圆锥曲线题型总结

1、 1 圆锥曲线题型圆锥曲线题型 一一曲线方程曲线方程 1 1 定义法定义法 （ 1 ） (2011(2011年 高 考 广 东 卷 第年 高 考 广 东 卷 第1919题 （ 理 ）题 （ 理 ） ) ) 设 圆C与 两 圆2222(5 )4 , (5 )4xyxy中的一个内切，另一个外切。求圆 C 的圆心轨迹 L的方程; 解： （1）两圆半径都为 2，设圆C的半径为R，两圆心为1(5, 0)F 、2( 5, 0)F， 由题意得12| 2 | 2RCFCF 或21| 2 | 2RCFCF ， 1212| 42 5 |CFCFFF， 可知圆心 C 的轨迹是以12,F F为焦点的双曲线，设方程为2

2、2221xyab，则 22224,2,5,1,1aacbcab，所以轨迹 L 的方程为2214xy 2 2 待定系数法待定系数法 （2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为4 53和2 53，过P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程 3 3 方程法方程法 2 （3 3）(2011(2011 年高考广东卷第年高考广东卷第 2121 小题（理）小题（理）) ) 在平面直角坐标系xOy中，直线:2l xx 交轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上的一点，且满足.MPOAOP 当点P在l上与动时，求点M的轨迹E的方程； 解： （1）如图 1，设 MQ

3、 为线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 Q， ,| |.MPQAOPMPlMOMP 且 因此22|2|,xyx即24(1)(1).yxx 另一种情况，见图 2（即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧） 。 MQ 为线段 OP 的垂直平分线， .MPQMOQ 又,.MPQAOPMOQAOP 因此 M 在x轴上，此时，记 M 的坐标为( ,0).x 为分析( ,0)M xx中的变化范围，设( 2, )Pa为l上任意点().aR 由| |MOMP （即22|(2)xxa）得， 2111.4xa 故( ,0)M x的轨迹方程为 0,1yx 综合和得，点 M 轨迹 E 的方程为 24(1),1,

4、0,1.xxyx 二二 离心率离心率 3 1 1 找找, ,a b c等量关系，求出等量关系，求出e 1 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等级差数列， 则该椭圆的离心率是 （ ） A 45 B 35 C 25 D 15 2 已知椭圆短轴上两个顶点分别为1B，2B，焦点为1F，2F，若四边形1122B FB F是正方形，则这个椭圆的离心率e等于（ ） A 22 B 12 C 32 D 33 2 利用椭圆焦点三角形利用椭圆焦点三角形面积面积2tan2Sb 3 若椭圆22221xyab（0ab）上存在点P，使得120PF PF ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 3 利用双曲线焦半径最小值利

5、用双曲线焦半径最小值ca 4 已知双曲线22221xyab（0,0ab）的左、右焦点分别为12(,0),( ,0).FcF c若双曲线存在点P使1221sinsinPFFaPF Fc，则双曲线的离心率的取值范围是- 三三 焦点三角形（边长与周长，角度与面积）焦点三角形（边长与周长，角度与面积） 4 方法：余弦定理，基本不等式，方法：余弦定理，基本不等式，122PFPFa 1（2013 内蒙古高三摸底考试）设双曲线2218yx 的两个焦点为1F，2F，P是双曲线上的一点，且12:3:4PFPF ，则12PFF的面积等于（ ） A 10 3 B 8 3 C 8 5 D 16 5 2（06 年四川）

6、如图把椭圆22221xyab的长轴分成 8 等分，过每个点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于127,P PP七个点。F是椭圆的一个焦点，则127PFPFPF 3（2000 全国）椭圆22194xy的焦点为12F F,，点P为其上的动点，当12FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围是 4 P是椭圆22154xy上的点，12F F,是椭圆的焦点，若12FPF6，则12PFF的面积等于 四四 双曲线的渐近线双曲线的渐近线 5 1 （2013 福建省三明市高中毕业班质检）过双曲线22221xyab（0,0ab）的左焦点 F作圆 O：222xya的两条切线，切点为 A，B，双曲线左顶点为 C，若0120ACB

7、，则双曲线的渐近线方程为 2 已知双曲线22219yxa的两条渐近线与以椭圆221259xy的左焦点为圆心、165为半径的圆相切，则渐近线方程为 五五 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 （一）（一）直线斜率问题直线斜率问题 1 12,A A是椭圆22143xy的左右顶点，动点P在椭圆上，直线2PA的斜率范围为2, 1，求直线1PA的范围 2 （2010 山东理）如图，已知椭圆)0( 12222babyax的离心率 6 为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,FF 为顶点的三角形的周长为) 12(4，一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于项点 的任一点，直线1PF和2PF

8、与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C、D. （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明：121kk； （）是否存在常数，使得CDABCDAB恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。 解： （）设椭圆的半焦距为c， 由题意知2,224( 21)2caca 所以2 2,2ac 又222abc，因此2.b 故椭圆的标准方程为22184xy 由题意设等轴双曲线的标准方程为22221(0)xymmm， 因为等轴双曲线的

9、顶点是椭圆的焦点， 所以2m 因此双曲线的标准方程为22144xy （）设112200(,), (,), (,)A x yB xyP xy 则001200,22yykkxx 因为点 P 在双曲线224xy上， 7 所以22004.xy 因此0001220001224yyyk kxxx 即121.k k （）由于 PF1的方程为1(2)yk x，将其代入椭圆方程得 2222111(21)8880kxk xk 由违达定理得221112122211888,2121kkxxx xkk 所以2211212|1()4ABkxxx x 22211122118881()42121kkkkk 212114 22

10、1kk 同理可得22221| 4 2.21kCDk 则221222122121111()|114 2kkABCDkk 又121k k 所以2222111122211121212121211123 2()()1|881114 21kkkkABCDkkkk 故3 2| |8ABCDABCD 因此，存在3 28， 使| |ABCDABCD恒成立。 （二）（二）直线与圆锥曲线相离直线与圆锥曲线相离 8 椭圆221259xy上点到直线23120 xy的最短距离 （三）（三）直线与圆锥曲线相切直线与圆锥曲线相切 (2012(2012 年高考广东卷第年高考广东卷第 2020 小题（文科）小题（文科）) )（

11、本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22122:1(0)xyCabab的左焦点为1( 1,0)F ，且点(0,1)P在1C上 （1） 求椭圆1C的方程；(2)设直线l与椭圆1C和抛物线22:4Cyx相切，求直线l的方程 解：(1):依题意：c=1,1 分 则：122ba,2 分 设椭圆方程为：112222bybx3 分 将) 1 , 0(P点坐标代入，解得：12b4 分 所以 211122 ba 故椭圆方程为：1222 yx5分 （2）设所求切线的方程为：mkxy6 分 1222yxmkxy 消除 y )22)(12(4)4(2221mkkm7 分 化简得： 0)22(4)

12、 12(222mkmxxk 9 1222km8 分 同理：联立直线方程和抛物线的方程得： xymkxy42 消除 y 得： 0)42(222mxkmxk 04)42(2222mkkm 9 分 化简得： 1km 10 分 将代入解得：01224 kk 解得：22,221( ,2122kkkk或者舍去），故 21,21mkmk时，当时，当12 分 故切线方程为：222222xyxy或者14 分 2（2012 辽宁文）已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4，2，过 P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为 A 1 B 3 C 4 D 8 3

13、（2013 辽理）如图，抛物线2212002:4 ,:20 .,Cxy Cxpy pM xyC 点在抛物线上， 1MC过作0,.12A B MOA BOx 的切线，切点为为原点 时，重合于当时，1-.2MA切线的斜率为 （I I）P求 的值； （IIII）2MCABN当在上运动时，求线段中点 的轨迹方程 ,.A BOO重合于 时 中点为 10 （四）（四）直线与圆锥曲线相交（相交弦，韦达定理）直线与圆锥曲线相交（相交弦，韦达定理） 1 设12,F F分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、 右焦点， 过1F斜率为 1 的直线i与E相交于,A B两点，且22,AFABBF成等差数列。 （

14、1）求E的离心率； （2） 设点(0, 1)p满足PAPB，求E的方程 解： （I）由椭圆定义知224AFBFABa，又222 ABAFBF， 得43ABa l的方程为yxc，其中22cab。 11 设11,A x y，22,B xy，则 A、B 两点坐标满足方程组 22221yxcxyab 化简的222222220abxa cxacb 则2222121222222,acba cxxx xabab 因为直线 AB 斜率为 1，所以AB 2211212224xxxxx x 得22244,3abaab故222ab 所以 E 的离心率2222cabeaa （II）设 AB 的中点为00,N xy，由

15、（I）知 212022223xxa cxcab ，003cyxc。 由PAPB，得1PNk ， 即0011yx 得3c ，从而3 2,3ab 故椭圆 E 的方程为221189xy。 2 （2013 年山西省山大附中高三 9 月月考）1122( ,),(,)P x yQ xy是抛物线22(0)ypx p上相异两点，Q，P 到y轴的距离的积为 4，且0OP OQ 。 （1）求抛物线的标准方程 （2）过 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R，与 x 轴的交点为 T ，且 Q 为线段 RT 的中点，试求弦 PR 长度的最小值 12 （五）（五）焦点弦焦点弦 1（2014 江西师大附中高三开学考试）抛物线

16、22(0)ypx p的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则MNAB的最大值为 13 2（2011 年江西文）已知过抛物线022ppxy的焦点，斜率为22的直线交抛物线于12,A x y22,B xy（12xx）两点，且9AB （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OBOAOC，求的值 解析： （1）直线 AB 的方程是, 05x4px2y),2(22222ppxpxy联立，从而有与 所以：4521pxx，由抛物线定义得：921pxxAB，所以 p=4， 抛物线方程为：

17、xy82 （2）、由p=4，, 05x422ppx化简得0452 xx，从而, 4, 121xx24,2221yy,从而 A:(1,22),B(4,24) 设)24 , 4()22, 1 ()(3, 3yxOC=)2422,41 (， 又3238xy， 即212228（41） ，即14) 12(2，解得2, 0或 3 若抛物线24yx的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，动点 P 在曲线24 (0)yx y 上，则PAB的面积的最小值为- 六六 定点、定值问题（两种方法：方程组或不等式，特殊情况法）定点、定值问题（两种方法：方程组或不等式，特殊情况法） 14 1（

18、2013 河北省唐山市高三年级摸底考试）已知点 M 是椭圆 C：22221xyab（0,0ab）上一点，1F，2F分别为 C 的左、右焦点，且124FF ，01260FMF，12FMF的面积为4 33。 （1）求椭圆 C 的过程； （2）设(0,2)N，过点 P（1，-2）作直线l,交椭圆 C 异于 N 的 A，B 两点，直线 NA，NB 的斜率分别为12,k k，证明：12kk为定值 2（2012 福建文）如图，等边三角形OAB的边长为8 3，且其三个顶点均在抛物线)0(2:2ppyxE上。 （I）求抛物线E的方程； （II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线1y相交于点Q。证明以PQ为

19、直径的圆恒过y轴上某定点。 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力， 考查数形结合思想、 化归与转化思想、 特殊与一般思想 满分 12 分 15 解法一： （1） 依题意|OB=38，。30Boy 设 B（x,y） ，则 x=|OBsin30。=34，y=|OBcos30。=12 因为点 B（34，12）在 x2=2py 上，所以234）（=2p*12，所以 p=2 所以抛物线 E 的方程为yx42 (2)由（1）知241xy ,y=21x. 设 P（x0,y0）,则 x00，并且 l 的方程为)x-(x x=y-y00

20、0，即004121yxxx 由14121200yxxxy，得124020yxxx 所以) 1,24(020 xxxQ 设), 0(1yM,令=0MP MQ对满足2001(0)4yxx的0 x，0y恒成立。 由于）100,(yyxMP，)y-1-241020，（xxMQ 由于OMQMP,得0y24211100020yyyyxx 即（0)y1 ()2(y01121yy （*） 由于（*）对满足)0(41y0200 xx的0y恒成立，所以02011211yyy 解得 11y 故以 PQ 为直径的预案横过 y 轴上的定点 M（0，1） 解法二 （1） 同解法一 （2） 由（1）知241xy ,y=21

21、x，设 P（x0,y0），则00 x，且 l 的直线方程为)(21000 xxxyy，即2004121xxxy 16 由14121200yxxxy得，124020yxxx，所以) 1,24(020 xxxQ 取0 x=2， 此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为2y1(22 ）x， 交 y 轴于点1M（0,1）或2M（0，-1）；取0 x=1，此时 P（1，41），Q（32，-1），以 PQ 为直径的圆为64125)83()41(22yx，交 y 轴于3M（0,1）或，4M（0，47） 故若满足条件得点 M 存在，只能是M（0,1）。 以下证明点M（0,1）就是所要求的点。 因为）1,(00yxMP，)2-24020，（xxMQ 0222222-24000020yyyxxMQMP 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M 3（2013 江苏扬州中学高三检测）已知椭圆 C：2214xy的上，下顶点分别为 A，B，点 P在椭圆上，且异于点 A，B，直线 AP，BP 与直线l：2y 分别交于点 M，N。 （1）设直线 AP，BP 的斜率分别为12,k k，求证：1 2k k为定值 （2）求线段 MN 长的最小值 （3）当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆是否经过某定点？，请证明你的结论。 七七 最值问题最值问题