数学分析三试卷及答案

1、;.数学分析 ( 三 ) 参考答案及评分标准一 .计算题（共8 题，每题 9 分，共 72 分）。1.求函数 f ( x, y)3x sin 13y sin 1 在点 (0,0)处的二次极限与二重极限 .yx解： f ( x, y)3 x sin13 y sin13 x3y，因此二重极限为 0 .(4 分)yx因为 lim 3x sin13y sin1 与 lim 3x sin13y sin1 均不存在，x 0yxy 0yx故二次极限均不存在。(9 分)2. 设 yy( x), 是由方程组z xf ( xy), 所确定的隐函数 , 其中 f 和 F 分别zz(x)F ( x, y, z)0具有

2、连续的导数和偏导数, 求 dz .dx解： 对两方程分别关于x 求偏导 :dzf (xy)xf( xdy，dxy)(1)dx(4分)FxFydyFzdz0。dxdx解此方程组并整理得dzFyf ( xy)xf ( xy)( FyFx )(9分)dxFyxf (xy)Fz.3.取 ,为新自变量及ww(,v) 为新函数，变换方程2 z2 zzz 。x2x yx设xy ,xy ,wzey（假设出现的导数皆连续） .22解： z 看成是 x, y 的复合函数如下：wxy,xy(4分)zy , w w( , ),22。e代人原方程，并将 x, y, z变换为 ,w 。整理得：2 w2 w2w 。(9分)

3、24. 要做一个容积为 1m3 的有盖圆桶 , 什么样的尺寸才能使用料最省 ?解： 设圆桶底面半径为 r , 高为 h, 则原问题即为： 求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数 :S表2 rh2 r 2 ,;.'.约束条件 :r 2 h1。r 2r 2h(3 分)构造 Lagrange 函数：F (r , h,)2rh 2(1) 。令Fr2h4 r2 rh0,(6 分)Fh2rr 20.解得 h2r ，故有 r31, h34由题意知问题的最小值必存在，当底面半2.径为 r31高为 h34时，制作圆桶用料最省。(9 分)2,y35. 设 F ( y)e x2 y dx , 计算 F

4、 ( y) .y2解：由含参积分的求导公式y3x2 yy32x2 y2x2 yx2 y (5 分)F ( y)y 2edxy 2x edx 3yex y32 yex y2yy32ydx 3y2e y72 ye y5y2 x2 e x7 y2e y75 ye51y32ydx 。(9 分)y2 e x222yyx2y22xy6. 求曲线所围的面积，其中常数 a,b, c 0 .a2b2c2解：利用坐标变换xacos ,由于 xy0 ，则图象在第一三象限，从而可y b sin .以利用对称性，只需求第一象限内的面积。,0,0abcos 。(3分 )c2 sin2则ab1(x, y)2V 2d d22

5、dc 2 sincos(6 分)( , )00ab da2b22 sincosdc20a2b2(9分)2c2.52,其中 L是圆柱面7. 计算曲线积分 3zd xxd y2y21与 平面yd zxLz y 3的交线（为一椭圆），从 z 轴的正向看去，是逆时针方向 .解： 取平面 z y 3上由曲线 L 所围的部分作为 Stokes 公式中的曲面 ，定向为上侧，则 的法向量为;.'.cos,cos,cos0,1,1。 (3 分)22由 Stokes 公式得coscoscos3zdx5xdy 2 ydzdSLxyz3z5x2 y2dS (6 分)22dxdyx2 y2 12(9 分)8.

6、计算积分, S 为椭球 x2y2z21的上半部分的下侧.yzdzdxa2b2c2S解：椭球的参数方程为 xa sin cos, ybsinsin , z c cos，其中02,02, 且( z, x)ac sin2sin。(3 分)(,)积分方向向下，取负号，因此，yzdzdx22 bac2 sin3 cossin2d(6 分)0d0bac22d2 sincosd0sin 2304abc2(9 分)二 . 证明题（共3 题，共 28 分）。9. （9 分）讨论函数 f (x)xy3,x2y20x2y4在原点 (0,0) 处的连续性、0,x2y20可偏导性和可微性 .解：连续性：当 x2y20

7、时，xy2x2y4yy，当 x, y0,0 ，f ( x)x2y4 yx2y4 220从而函数在原点 0,0处连续。(3 分)可偏导性： f x 0,0limf0x,0f0,00，0xxfy0,0limf0,0yf0,00 ，yy0;.'.即函数在原点0,0 处可偏导。(5分 )ffx x f y yx y31不存在，可微性： limx2y2limyx2x2y2 0x2 y2 0 x24y2从而函数在原点 0,0处不可微。(9分 )10. （ 9 分） （9 分） 设 F x, y 满足：（1）在 Dx, yx x0a,y y0b 上连续，（2） F x0 , y00 ，（3）当 x

8、固定时，函数 Fx, y是 y 的严格单减函数。试证：存在0，使得在xxx0上通过 F x, y0 定义了一个函数 yy( x) ，且 yy( x) 在上连续。证明：（i ）先证隐函数的存在性。由条件（ 3）知，F x0 , y在y0b, y0b上是y的严格单减函数，而由条件（2）知 F x0 , y00 ，从而由函数 Fx0 , y 的连续性得F x0 , y0b 0 ， F x0 , y0b 0 。现考虑一元连续函数 F x, y0b 。由于 Fx0 , y0b 0 ，则必存在 1 0 使得F x, y0b 0 ， x O ( x0 , 1) 。同理，则必存在20 使得F x, y0b 0

9、 ， x O ( x0 , 2 ) 。取min( 1, 2 ) ，则在邻域 O (x0 , ) 内同时成立Fx, y0b0 ，F x, y0b0 。 (3 分 )于是，对邻域 O( x0 ,) 内的任意一点 x ，都成立Fx, y0b0 ，Fx, y0b0。固定此 x ，考虑一元连续函数Fx, y 。由上式和函数 Fx, y 关于 y 的连续性可知，存在 Fx, y 的零点 yy0b, y0b 使得F x, y 0。而 F x, y 关于 y 严格单减，从而使 F x, y 0 的 y 是唯一的。再由 x 的任意性，证明了对:O ( x0 ,) 内任意一点，总能从Fx, y0 找到唯一确定的y

10、 与 x 相对应，即存在函数关系f :xy 或 yf ( x) 。此证明了隐函数的存在性。 (6 分 )（ ii ）下证隐函数 yf ( x) 的连续性。设 x* 是:O ( x0 ,) 内的任意一点，记y* :fx*。对任意给定的0 ，作两平行线yy*，yy*。由上述证明知;.'.F x* , y*0 ， F x* , y*0 。由 F x, y的连续性，必存在 x* 的邻域 O (x* , ) 使得F x, y*0 ， F x, y*0，x O (x* , ) 。对任意的 xO (x* ,) ，固定此 x 并考虑 y 的函数 F x, y，它关于 y 严格单减且F x, y*0 ，

11、 F x, y*0 。于是在 y*, y*内存在唯一的一个零点y 使F x, y0 ，即 对任意的 xO (x* , ) ，它对应的函数值 y 满足 yy*。这证明了函数y f ( x) 是连续的。(9 分)111dx 在 02 上是否一致收敛，并给出证明。11. （ 10 分）判断积分xsin0x证明：此积分在 02 上非一致收敛。证明如下：作变量替换 x1 ，则t11sin11sin tdt 。(3 分)0 xdxt 2x1不论正整数 n 多么大，当 tA , A2n,2n3时，恒有44sin t2 。(5 分)2因此，A1sintdt2A1dt(7 分)At 22At 2214t2At2

12、22时。20 ，当42n344因此原积分在 02 上非一致收敛。(10 分)注：不能用 Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：尽管对任意的 B1 积分Bsin tdt 一致有界，且函数1关于 x 单调，但是当1t221x时，关于0,2并非一致趋于零。事实上，取t n, 相应地取1t1112，则 limlim1 0 ，并非趋于零。nt211tnn nlim nnn 数学分析 3模拟试题;.'.一、解答下列各题（每小题5 分，共 40 分）1 、 设 zln(xy), 求xzyzxy ；uzsiny ,x3s22t, y4s2t 3 , z 2s23t 2 ,u ,u2

13、 、x求 stuexsin(x2u1),x( 2,3 、设y求y 在点处的值；4 、求由方程 xyzx2y2z22 所确定的函数 zz( x, y) 在点 (1,0,1)处的全微分 dz；5 、求函数 uln( x 2y2z2 ) 在点 M (1,2, 2) 处的梯度 gradu(1,2,2) ；6 、求曲面 zez2xy3 在点（ 1 ，2 ，0）处的切平面和法线方程；e xe 2 x7 、计算积分：0xdx；8 、计算积分：I1dx1ey2dy0x；x 2y2z21二、 (10 分 )求内接于椭球a 2b2c2的最大长方体的体积， 长方体的各个面平行于坐标面。三、（ 10 分 ） 若 D

14、是 由 xy1和两坐标轴围成的三角形区域，且1( x)dxf ( x)dxdy( x).D0，求yarctgd, 其 中 D 是 由 圆 周 x2y24, x2y2四、（ 10 分）计算 Dx1 及y0 y x 所围成的在第一象限内的闭区域.ILex (1cosy)dx( y sin y)dy五、（ 10分）计算，其中 L为0x，0 y sin x 的全部边界曲线，取逆时针方向。I( xy z)dS六、（10分）计算，其中是半球面x 2y2z2a 2 , z0(a0) 。sin(xy)dx在 y(,) 内的一致收敛性。七、（ 10 分）讨论含参变量反常积分4x 2;.'.参考答案一、解

15、答下列各题（每小题5 分，共 40分）1 、 设 zxzyzln(xy), 求xy ；z111;z111xxy2xyxy 2y解：；x zy z1x1y1xxyxy2y22。uzsin y ,x3s22t, y4s2t 3 , z 2s22 、xuuxuyuz解： sxsyszsz cos yy6szcos y14sin y 4sxx2xxx6 yzscos y4z cosy4ssin yx 2xxxxuuxu yuztxtytztzcos yy2z cos y1(6t 2 )sin y ( 6t )xx 2xxx2 yz2 cos y6t2 z cos y6t sin yxxxxxuexsi

16、n(x),2u1)yx( 2,3 、设求y 在点处的值；ux2 ex cos(x )解：yyy2 ue x( x1) cos(xxxx yy2)sin( )yyy2 u12e2x y ( 2, )。4 、求由方程 xyzx2y2z22 所确定的函数 z处的全微分 dz；解：在原方程的两边求微分，可得3t 2 ,u , u求 s t ；z( x, y) 在点 (1,0, 1);.'.yzdxxzdyxydzxdxydyzdz0x 2y2z2将 x1, y0, z1 代入上式，化简后得到dzdx2dy5、求函数 uln( x 2y2z2 ) 在点 M (1,2,2) 处的梯度 gradu(

17、1,2,2) ；graduu ,u ,u解：xyz2x2 ,2 y,2zx22zx2y2z22y2z2yxgradu(1,2,2)221,2,9。6、求曲面 zez2 xy3在点（ 1 ， 2， 0）处的切平面和法线方程；解：记 F ( x, y, z)zez2 xy3,n(2 y,2 x,1ez )( 4,2,0)在点（ 1 ，2 ，0 ）处的法向量为：(1,2,0)则切平面方程为：4( x1)2( y2)0, 即 2xy4 0x 1 y 2 z 0x 2y 3 0法线方程为：420，即z0。exe2 x7、计算积分：0xdx；e xe解：xe0而 f ( x, y)2 x2xydye1xe

18、2 x2e xy dydxxdx01exy在0, )1,2上连续， 且 0e xydx在 1 ，2 上一致收敛， 则可交换积分次序，于是有2exydx2 1ln 2dydy原式101 y。8、计算积分：I1dx1e y 2dy；0x解：交换积分顺序得：I1 e y 2 dyy dx1 ye y2 dy1 (1 e 1 ).0002x 2y2z21八、求内接于椭球a 2b2c2的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐;.'.标面。解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为（x,y,z ），则长方体的体积为：V8 xyzLxyzx2y2z21a2b2c2拉格朗日函数为yz2 x0(1)a 2ax

19、z2 y0( 2)xb23xy2z0( 3)bc2yx 2y23z21( 4)c由 a 2b2c2z解得：3a , b , c根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为3 3 3Vmax8abc.时体积最大。33九、若D 是 由xy1和两坐标轴围成的三角形区域，且f ( x)dxdy1( x)dx0( x).D，求f ( x)dxdy11x1(1 x) f ( x)dx0dxf ( x)dy00解：D( x)(1x) f ( x).arctg y d, 其中 D 是由圆周 x 2y24, x2y2十、计算Dx1 及 y 0 yx 所围成的在第一象限内的闭区域.D(r ,) 0

20、4,1 r 2解：y4d2rdr23204darctg d011rdrDx64 。十一、ILex (1cosy)dx( ysin y)dy， 其 中 L 为 0 x，计 算0 y sin x 的全部边界曲线，取逆时针方向。QPyex解：由格林公式：xy;.'I所以;.yex dxdyex dxsin xydy00D1e x sin2 xdx1 (1e).2 05I( xyz)dS十二、计算，其中是半球面x 2y2z2a 2 , z0(a0) 。I( xy x)1zx2zy2 dxdy解：D :x 2y2 a2( xya 2x2y2 )a 2ay2dxdya 3 .Dx 2sin(xy)

21、dx在 y( , ) 内的一致收敛性。十三、讨论含参变量反常积分4x 2sin(xy)11dx解：4 x 24x 2，而4x 22 收敛，sin(xy)dx) 内的一致收敛。所以由 M 判别法知，4 x 2在 y(,;.'. 数学分析 3模拟试题十四、 解答下列各题（每小题5 分，共 40分）1 、设 z x y ( x 0, xx z1 z1) ，求 y xln x y ；zz、 zu2vv2 u,y ；2ux cosy, vx sin y，求 x2 z3 、设 zx ln( xy) ，求xy ；4、设 z 是方程 xy zez 所确定的 x 与 y 的函数，求 dz ；5、求函数

22、zxe 2 y 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q(2,1) 的方向导数；6、已知曲面 z4x2y2上点 P 处的切平面平行于平面2x 2 y z 1，求P 点的坐标。e 2 xe 3 x7、计算积分：0x11x2I0 dyy e8、计算积分：dx;dx；x 2y2z,二、 (10分 )原点到曲线xyz1 的最大距离和最小距离。f ( x 2y2z2 )dxdydzR( x)dx三、（10分）已知0， 其中为球体 ：x 2y2z2R2，求( x).(2 x y) 2 dxdy四、（ 10分）计算 D，其中 D 是由圆周 x 2y21所围成的区域。五、（ 10Ixy 2 dyx 2 ydx2y21，取