弹塑性力学-第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答ppt课件

1、在平面问题中，有些物体的截面几何形状在平面问题中，有些物体的截面几何形状边境为圆形、扇形，对于这类形状的物边境为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标体采用极坐标 (r,(r,) ) 来解，因为此时边界来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。以及算例。 采用极坐标系则平面内任一采用极坐标系则平面内任一点的物理量为点的物理量为r,r, 函数。函数。 x yoPr 膂力：膂力：fr=Kr , f=K面力：面力： 应力：应力：r, r, , ,r r= = r

2、 rFKFKrr,应变：应变：r, r, , ,r r= = r r 位移：位移：u r , u r , u u 直角坐标与极坐标之间关系直角坐标与极坐标之间关系: : x=rcos, y=rsin rrxxrrxsincosrryyrrycossin 1.1 平衡微分方程0)(11rrrrfrrr021frrrrr 1.2 几何方程几何方程 rurrurrur1ruruurrr101)(1)(112222222rrrrrrrrrrrr1.3 1.3 变形协调方程变形协调方程 1.4 1.4 物理方程物理方程 平面应力问题：平面应力问题： )(1rrE)(1rErrE)1 (2平面应变问题将上

3、式中平面应变问题将上式中 ， ，即得。，即得。 21EE11.5 1.5 边界条件边界条件 1. 1. 位移边界条件：位移边界条件： ， （在（在 su su 上上 ） rruu uu2. 2. 力的边界条件：力的边界条件： rrrrFKsnrn),cos(),cos(FKsnrnrr),cos(),cos(（在（在 s s 上上 ）1.5 1.5 边界条件边界条件 rrrrFKsnrn),cos(),cos(FKsnrnrr),cos(),cos(环向边界环向边界 KKrnrrr,:/（r=r0r=r0） 径向边界径向边界 KKrnsnrr,: )(/（= =0 0）（在（在 s s 上上

4、）1.6 1.6 按位移法求解按位移法求解 基本未知函数为位移基本未知函数为位移u r , uu r , u ，应变、，应变、应力应力均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移表示：表示： )1(1)(122ruurruEErrrr1.6 1.6 按位移法求解按位移法求解 )1(1)(122ruruurEErrr)1()1 (2)1 (2ruruurEErrr 上式代入平衡微分方程可得到用位移表上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程示的平衡微分方程, ,即位移法的基本方程。即位移法的基本方程。0)(1rrrrKrrr021Krrrrr力的边界条

5、件也同样可以用位移表示。力的边界条件也同样可以用位移表示。 1.7 1.7 按应力法求解按应力法求解 在直角坐标系中按应力求解的基本方程为(平面应力问题） )(1 ()(002yfxffyxfyxyxyxyyxyxxyx其中其中 22222yx 在极坐标按应力求解的基本方程为在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）（平面应力问题）)1)(1 ()(021012rffrrffrrrfrrrrrrrrrrrr其中其中 22222211rrrr力的边界条件如前所列。力的边界条件如前所列。 1.8 1.8 应力函数解法应力函数解法 当体力为零当体力为零 fr=ffr=f=0=0时时, , 应力法

6、基本方程中应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数的应力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ( r, ) ) 表示表示, ,而应力函数而应力函数 ( r, ( r, ) ) 所所满足方程为满足方程为 4 ( r, ) = 0 或 0)11(222222rrrr 而极坐标系下的应力分量r ,r 由 ( r, ) 的微分求得, 即： rrrr1122222rrrrrrrr2211)1(2.1 轴对称问题的特点轴对称问题的特点 1.1.截面的几何形状为圆环、圆盘。截面的几何形状为圆环、圆盘。 2.2.受力和约束对称于中心轴受力和约束对称于中心轴, ,因此，可知体因此，可知体 积力分

7、量积力分量 f f=0 =0 ； 在边界上在边界上 r=r0 r=r0 ： ， （沿环向的受力和约束为零）（沿环向的受力和约束为零） 。 0F0u3.3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：对称的： 在在V V内内 u u=0=0，r r=0=0，r r=0,=0, ur=ur(r) ur=ur(r)， r=r=r(r), r(r), = = (r), (r), r=r=r (r), r (r), = = (r) (r) 。 各待求函数为各待求函数为r r的函数单变量的）的函数单变量的）2.2 2.2 轴对称平面问题的基本公式轴对称平面问题的基本公式1

8、. 1. 平面微分方程平面微分方程仅一个）：仅一个）： 0rrrfrrd2. 2. 几何方程二个）：几何方程二个）： drdurrrur 3.变形协调方程一个）：变形协调方程一个）：01)(1)(112222222rrrrrrrrrrrr01)(122drdrrdrdrrrrdrd)(变形协调方程变形协调方程 3.变形协调方程一个）：变形协调方程一个）：rrdrd)(变形协调方程变形协调方程 由几何方程：由几何方程： rurrrdrdurdrd)(或或 rdrdr 4.物理方程物理方程(两个两个)平面应力问题平面应力问题 )(1rrE)(1rE或或 )(12rrE)(12rE 平面应变问题时弹

9、性系数替换。平面应变问题时弹性系数替换。 5. 按位移法求解按位移法求解将将 r r、 用用ur ur 表示，并代入平衡微表示，并代入平衡微分方程，分方程， 对于平面应力问题对于平面应力问题 )(12rudrduErrr)(12drduruErr 5. 按位移法求解按位移法求解)(12rudrduErrr)(12drduruErr位移法的基本方程为：位移法的基本方程为： 0)1 (12222rrrrfErudrdurdrud0)1 ()(12rrfErudrdrdrd相应边界条件：轴对称问题边界相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0r=r0常数）常数） 位移边界条件：位移边界条件： （在（在

10、su su 上）上） rruu 力的边界条件：力的边界条件： （在（在 s s 上）上） rrF 平面应力问题的力边界条件用位移表示：平面应力问题的力边界条件用位移表示： 6. 按应力法解按应力法解当当ur ur 由基本方程和相应边界条件求出后，那由基本方程和相应边界条件求出后，那么么相应应变、应力均可求出。相应应变、应力均可求出。 rrrFrudrduE)(12（在（在 s s 上）上）平面应力问题)(1 ()(02rfdrdffrdrdrrrrrr应力法基本方程应力法基本方程 边界条件为力的边界条件：边界条件为力的边界条件： rrF（在 s 上）其中其中 drdrdrd1222 7.7.按

11、应力函数求解按应力函数求解 当无体力时应力法基本方程为：当无体力时应力法基本方程为： 0)(02rrrrdrd选取应力函数选取应力函数 = = (r) (r)单变量的函单变量的函数数应力分量与应力分量与 (r) (r)的关系：的关系： drdrr122drd0r自然满足平衡微分方程，则应力函数自然满足平衡微分方程，则应力函数 (r) (r)应应满足的基本方程为相容方程，即满足的基本方程为相容方程，即0)1()(222222drddrdrr或或 04四阶变系数的微分方程尤拉方程）四阶变系数的微分方程尤拉方程） 而而 2221dddrr dr那么那么 24211()()ddddrdrr drr d

12、rdr221()ddrrdrdr1()ddrr drdr11()0ddddrrr drdr r drdr24211()()11()0ddddrdrr drr drdrddddrrr drdr r drdr逐次积分四次可将轴对逐次积分四次可将轴对称问题的称问题的 (r) (r)基本形式得基本形式得到：到： ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D 其中其中A、B、C、D为任意常数，为任意常数，D可去掉。可去掉。 将将 (r) 代入应力分量与应力函数的关系式，代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：可得平面应力、平面应变问题应力表达式：02)ln23(2)ln2

13、1 (12222rrrCrBrAdrdCrBrAdrdr 对于圆环或圆筒，边界条件仅两个，不能对于圆环或圆筒，边界条件仅两个，不能确定三个系数。确定三个系数。 但圆环或圆筒为复连域，除但圆环或圆筒为复连域，除了边界条件满足外还要考虑位移单值条件。了边界条件满足外还要考虑位移单值条件。 x y下面将下面将ur ur 表达式导出表达式导出（平面应力问题为例）（平面应力问题为例） 将物理方程代入几何方程：将物理方程代入几何方程： )(1rrrEdrdu)(1rrEru将应力分量表达代入几何方程的第二式，得将应力分量表达代入几何方程的第二式，得 02)ln23(2)ln21 (12222rrrCrBr

14、AdrdCrBrAdrdrx y应力分量表达代入几何方程的应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得第一式并积分，得 FdrEurr)(1FCrrBrrAEur)1 (2ln)1 (21)1 (1(b) )1 (2ln)1 (23)1 (1)(CrrBrrAEErurr(a) )(1rrrEdrdu考虑位移单值性比较考虑位移单值性比较a a和和b b式：式： 4Br-F=0 B=F=0轴对称问题的应力和位移解为：轴对称问题的应力和位移解为： CrAr22CrA220r)1 (2)1 (1CrrAEur0uA、C 由两个条件确定。由两个条件确定。 q对于无体力圆盘或圆柱）对于无体力圆盘或圆柱）的

15、轴对称问题，则根据圆盘的轴对称问题，则根据圆盘（或圆柱中心应力和位移（或圆柱中心应力和位移有限值有限值, ,得得A=0 图示圆盘受力情况，得应力为图示圆盘受力情况，得应力为 r=2C= -q 2.3 2.3 轴对称问题举例轴对称问题举例 例题例题1 1 等厚圆盘在匀速等厚圆盘在匀速 转动中计转动中计算算 （按位移法解）（按位移法解）x ya Pr 知：等厚圆盘绕盘心匀速知：等厚圆盘绕盘心匀速转动单位厚角速度为转动单位厚角速度为 （常数）、圆盘密度为（常数）、圆盘密度为 ， 2.3 2.3 轴对称问题举例轴对称问题举例 圆盘匀速转动时受体力离心力作用：圆盘匀速转动时受体力离心力作用：fr=Kr=

16、2r，f=K=0 在在r = ar = a边界上边界上 （或（或 ） 0FFr0KKr符合轴对称问题平面应力问题）。符合轴对称问题平面应力问题）。 x ya Pr 位移法的基本方程：位移法的基本方程： 221(1)()0rddrurdrr drE积分两次：积分两次： 22321(1)8rCuC rrrE确定确定C1C1和和C2C2：当：当r =r =时，时，urur为有限值，为有限值，须须C2=0C2=0 x ya Pr 利用利用r = a r = a 时，时， 0)(arrrrFK，得，得 222221)3(81)121 (8)1 (aaC代回位移表达式并求应力代回位移表达式并求应力 )(1

17、2rudrduErrrx ya Pr )1 ()1 ()3(83332ararEaur)1 (8)3(2222arar222233118)3(arax ya Pr x yb ra如果圆环匀速（如果圆环匀速（）转动，）转动，则则ur ur 表达公式中的表达公式中的C2C20 0 ， C1 和和 C2 由力的边界条件定：由力的边界条件定：(rr=a=0, (rr=b=0 322218)1 (rErCrCur例题圆环或圆筒受内外压力作用。例题圆环或圆筒受内外压力作用。 知：膂力知：膂力fr=ffr=f=0=0 （或（或K K r=Kr=K=0=0），）， abqaqb力的边界条件：力的边界条件： 在

18、在r = a r = a 边境内径）：边境内径）： r= -qa，r=0 在在r = b r = b 边境外径）：边境外径）： r= -qbr= -qb，r r=0 =0 本问题仍为轴对称问题，且本问题仍为轴对称问题，且体力为零，体力为零， 可采用前述的应可采用前述的应力函数求解方程，也可按位力函数求解方程，也可按位移法求解。移法求解。 按应力函数法求解按应力函数法求解 按应力函数求解前面已导出位移分量和按应力函数求解前面已导出位移分量和应力分量表达式：应力分量表达式： )1 (2)1 (1CrrAEur0uabqaqb平面应力问题的应力：平面应力问题的应力： 利用力的边界条件，得：利用力的边

19、界条件，得： aqCaA22bqCbA 22CrAr22CrA220rabqaqb代回应力表达式：代回应力表达式： 得得 2222)(abqqbaAab22222abbqaqCbaabqaqb得得 babarqbaraqabrbqbaraqabrb222222222222222211111111 abqaqb按位移法求解：按位移法求解： 由基本方程由基本方程 0)(1rrudrdrdrd得得 rCrCur21代入应力与位移之间关系式代入应力与位移之间关系式( (平面应力问题平面应力问题) )，有，有 abqaqb讨论：讨论：(1当当 qa 0，qb = 0 仅受内压，以及仅受内压，以及qb =

20、 0、 b 时。时。利用力的边界条件导出同样结果。利用力的边界条件导出同样结果。 22122)1 ()1 (1)(1rCCErudrduErrrqaarqabrb112222 0拉）aqabrb112222 rarqabrb112222 0拉）aqabrb112222 当当b :+- r aarqra,qra2222 当 r ，应力 0（2 2当当qa = 0qa = 0，qb qb 0 0 仅受外压；仅受外压； qbbrqbara222211 0 (压) bqbara222211 0压） r例题例题3. 3. 组合圆筒。组合圆筒。 yxbca内筒：内径内筒：内径a a，外径，外径b b， 弹

21、性系数弹性系数E E、， 外筒：内径外筒：内径b b，外径，外径c c，弹性系数，弹性系数EE、。 内筒应力和位移：内筒应力和位移： CrAr22CrA220r平面应变问题平面应变问题 )21 (21CrrAEur0u yxbca外筒应力和位移：外筒应力和位移： 22CrAr22CrA0r12(12 )rAuC rEr0u yxbca 组合圆筒应力和位移表达式组合圆筒应力和位移表达式中中, ,共有四个待定系数共有四个待定系数A A、C C、AA、CC，利用四个条件定。，利用四个条件定。 如果内筒受内压如果内筒受内压 qa qa 外筒外径无面力，外筒外径无面力，则确定系数的四个条件为：则确定系数

22、的四个条件为： (rr=a= -qa , (r）r=c=0 , (rr=b= (r）r=b ，(urr=b= (ur）r=b yxbca 又如：内筒无内压又如：内筒无内压qa = 0qa = 0，外筒无外压，外筒无外压qc = qc = 0 0，但内筒外径大一点，内筒外径为，但内筒外径大一点，内筒外径为b+b+ ，外，外筒内径仍为筒内径仍为b b，过盈配合问题，过盈配合问题，边界条件如何写：边界条件如何写： (rr=a= 0 , (r）r=c=0 , ( rr=b= ( r）r=b ， )rrr br buu (或 (ur）r=b= (urr=b + yxbcaMMa r yxb 曲梁为单连域

23、，当无体力作用，且受纯弯曲作用时，从受力分析知曲梁 =c的截面上内力为M，各截面上的应力分布也相同与 无关的，因此属于轴对称应力问题。 但位移不是轴对称的，即但位移不是轴对称的，即u u 0 0 ，所，所以不能按轴对称问题的位移法求解，但可按以不能按轴对称问题的位移法求解，但可按轴对称应力应力函数解法求应力并由应轴对称应力应力函数解法求应力并由应力导出位移。力导出位移。MMa r yxb按轴对称应力函数解：按轴对称应力函数解： 应力函数应力函数 = = ( r) ( r) ( r)= ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2 Alnr+Br2lnr+Cr2 ( (已导出已导出) ) CrBr

24、Adrdrr2)ln21 (12CrBrAdrd2)ln23(2220ra r b, 0 , MMa r yxb 在主要边界上在主要边界上 r = a： (rr=a= 0，(r）r=a= 0 ,02)ln21 (2CaBaA（1） MMa r yxb 利用力的边界条件确定利用力的边界条件确定 A、B、C： CrBrAdrdrr2)ln21 (120r02)ln21 (2CaBaA r = b： (rr=b= 0，(r）r=b= 0 ， 02)ln21 (2CbBbA（1） （2） MMa r yxb 利用力的边界条件确定利用力的边界条件确定 A、B、C： 在次要边界上不清楚垂在次要边界上不清楚

25、垂直边界的面力具体分布，利直边界的面力具体分布，利用圣维南原理：用圣维南原理： 在在 = 0: = 0: 0badrMMa r yxb22ddr由于主要边界满足，则此式自然满足；由于主要边界满足，则此式自然满足； 22bbbaaadddrdrdrdr1rdr drbrarrrbaba0在在 = 0: = 0: Mdrrba2()( )bbrabaarM（ ）(3) MMa r yxb22bbaadrdrrdrdrbbaaddrdrdrdr22ddr1rdr dr由由1 1）、（）、（2 2）、）、(3)(3)求出求出A A、B B、C C。 ( )baM（ ）(3) 02)ln21 (2CaB

26、aA02)ln21 (2CbBbA（1） （2） ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2 解出解出A、B、C 224lnMbAa bNa222()MBbaN2222()2(lnln )MCbabbaaN 222222ln4)(abababN应力分量应力分量222224lnlnlnrMbra bbbaNrara 22222224lnlnlnMbra bbbabaNrara0r应力求出后，依次可求出应变和位移。应力求出后，依次可求出应变和位移。在徐芝纶在徐芝纶(4-12)(4-12)中中I I、K K、H H为刚体位移，为刚体位移， I = u0、K = v0, H = 。可利用约束确定，如令

27、可利用约束确定，如令 r0 =(a+b)/2 r0 =(a+b)/2 ， = 0 = 0 处处0ruuur可利用约束确定，如令可利用约束确定，如令 r0 =(a+b)/2 r0 =(a+b)/2 ， = 0 = 0 处处0ruuur得得 H=K =0, H=K =0, 00000)1 (2ln)1 (2)1 ()1 (1rCrBrrBrAEI 从本节和后面两节从本节和后面两节讨论一些工程中经常用讨论一些工程中经常用到的一些解，仍采用应到的一些解，仍采用应力函数解法。本节讨论力函数解法。本节讨论一个无体力的矩形薄板，一个无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔圆孔半径薄板内有一个小圆孔圆孔半径a a

28、很小），很小），薄板两个对边分别受均匀拉力薄板两个对边分别受均匀拉力q1q1和和q2q2作用，作用，由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力孔稍远处的应力称应力集中问题。称应力集中问题。 q2q1q1q2x y图图a）q2q1q1q2x y图图a）= +q=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2图图b）图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2 图图( a )受力情况，依照线弹性力学叠加原理：受力情况，依照线弹性力学叠加原理： 图图( a )( a )的解图的解图( b )( b )的解图的解图( c )( c

29、)的解。的解。 )()()(crbrar)()()(cba)()()(crbrar下面分别讨论图下面分别讨论图( b )( b )和图和图( c )( c )的解：的解： 图图( b )( b )情况情况, ,远离孔的位置远离孔的位置应力为应力为 qbybx)()(0)(bxyq=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2图图b）其中其中 q=(q1+q2)/2q=(q1+q2)/2，图，图( b )( b )解相当圆环内径无内压解相当圆环内径无内压qa= 0,qa= 0,外径受外压外径受外压qb = -qb = -q q作用情况作用情况, ,已有解，只须已有解，只须将将a/b a/b

30、 0 0 代入代入, ,得得2)()1 ()1 (21222)(qqraqrabr2)()1 ()1 (212222)(qqraqrab0)(brq=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2图图b）图图( c )( c )情况，远离孔的情况，远离孔的位置应力为位置应力为 x= - x= - y y =q , =q , xy= 0 , xy= 0 , 其中其中 q=(q1 -q2)/2q=(q1 -q2)/2，图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2通过应力转换式可得通过应力转换式可得 r =qcos2r =qcos2 , , = - = -qcos2qcos2

31、, , r r = -qsin2 = -qsin2 。 r =qcos2 , = -qcos2 , r = -qsin2 。可见可见, 图图( c )的应力不是的应力不是轴对称的结构为轴对轴对称的结构为轴对称），称）， 关键是要设应力函数关键是要设应力函数 ( r, )图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2采用半逆解法：采用半逆解法：（1 1根据应力函数与应力根据应力函数与应力 分量的关系式判断分量的关系式判断( r, ( r, ) ) 应有应有cos2cos2 项因子）。项因子）。rrrr11222在较远处在较远处 qcos2qcos2 22r在较远处在较远处 - -

32、 qcos2qcos2 图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2)1(rrr在较远处在较远处 - - qsin2qsin2 （2 2假设应力函数假设应力函数 ( r, ( r, ) ) 可以分离变量可以分离变量图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2 ( r, )=f(r)g( )=f(r)cos2 将所设将所设 ( r, ( r, ) ) 的形式的形式, , 代入代入 4 4 = = 0 0 ，得，得09922cos32223344drdfrdrfdrdrfdrdrfd ( r, )=f(r)g( )=f(r)cos2 解出解出 224)(rDCB

33、rArrf代回应力函数代回应力函数 ( r, ( r, ),),得得 2cos)(),(224rDCBrArr可求得应力分量表达式为可求得应力分量表达式为可求得应力分量表达式为可求得应力分量表达式为2cos)642(42rDrCBr2cos)6212(42rDBAr2sin)6226(422rDrCBArr应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2四个力边界条件四个力边界条件, ,即即 ( (r rr=a= 0 , (r=a= 0 , (r r）r=a= 0 ,r=a= 0 , ( (r rr=

34、b= qcos2r=b= qcos2 , , ( (r r） r = b = -r = b = -qsin2qsin2 ； 由此四各方程解得由此四各方程解得A A、B B、C C、D D。图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2)1 ()(2222babaNbqA64)(4)( 312babaNqB62)(612baNaqC44)(12baNaqD4228642)1 ()()(4)(6)(41bababababaN其中其中 当当 a/b a/b 0 0无限大板中有小无限大板中有小孔）孔）代入上述各系数表达式，得代入上述各系数表达式，得 N=1, A=0, B=-q/2,

35、C=qa2, D= -qa4/2 再代入上面图再代入上面图( c )应力表达式，应力表达式，可得应力最后表达式：可得应力最后表达式：图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/22cos)31)(1 (2222)(raraqcr2cos)31 (44)(raqc2sin)31)(1 (2222)(raraqcr图图c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2 最后图最后图( a )( a )应力由图应力由图(b )(b )应力解和图应力解和图( c )( c )应应力解相加而得。力解相加而得。 2cos)31)(1 (2)(2)()1 (2222212122)(r

36、araqqqqraar2cos)31 (2)(2)()1 (22212122)(raqqqqraa2sin)31)(1 (2)(222221)(raraqqar当当q1 = qq1 = q，q2 = 0q2 = 0代入上式，可得齐尔西代入上式，可得齐尔西解解qqx3q-q yqx y3qq-q = 0oq = 90oPa r yxb曲梁无体力作用，曲梁顶部曲梁无体力作用，曲梁顶部受集中力受集中力P P作用。作用。sin2)(baPM22r cosPQ )1(rrr 仍采用半逆解法：仍采用半逆解法：考虑曲梁截面上内力表达式，考虑曲梁截面上内力表达式，推出应力函数的函数变化。推出应力函数的函数变化

37、。在在 截面内力：截面内力： 根据应力函数与应力分量的根据应力函数与应力分量的关系式判断关系式判断 ( r, ( r, ) )应有应有sinsin 项因子）。项因子）。0)3332(sin432223344rfdrdfrdrfdrdrfdrdrfd假设应力函数假设应力函数 ( r, ( r, ) ) 可以分离变量可以分离变量, , 设为设为 ( r, ( r, )=f(r)g( )=f(r)g( )=f(r)sin)=f(r)sin 代入代入 4 4 = 0, = 0, 得得 Pa r yxb 解得解得 f(r)=Ar3 + Br +Crlnr + D/r rrrr11222sin)22(3r

38、DrCAr22rsin)26(3rDrCAr那么那么 ( r, ( r, )=(Ar3 + Br +Crlnr )=(Ar3 + Br +Crlnr + D/r+ D/rsinsin 其中其中 BrsinBrsin =By =By 可略去。可略去。 将将 ( r, ) 代入应力分量表达式代入应力分量表达式)1(rrrcos)22(3rDrCArA、C、D由力的边界条件来定。由力的边界条件来定。力的边界条件：在主要边界上力的边界条件：在主要边界上在在r = ar = a： r = 0 , r = 0 , r r = 0, = 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0 2Aa+C/a-2D/a3=

39、0 在在r = b: r = b: r = 0 , r = 0 , r r = 0, = 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0 2Ab+C/b-2D/b3= 0 Pa r yxb 在次要边界上：在次要边界上： 在在 =0 ，环向方向的面力为零，环向方向的面力为零0fK径向方向的面力的分布未给出，径向方向的面力的分布未给出，但给出面力的合力但给出面力的合力 braf drP 满足满足 Pa r yxb利用圣维南原理利用圣维南原理 Pdrbar0)(PdrrDrCArba)22(3或或 PbaabDabCabA222222ln)(由上述方程解出由上述方程解出 2Aa+C/a-2D/a3= 0 2

40、Ab+C/b-2D/b3= 0 代回应力分量表达式代回应力分量表达式 sin)(32222rbarbarNPrsin)3(32222rbarbarNPcos)(32222rbarbarNPrNPA2)(22baNPC222baNPDabbabaNln)()(2222sin)(32222rbarbarNPrsin)3(32222rbarbarNPcos)(32222rbarbarNPr留意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。留意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。应变和位移可由物理和几何方程导出。应变和位移可由物理和几何方程导出。 楔形体分别受三种不同荷载楔形体分别受三种不同荷载作用时，应力函数作用

41、时，应力函数 ( r, ( r, ) )的选取考虑：的选取考虑： （1 1采用分离变量法采用分离变量法 ( r, ( r, )=g(r)f()=g(r)f() ) ； ox y /2 /2（2） 考虑应力函数在楔形体边界上的考虑应力函数在楔形体边界上的变化规律，将变化规律，将 ( r, ) 中的中的g( r)的形的形式假设出来式假设出来;（3） 然后利用然后利用 4 = 0 求求 f( ) 的形式；的形式；（4 4利用边界条件确定利用边界条件确定f( f( ) )的表达式的的表达式的待待 定系数。定系数。 情况情况1 1 楔形体不考虑体力，楔形体不考虑体力，楔形体顶部受集中力楔形体顶部受集中力

42、P P作用。作用。 ox yP /2 /2ox yP /2 /2设应力函数设应力函数 ( r, ( r, )=g(r)f()=g(r)f( ) )且利用无体力时，应力函数且利用无体力时，应力函数 ( r, ( r, ) ) 在边界上的值及在边界上的值及偏微偏微分与边界上面力的关系式来分与边界上面力的关系式来确定确定 g(r) g(r) 的形式。的形式。BABABBABdsXyydsYxx)()(首先可设边界上始点首先可设边界上始点A A的的A = 0A = 0ox yP /2 /2A 则边界上在则边界上在OA段任意点段任意点B的的 值值为为 B = 0 任意点经过任意点经过O点点,在楔形体左侧

43、的在楔形体左侧的 值为值为 =Prsin(-/2)与与r一次式有关。一次式有关。可设可设 ( r , ( r , ) = ) = g(r)f(g(r)f( ) = r f() = r f( ) ) ( r, )的假设也可以由的假设也可以由 ( r, )与应力分量的关系及应力分量与与应力分量的关系及应力分量与集中力集中力P 之间量纲关系来设。之间量纲关系来设。 ox yP /2 /2A由由 ( r, ( r, ) = r f( ) = r f( ) ) 代入代入 4 4 = 0 = 0 ， 得：得： 0)(2122443fdfddfdr要求要求 0)(22244fdfddfd解得解得 f(f()

44、 = Acos) = Acos+Bsin+Bsin + + (Ccos(Ccos+Dsin+Dsin) ) ( r, )= A r cos + B r sin + r (Ccos +Dsin )由由 ( r, ( r, ) )可得应力分量表可得应力分量表达式达式)sincos(211222CDrrrrr0r系数系数C C、D D的确定：的确定： 可见仅靠力的边界条件不能确定可见仅靠力的边界条件不能确定所有待定系数，这是由于本问题所有待定系数，这是由于本问题的载荷是作用于一点的集中力，的载荷是作用于一点的集中力，在顶点有奇点，待定系数需靠部在顶点有奇点，待定系数需靠部分楔形体的平衡而确定。分楔形

45、体的平衡而确定。 首先应考虑边界条件来定，即首先应考虑边界条件来定，即 = = /2 /2 时，时，= = 0 , 0 , r r= 0 , = 0 , 自然满足。自然满足。ox yP /2 /2A Fx = 0: 22coscos0rrdPsincosPD Fy = 0: 22sinsin0rrdP sinsinPC ox yP /2 /2A r代回应力分量表达式代回应力分量表达式 )sinsinsinsincoscos(2rPr0r 讨论：讨论： 1. 当 = 0 ， sincos2rPr2. 当 = /2， sinsin2rProx yP /2 /2A r 3当当 = 时楔形体变为半无限体，受集中力作用：时楔形体变为半无限体，受集中力作用： 0rox y P当当 = = , , = = /2 :/2 :2sinrPr 0r2(coscossinsin )rPr ox y P2cosrPr 0r当当 = = , , = 0 := 0 : 利用应力转换公式，可得到直角坐标利用应力转换公式，可得到直角坐标中的应力分量：中的应力分量： ox yP222332cos2yx