COBIN14用于模拟带阻尼的弹性支撑单元通过设置单元选项来添加转子自转角速度以及回转效应，同时选取 DAMP 方法求解特征值。 DAMP 方法采用复数特征值的分析方法。ANSYS 的复数特征值分析主要用于求解具有阻尼效应的结构特征值和振型 ，分析过程与实特征值分析类似。虚部表示系统的振动频率，实部表示系统解的稳定性特性（大于零发散，小于零稳定）。采用有限元方法计算转子临界转速时

17、，转子会出现正进动和反进动。由于陀螺效应的作用， 随着转子自转角速度的提高，反进动固有频率将降低， 而正进动固有频率将提高。 根据临界转速的定随意编辑精品文档义，应只对正进动固有频率（c)进行分析。在后处理中首先剔除负固有频率，然后分析各阶模态振型，确定同一阶振型的正进动和反进动固有频率。通过循环求解确定临界转速计算APDL 参数化设计语言是ANSYS 的高级分析技术之一，它提供一种逐行解释性的编程语言工具，可以很好地用于实现参数化的有限元分析、分析批处理、专用分析。为了便于反复计算，计算采用APDL 的语句。有限元法是一种计算转子高阶临界转速的有效方法，计算结果表明弹性支撑对临界转速的振型影

18、响较大。根据有限元分析软件ANSYS 提供的参数化设计语言 APDL ，为零件进行参数化有限元分析提供了有力工具。计算结果表明，这种方法可以减少重复工作， 提高工作效率。 同样对于系列化产品， 可以借助参数化设计的思想，将参数化设计与有限元分析相结合， 实现复杂模型的结构参数简化计算。第三章转子轴承系统临界转速的计算方法转子轴承系统临界转速的计算是转子动力学研究中的一个重要课题，临界转速的验算也是转子轴承设计过程中的一项非常重要的内容。旋转机械的设计规范要求转子的工作转速有一定的隔离裕度。隔离裕度的目的首先是为了保证转子在转速有波动的情况下依然可以的稳定运转，同时也为了可以容许由于计算误差或制

19、造精度造成的计算临界转速与实际临界转速的轻微偏离。因此，一个转子轴承系统设计完成后， 需要对它的临界转速隔离裕度进行校验，如果隔离裕度随意编辑精品文档达不到标准要求， 就需要对转子或轴承的结构进行调整，然后重新进行验算， 直到满足标准要求为止。现代转子轴承系统临界转速的计算主要有传递矩阵法，有限元法，不平衡相应法以及一些其他近似方法，其中前三种方法占据着主导地位，下面对这些方法进行相关的介绍。3.1传递矩阵法1944 年年 把 H.Holzer用以解决多圆盘轴扭振问题的初参数法成功地推广到解决轴的横振动问题。从而可以用简单的计算工具，通过表格化的方式计算转子的临界转速。随着电子计算机的发展，

20、以及在振动问题的研究中采用矩阵运算，初参数法也就发展为传递矩阵法。这一方法的优点是矩阵的维数不随系统自由度的增加而增加。各阶临界转速的计算方法完全相同，而且程序简单，所需储存单元少，机时短。这就使得传递矩阵法成为解决转子动力学问题的一个快速而又有效的方法，因而得到广泛的应用。传递矩阵法的定义： 转子简化为集总质量模型后，把系统分为圆盘、 轴段和支撑等若干个典型的单元或部件， 用力学方法建立这些部件两端截面状态向量间的传递关系，再利用连续条件就可以求得转子在任意截面的状态向量与起始截面的状态向量间的关系， 通过对能满足边界条件的涡动频率进行收缩，就可以求出转子系统的各阶临界转速。下面介绍典型部件

21、的传递矩阵：对于第 i 个部件，如其左右两端截面的编号分别为i 与 i+1 ，则由截面 i 的挠度 yi,斜率i ,弯矩 M i 及剪力 Qi 所组成的列阵，称为该截面的状态向量Z i .即：随意编辑精品文档Z i =y, , M ,Q iT任一部件两端截面的状态向量总存在一定的关系，即：Z i+1 = T i Zi其中 T i 称为该部件的传递矩阵。 当状态向量有r 个元素时， T i 是 r×r 阶方阵。方阵内的元素可通过分析该部件上的力与其运动及变形的关系求得，例如：带弹性支承的刚性薄圆盘： 图 1.1 是支承在弹性支承上的刚性薄盘，圆盘左右截面的剪力及弯矩分别用Q iL、Qi

22、 R、M i L 和 M iR 表示，当转子以角速度作同步正向涡动时，圆盘的惯性力及惯性力矩分别为mi2 yi 及 Jd J p i2i 。由达朗伯原理可得：Qi RQi Lmi2i yiK j yiM i RM i LJdJ pi2RL且有：iiiyiRyi LyiRL写成矩阵形式有：Z iD i Z i其中 D i 为刚性薄圆盘的传递矩阵1000D i =01000JdJ p i210mi2K j0012无质量等截面的弹性轴段：该轴段编号为I,两端截面的编号分别为i 及 i+1（图 1.2），由力的平衡条件及变形条件知，该轴段两端截面的状态向量间的关系：Zi 1B i Z i随意编辑精品文

23、档其中即：3 圆盘与轴段组合部件： 刚性圆盘及弹性轴段可组合成图 1.3 的部件。因'RLZ iZ i ; Z iZ i故可得：'Zi 1B i Z iB i D i Z iT i Z i其中：随意编辑精品文档T i =B i D i1l 3(1)( mi2K j ) 1l 26EI2EI=l 2(mi2K j )112EIEIl (mi2K j )Jd(mi2K j )Jd2l 2l3J p i2EI(1 )6EIJ dJ p21l 2iEI2EIJ p211i001可以看出，传递矩阵中的元素与涡动频率有关。如该部件没有弹性支承，或不计剪切变形的影响，或不计圆盘的转动惯性及陀

24、螺力矩，则可分别令K j 、 Jd 及 J p 为零即可。3.2瑞利法瑞利法是根据系统自由振动时， 最大动能等于最大势能导出的计算固有频率的方法，故又称瑞利能量法。我们知道系统振动时的动能和势能分别是：.T.TXMX2TUXMX2系统作某阶主振动时，有： XA sin( t)将其代入动能和势能式，得系统作该主振动的动能和势能的最大值，分别为由能量守恒原理知 TmaxU max ，由此求出：随意编辑精品文档Rx 称为第一瑞利商。当上式中A 取为系统的第i 阶主振型时，可求出第i 阶固有频率：瑞利法计算频率时，须已知振性A(i )或振性矩阵A 。这实际上式不可能的，因此计算时只好估计振性值代入，算

25、出固有频率。由于振性值估计不准，算出的固有频率当然也有误差。 高阶振性难以估计准确， 计算出的固有频率误差就更大，故瑞利法只适宜于用来估算最低阶固有频率。可以证明， 用瑞利法算出的一阶固有频率总是比实际的偏高。瑞利能量法也可用于由柔度矩阵剪力运动方程的情况。这时有：由 TmaxU max 可求出：；其中 Rx 称为第二瑞利商。用瑞利法估算的一阶固有频率值总是偏高，偏高成都则与假定的振性有关。另有一种估算第一阶固有频率的方法叫邓克利法，是由位移方程导出的， 其式为式中：1 系统的第一阶固有频率；随意编辑精品文档1 系统中只有第i 个质量存在，其余质量没有时，系统的一阶固有频率。可以证明由邓克利法

26、算出的系统一阶固有频率总是比实际的偏低。那么同一系统如果用瑞利法和邓克利法分别计算其最低阶固有频率，就可求出其一阶固有频率所在的小范围。 或者将两法算出的一阶固有频率取其平均值就更为接近实际的一阶固有频率了。3.3李兹法工程上大多数情况需要最低几阶固有频率及主振型，李兹法就是适应此需要而产生并且是在瑞利法的基础上发展起来的。李兹法不直接假设出振性， 而将振性表示为有限个独立的横态的组合，即sAc jjj1式中：j 假设的含有 n 个元素的列阵， n 为系统的自由度数；c j 待定常数s假设的模态数，视需要而定，s 远小于 n ，但为了所得结果较准确应比需要计算的固有频率要个数大，为其2-3 倍

27、或更多。上式写成矩阵形式为：Ac式中：12 .n代入瑞利商 Rx 中可得：随意编辑精品文档TTcRxcK2TTcMc由于瑞利商求出的固有频率偏高， 所以李兹法中的待定系数就根据瑞利商最小的条件来选定。RxK (c)2M (c)为求 Rx 最小值，对待定系数cj 求偏导数并命其等于零，得：M (c) M (c)K (c) K ( c)0cjcj亦即M (c)2K (c)c j0cj而M ( c)( cTTc )c jc jK2TKcj同理可得K (c)2TccjjMTc 2 2T即：2jKjMc 0K *TM *T取jK，jM即：( K *2M *)0求出 s 个固有频率后，即可求出s 个特性值

28、向量。将它分别进行归一化，即取某一质量的 c( j )1 .再算出各阶振型，即：A( i )c( j )( j1,2,3., s)随意编辑精品文档这样计算出的固有频率与相应振型同最初假设的模态有关。它们若很接近系统的真实主振型， 则计算结果精度高； 否则就有误差。 李兹法虽可以算得较多阶固有频率和相应的主振型， 比之瑞利法前进了一步， 但因假设模态很难接近实际模态，计算结果有一定的误差， 且误差的多少是无法确知的。这也是李兹法的缺点。3.4矩阵迭代法此法也叫振型迭代法，为了克服假设模态所带来的不确知的误差这一缺点，将假设的模态经过多次迭代运算，多次修改，使之最后接近于真实模态 （振型）。这样求

29、出的固有频率和相应主振型就相对较准确。系统的主振型方程按作用力法和位移法分别求出为：2AM1AK( 12 )AMA前一个方程用来迭代计算最高的各阶固有频率和主振型。后一方程用来由最低阶向高阶迭代计算最低的几阶固有频率及主振型。现讨论后一方程用迭代法来计算固有频率和主振型问题。引入动力矩阵:DM可以得到：(12)ADA对于各阶固有频率有：随意编辑精品文档( 12 )A(i)DA(i ) (i 1,2,3,., n)先来求第一阶固有频率12 和主振型A(1)。（a） 取一经过归一化的假设振型A 0 ，前乘 D ，并将得出的新振型归一化，得： DA 01A 1式中： A 1 归一化后的新振型；1 归

30、一化后的系数。如果A1 A0 ，表示初设振型适当，因而2111 2，求出 111（b ）若 A 1A 0 。将 A 1 作为新假设的振型重复上一步骤，得到D A 12A 2（ c）如A 2A 1 ，再依同法重复上一步骤，直到 A k 1A k 为止。这时求得：211k因为最后要 A k 1A k ，假设振型基本上等于实际振型，由此求出的一阶固有频率自然较准确， 相应的主振型也已求出且精度较高。 计算结果与最初的振型 A 0 是否接近。可以证明，这样反复迭代下去， 不管最初假设的振型是什么，最后得到的总是接近一阶主振型和一阶固有频率。如果要用矩阵迭代法计算第二阶振动，则假设的振型中不能含第一阶振

31、型成分。任设一振型总是含有各阶振型分量的，要做到不含第一阶振型分量，则只有从其中减去第一阶振型分量。 如果要计算第 s 阶振动固有频率和主振型， 则在假设的振型中要减去所有前s-1 阶振型分量。所以计算高阶振动时与计算第一阶振动不同之点，只是要先将假设的振型经过消除低阶振型分量的清型过程。只能将经过清型后的假设振型按前述求一阶振动的步骤去计算。所以每次迭代计算之前随意编辑精品文档都需经过一次清型过程。设未清型前和清型后的假设振型分别为A0和 A，则s1AA 0A( j ) c jj1式中： s要计算的振动的阶序号， s>1;j已算得的较准确的振型阶序号；c j 待定常系数。因任设振型可表

32、示为喜用的主振型A( j )的线性组合，即A( j )T,并利用振型正交条件得：上式两边各前乘MA( j )Tcj A( j )TM A 0MA( j )而 A( j )TA( j )M j ,为系统第 jM阶主质量。由此可求出A( j )TcjMA 0 ( j1,2,., s 1)M js 1A( j ) c j ，即可由已知的假设振型再将 c j代入 AA 0j 1A 0 ，计算出清型后的用以进行迭代计算的振型。矩阵迭代法因为要计算到所设振型与算的振型接近为止，所以最后算的的固有频率和振型精度较高， 且能计算出多阶固有频率和相应的主振型。但只能一阶一阶的计算，算出第一阶才能算第二阶，算出第

33、一、二阶才能计算第三阶，依此类推，计算工作较繁。3.5子空间法随意编辑精品文档本法可以说是李兹法与矩阵迭代法的结合，同时用s 阶振型进行迭代求解。先假设 s 个 n 维振型j0 ( j1,2,., s) 构成一个 n×s 阶矩阵0 ，即将01 02 030 .j0作为系统前 s 阶主振型的零次近似。亦即A 00A(1) 0A(2)0A(3) 0 . A( s) 0将0 前乘动力矩阵D ，得：D10利用李兹法处理， 既对它进行正交化， 以使其各列趋于不用的主振型，又可对它进行归一化。按李兹法得K *T11M *T11KM11且将威尔提归结为s×s 阶矩阵的特性值问题：( K

34、*2 M *) c j011由 此 式 解 出s 个 特 征 值 作为 第 一 次 近似 ， 由 它 解 出s个 特 征 向 量c(1), c(2),., c(s)并归一化，再按下式求出前s阶主振型的第一次近似：111 ,A 11 c 1将 A 1 与 A 0 比较，如要求的前几阶主振型对应相等或接近，则即为所求。否则以 A 1 作为假设的新振型代替0 ，重复上述各过程，直到A k 与 A k 1 矩阵中前几列，即要求的振型对应相等或很接近为止。子空间法兼有李兹法与矩阵迭代法的优点，收敛较快，精度较高，可用于计算多自由度系统的前几阶固有频率及相应的主振型。随意编辑精品文档第四章 ANSYS转子系统模型建立4.1转子系统模型建立步骤如下1. 材料属性定义与自由网格划分弹性模量 E210109 N / m 2轴材料密度7.8103 kg / m32.支座建立首先建立一个支座然后坐标移动建立另一支座3.轴承建立将坐标移动到其始位置然后建立R=0.015m,L=0.34m的轴承4.转子建立坐标移动建立 R=0.04m的三个转子5.利用布德耳运算将整个系统全部粘贴在一起4.2 模型建立完毕结果如下：第五章振动模态分析5.1 Ansys模态分析步骤（ 1）前处理：第一步：定义单元类型；第二步：定义材料特性；弹性模量为 2.