数学分析试题库--计算题解答题--答案

1、数学分析题库（1-22 章）四计算题、解答题求下列极限解： . lim n24lim ( n2)(n2)lim (n2)nn 2nn2n lim(1111)n1 223n(n1)lim(1111111)n1223nn1lim(11)1nn1 lim ex1limex11x 0 cos xx0 cos x1. 这是 0 型，而0(111 ln(1x)x) x ex1111(1x) x ln(1x)x 2x1x(1x)1xx(1x) ln(1x)x2 (1x)故原极限 lim(1x)1xx(12x)ln(1x)x0x (1x)e lim1ln(1x)12x3x2x0e lim1126 xx1x05

2、lim n31lim (n1)( n2n1)lim (n 2n1) 3n 1 n1n1(n1)n16 lim(1112 )nnnn12n2n (n 1)lim(1) n 1n2nnn1因 lim n(n21)1 ，limn 2nnnn1故原极限 e1e .7用洛必达法则lim 12sin xlim2 cos x3xcos3xx63sin 3x368.11)ex1xlim(exlim1)x0 x1x0 x(exlimex1limex1ex12ex2x 0 xexx 0 xex9.lim tan xx ;x0 xsin x解法 1：limtan xxlimsec2 x1xsin x1cos xx0

3、x 0lim1cos2 xcos x）x0 cos2 （x1lim 1cosxx 0 cos2 x2解法 2：lim tan x xlim sec2 x 1x 0 x sin xx01 cosxlim 2sec2 x tan xx0sin xlim2cos3 xx02110 lim(sin 2xcos x) xx0解sin 2xcos x 12cos 2 x sin x2 ，（3 分）因 limxlim1x 0x 0故1sin 2 x cos x 1= e2原式lim(1 sin 2xcos x1)sin 2 x cosx 1xx 0求下列函数的导数11.yex cosx12.yln(ln x

4、)13.yxsin x14.求 ysin x 的各阶导数 .解 11yex cosxex sin x12111yxx ln xln x13y(esin xln x )xsin x (cos x ln xsin x)x14 .y cos xsin( x)2ysin xsin( x2)2ycosxsin(x3)2y( n )sin(xn2)yexxxx15esin 22cos216y1ln x(sin x1)cos xx17yesin xln(cos x) (cos x) sin x (cos x ln(cosx)tan x)18y (n )sin( x(n1),(n1,2,) .21x12 x1

5、19tanxx23secxln 3；20. 求下列函数的高阶微分：设u(x)ln x, v(x)ex ，求 d 3 (uv ), d 3 ( u )v解因为d 3 (uv)122x1x1xxdx3u v C 3u v C 3 u v uvx3e3x 2e3xeln x e233x( x3x2xln x)e所以d3(uv)d3 (uv)dx3x233ln x)dx3dx3e (x3x2xd 3udx3 ()vx2e(3d 3dx 3 (ln x3 3x 2 xex)2x31x) 31exln x ( ex)x3 e2 ( exxln x)d3(uex(233ln x)dx3所以)x3x2xv21

6、. y(arctanx 3 ) 2 ;解：y2arctan x3 (arctanx3 )26xarctanx31x622. y xxx ;解：令 yxx , ln yx ln x11两边对两边对x 求导有y1ln x 1, (xx )xx ln x xxy1ln yxx ln x两边对 x 求导有 y( xx ln x)y(x x ) ln xxx (ln x)(x x ln xxx )ln xx x 1yxxx ( xx ln xxx )ln x xx 1 )x xx x x (ln 2 xln xx 1)xtcost ,223. 求由参量方程edy:et所确定的函数的二阶导数ysin t

7、;dx2xetcost,解法 1：etysin t ;由含参量方程的求导法则有dyet costet sin tcostsin tdxet costet sin tcostsin t求 d2ydycostsin t,dxcostsin t即求参量方程的导数dx2xte cost;dy(cost sin t)2(costsin t)2d2 yd ( dx)(costsin t )22dx2dxet (costsint )et (cost sin t )3xet cost,解法 2：yet sin t ;由含参量方程的求导法则有dyetcostetsin tcostsin t)dxetcostet

8、sin tcosttan(tsin t4求 d 2 y 即求参量方程 dx2dy),tan(tdx4 的导数x et cost;2d ( dy)sec2 (t)2 e tdydx4sec3 (t4)dx2dxt)22e cos(t424设 yx3ex ,试求 y(6).解 基本初等函数导数公式，有(x3 )3x2 ,(x3 )6x,( x3 ) 6,(x3 ) (k ) =0, k4,5,6,(e x) (k)ex, k1,2,6 ,应用莱布尼兹公式（n6 ）得y(6)x3ex6 3x2ex15 6xex20 6ex( x318x290x 120)ex .25试求由摆线方程xa(tsin t)

9、,所确定的函数 yf ( x) 的二阶导数 .ya(1cost )解dy( a(1cost )sin tcottdx(a(tsin t ) 1cost,22cot t1 csc2 t14 td y222dx2(a(tsin t )a(1cost)4acsc .226 . 求 f ( x)ln(1x2 ) 到 x6 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式 .解 因为ln(1x)xx2x332o( x ) ,3所以 f (x)ln(1x2 ) 到 x6 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为ln(12)x2 x4x66) .x23o( x27x( ,2)yyf (x)递减，凹28 解（1） lim f (x

10、)x0(2,( 1,0)(0,)1)不存在极小值递增，凹极大值递减，凹递增，凹limxm sin 10f (0) ，故对任意正整数m， f 在 x0连续 .x 0xx m sin100m1（ 2） f(0)lim f ( x)f (0)limxlim x m 1 sin 1x不存在m，x 0x0x 0x0x1故当 m1时， f 在 x 0可导 .（ 3）先计算 f 的导函数 .x00 ，xm sin 1x0m sin 1x m sin 1x0m sin 1x0m sin 1x0m sin 1f( x0 ) limxx0limxxxx0xx0xx0xx0x x0( xmx0m ) sin 1x0

11、m (sin 1sin 1 )limxxx0x x0xx0x0m 1 ) sin 1x0m 2 cos xx0 sinx0xlim (x m 1x m 2 x0lim2xx02xx0x x0xxx0xx0mx0m 1 sin 1x0m cos 11mx0m 1 sin 1x0m2 cos 1x0x0x02x0x0lim f(x) lim ( mxm 1 sin 1x m 2 cos 1)lim x m 2 (mxsin 1cos 1 )0m2x 0x 0xxx0xx不存在m2由（ 2）知， f (0)0 ，于是当 m2 时，有 limf ( x)0f( 0) ，所以当 m2 时， fx0在 x

12、 0连续 .29 解因为 f(x)2x,g (x)3x 2 ，故当 x0时， f(0)0, g (0)0 ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间-1, 1上不能用柯西中值定理 .30 证明（1）对任何 x0 ，有 f (x)x4 sin 2 10f (0) ，故 x0是极小值点 .（ 2）当 x0 时，有xf( x) 4x3 sin 212x 2 sin 1 cos 12x2 sin 1 (2x sin 1cos 1) ，作数列xxxxxxxn1， yn1，则 xn0， yn0 . 即在 x0 的任何右邻域2n22n4U 0(0)内，既有数列 xn 中的点，也有数列 yn 中的点 . 并且 f

13、( xn )0 ， f ( yn )0 ，所以在 U 0 (0) 内 f 的符号是变化的，从而f不满足极值的第一充分条件. 又因为x4 sin 2102x 2 sin 1 (2x sin 1cos 1 )0f (0)limxx0 ， f(0)limxxxx0，所以x 0x0用极值的第二充分条件也不能确定f的极值 .31答：能推出 f 在 (a, b) 内连续 . 证明如下：x0( a, b) ，取1 minx0a, bx0 ，2于是 x0 a, b ，由题设， f在 a, b 上连续，从而在x0连续 . 由 x0 的任意性知， f 在 (a, b) 内连续 .32. 试求函数 y | 2 x3

14、9x2 12x |在 1, 3 上的最值和极值 .解y | 2x39x212x | x(2 x29x 12) |x(2 x29x12), 1 x 0,x(2x2 9 x 12), 0 x 3,在闭区间 1,3 上连续 ,故必存在最大最小值 .y6x218x12,6x218x126(x1)(x 2),1x0,6(x1)(x2),0x3,令 y 0, 得稳定点为 x1, 2.又因 f (0)12, f(0)12,故 y 在 x0 处不可导 .列表如下x 1,0)0(0,1)1(1,2)2(2,3f( x)不存在00极小值极大值极小值f ( x)递减f (0)0递增f (1)递减f (2)递增54所

15、以 x0 和 x 2 为极小值点, 极小值分别为f (0)0 和 f (2)4 , x 1 为极大值点, 极大值为 f (1) 5 .又在端点处有f ( 1)23 , f (3)9 , 所以函数在x0 处取最小值0 , 在 x1处取最大值 23.33. 求函数554531在xx 1,2y x上的最大最小值：解：令 yf ( x)y5x420 x315x25x2 ( x24x3)5x2 ( x 1)(x 3)令 y 0解得函数在 1,2 的稳定点为 x10, x2 1 ,而 f ( 1)10, f (0)1, f (1)2, f (2)7 ，所以函数在 1,2 的最大值和最小值分别为f max

16、(1)2, f min (1) 10.34.确定函数23323625的凸性区间与拐点 :yxxx解：令 yf ( x)y6x26x36,y12 x6,y12 x60, 解得 x1，2当 x(, 1 ) 时， y0，从而区间 (, 1 ) 为函数的凹区间 ,22当 x( 1 ,) 时， y0 ，从而区间 (1 ,) 为函数的凸区间 .22并且 f ( 1 )0, f(1 )13，所以 (1, 13) 为曲线的拐点 .222221n35. 设 an1(n1,2,), 则 a是有理数列 .nn点集 ann1,2,非空有界 , 但在有理数集内无上确界 .数列 an递增有上界 ,但在有理数集内无极限 .

17、1n36. 设 an1(n1,2,), 则 a是有理数列 .nn点集 ann1,2,有界无限 , 但在有理数集内无不存在聚点 .数列 an满足柯西准则 , 但在有理数集内不存在极限 .37. 不能从 H 中选出有限个开区间覆盖0,1 . 因为 H 中任意有限个开区间, 设其中左端点2最小的为1,则当0x1时 , 这有限个开区间不能覆盖x .NN3238.29.du6 ux6x5dx6x2x 11dxu3 ux3x2x 16x3x2xln x1C322u33 u6 6 u6ln 6 u1C.39. 令 xa sin t, t, 则2a2x2dxa costda sin ta22a21cos 2t

18、dtcos tdt2a2112x222t2 sin 2tC2aarcsin axaxC.40.31.xarctan xdxarctanxdx21x21 arctanx1x21 d arctanx222x21 arctanx1x21 dxx21 arctanx1 xC.221x22241.232.2x3dx1x211dxln x142dx1xx1x2x231ln x11arcsin 2x1C.3342. 令 tx2 ,则有x2 t 21, dx8tdt,x 2t 21t 2 1 21x2 dx4t 2dt22dtx x 21 t 21 t 21 t 21 t 2ln 1t2arctantC1x2

19、x22arctanx2C.lnx2x21t1x2x1t 2243.令 ttan 2 , 则有 cos x1t 2 , dx1t 2dt ,5dx1dt11d (2t)1 arctan2tC1 arctan2 tan xC. .3cos x4t22(2 t)222244.eln x dx1ln xdxex ln x1xln xxe11ln xdxx 11ee1e11111145.0 ex dx xt0 et dt22 0 tdet2 tet00 et dt2 eet02(1e 1 ) .2 .111121xdx1dx1 x2146.arcsin xdxx arcsin x 02101 x2212

20、20200x.111n1147. J lim nlim.其中和式是函数n21n2222n22nni 1in1n1f ( x)1x2x48. F ( x)a在 0,11dx1.上的一个积分和 , 所以 Jx2arctan x 00 14()()xx( )( ) . 于是f txt dt xf t dttf t dtaaxxF(x)( )dt xf()xf()( ) ,()f( )f txxf t dt Fxx.aa49. 以平面 xx0 ( x0a)截椭球面 , 得一椭圆y2x02z2x021 . 所以截面积22b1a2c1a2函数为x2ax24bc 1, x a, a . 于是椭球面的体积 Vbc 1dxabc .a2aa2350. 化椭圆为参数方程 :xacost ,y bsin t , t0,2 . 于是椭圆所围的面积为A2b sin ta costdtab2sin 2 tdtab .0051