Lingo经济与金融中的优化问题ppt课件

1、 优优 化化 建建 模模优化建模与优化建模与LINDO/LINGO软件软件第第6章经济与金融中的优化章经济与金融中的优化问题问题 优优 化化 建建 模模内容提要内容提要1. 经济平衡问题及其运用经济平衡问题及其运用2. 投资组合问题投资组合问题3. 市场营销问题市场营销问题 优优 化化 建建 模模1. 经济平衡问题及其运用经济平衡问题及其运用 优优 化化 建建 模模单一消费商、单一消费者的情形单一消费商、单一消费者的情形 例例6.1: 市场清算价钱市场清算价钱 市场上有一个消费商甲和一个消费者乙。对某市场上有一个消费商甲和一个消费者乙。对某种产品，他们在不同价钱下的供应才干和需求才干为种产品，

2、他们在不同价钱下的供应才干和需求才干为: :消费商甲消费商甲消费者乙消费者乙单价万元单价万元/ /吨吨供应才干吨供应才干吨单价元单价元/ /吨吨 需求才干吨需求才干吨1 12 29 92 22 24 44.54.54 43 36 63 36 64 48 82.252.258 8市场的清算价钱应该是多少市场的清算价钱应该是多少? 优优 化化 建建 模模甲以甲以1 1、2 2、3 3、4 4万元的单价售出的产品数万元的单价售出的产品数量分别是量分别是A1 A1 ，A A， A A， A A 吨吨供需平衡：供需平衡： A1+AA1+A+ A+ A+ A+ A= = x1+x2+x3+x4 x1+x2

3、+x3+x4 供应限制：供应限制： A1 A1 ，A A， A A， A A 2 2决策变量决策变量 目的函数目的函数 约束条件约束条件建立线性规划模型建立线性规划模型(LP)乙以乙以9 9、4.54.5、3 3、2.252.25万元的单价购买的万元的单价购买的产品数量分别是产品数量分别是x1x1，x2x2，x3x3，x4x4吨吨 非负限制：非负限制： A1,A A1,A, A, A, A, A, , x1,x2,x3,x4 0 x1,x2,x3,x4 0消费限制：消费限制： x1 x1，x2x2，x3x3，x4 2x4 29x1+4.5x2+3x3+2.5x4 -A1-2A9x1+4.5x2

4、+3x3+2.5x4 -A1-2A-3A-3A- -4 A4 A 优优 化化 建建 模模模型求解模型求解 用用LINDO求解，最优解求解，最优解:A1=A2=x1=x2=2, A3=A4=x3=x4=0 思索思索: :供需平衡约束的对偶价钱含义供需平衡约束的对偶价钱含义 假设右端项添加一个很小的量，引起的经销商的假设右端项添加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的损失就是这个小量的3倍。倍。清算价钱清算价钱: 3万元万元供需平衡约束目前的右端项为供需平衡约束目前的右端项为0 0，影子价钱为，影子价钱为-3-3。 结果解释结果解释 优优 化化 建建 模模模型扩展模型扩展 假设甲的供应才干

5、随价钱的变化情况分为假设甲的供应才干随价钱的变化情况分为K段，即价钱段，即价钱位于区间位于区间pk , pk+1)时，供应量最多为时，供应量最多为ck (k=1,2,K; 0 p1 p2 pK+1 =; 0 =c0 c1 c2 qLqL+1 =0; 0=d0 d1 d2 dL) ，我们把这，我们把这个函数关系称为需求函数这里它也是一个阶梯函数个函数关系称为需求函数这里它也是一个阶梯函数 优优 化化 建建 模模建立线性规建立线性规划模型划模型(LP)设甲以pk的价钱售出的产品数量为Ak (k=1,2,K)，乙以qk的价钱购入的产品数量为Xk ( (k=1,2,L。记c0 = d0 =0 ,.,M

6、,kddX ,.,L,kccAXAtsApXq kkkkkkLkkKkkKkkLkkk210 210 0 . . Max111111 优优 化化 建建 模模两个消费商、两个消费者的情形两个消费商、两个消费者的情形 例例6.2: 市场清算价钱市场清算价钱 市场上有两个消费商甲和丙和两个消费者乙和市场上有两个消费商甲和丙和两个消费者乙和丁。他们在不同价钱下的供应才干和需求才干为丁。他们在不同价钱下的供应才干和需求才干为: :消费商甲消费商甲消费商丙消费商丙消费者乙消费者乙消费者丁消费者丁单价单价万元万元/ /吨吨供应才供应才干吨干吨单价单价万元万元/ /吨吨供应才供应才干吨干吨单价单价元元/ /吨

7、吨需求才需求才干吨干吨单价单价元元/ /吨吨需求才需求才干吨干吨1 12 22 21 19 92 215151 12 24 44 44 44.54.54 48 83 33 36 66 68 83 36 656 64 48 88 812122.252.258 83 31010 优优 化化 建建 模模甲销售到丁的运输本钱是甲销售到丁的运输本钱是1.51.5万元万元/ /吨吨丙销售到乙的运输本钱是丙销售到乙的运输本钱是2 2万元万元/ /吨吨甲、乙之间，丙、丁之间没有运输本钱甲、乙之间，丙、丁之间没有运输本钱 市场的清算价钱应该是多少？市场的清算价钱应该是多少？ 甲和丙分别消费多少？甲和丙分别消费多

8、少？ 乙和丁分别购买多少？乙和丁分别购买多少？ 目的目的 关键是思索这些运输本钱关键是思索这些运输本钱 以为甲乙是一个市场地域或国家，而丙丁是另一以为甲乙是一个市场地域或国家，而丙丁是另一个市场地域或国家。关税本钱的存在，两个市场个市场地域或国家。关税本钱的存在，两个市场的清算价能够是不同的清算价能够是不同 的的 。问题问题分析分析 优优 化化 建建 模模甲以甲以1 1、2 2、3 3、4 4万元的单价售出的产品数万元的单价售出的产品数量分别是量分别是A1 A1 ，A A， A A， A A 吨吨决策决策变量变量 目的目的函数函数 乙以乙以9 9、4.54.5、3 3、2.252.25万元的单

9、价购买的万元的单价购买的产品数量分别是产品数量分别是x1x1，x2x2，x3x3，x4x4吨吨 9x1+4.5x2+3x3+2.5x4+15y1+8y2+5y39x1+4.5x2+3x3+2.5x4+15y1+8y2+5y3+3y4 -2BX-1.5AY- A1-2A+3y4 -2BX-1.5AY- A1-2A-3A-3A-4 -4 A A-2B1-4B-2B1-4B-6B-6B-8B-8B丙以丙以2 2、4 4、6 6、8 8万元的单价售出的产品数万元的单价售出的产品数量分别是量分别是B 1 B 1 ，B B ， B B ， B B 吨吨丁以丁以1515、8 8、5 5、3 3万元的单价购买

10、的产品数万元的单价购买的产品数量分别是量分别是y1y1，y2y2，y3y3，y4y4吨吨 虚拟经销商的虚拟经销商的总利润最大总利润最大建建立立线线性性规规划划模模型型(LP) 优优 化化 建建 模模供需平衡：供需平衡：AX+AY= A1+AAX+AY= A1+A+ A+ A+ A+ A BX+BY = BX+BY = B1+BB1+B+ B+ B+ B+ BAX+BX=x1+x2+x3+x4 AX+BX=x1+x2+x3+x4 AY+BY=y1+y2+y3+y4AY+BY=y1+y2+y3+y4约约束束条条件件BYBXAXAY甲的产量：甲的产量：A1，A2，A3，A4丙的产量：丙的产量：B1，

11、B2，B3，B4乙的销量：乙的销量：x1，x2，x3，x4丁的产量：丁的产量：y1，y2，y3，y4供应限制供应限制消费限制消费限制非负限制非负限制决策变量之间关系决策变量之间关系 优优 化化 建建 模模结果解释结果解释最优解为最优解为A1=A2=A3=x1=x2=2, B1=1，B2=3，y1=1，y2=3，y3=3，AX=BY=4，A4=B3=B4=x3=x4=y4=BY=0. AY=2，也即甲将向丁销，也即甲将向丁销售售2吨产品，丙不会向乙销售吨产品，丙不会向乙销售 如何才干确定清算价钱呢？如何才干确定清算价钱呢？ 针对甲的供需平衡条件，目前的右端项为0，影子价钱为-3.5，意思就是说假

12、设右端项添加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的3.5倍。可见，此时甲的销售单价就是3万元，这就是甲面对的清算价钱！消费商丙面对的清算价钱为5。那么乙面对的清算价钱就是是3.5，丁面对的清算价钱就是5，由于甲乙位于同一个市场，而丙丁也位于同一个市场。这两个市场的清算价之差正好等于从甲、乙到丙、丁的运输本钱1.5。 优优 化化 建建 模模拍卖与招标问题拍卖与招标问题- 例例6.3: 艺术品拍卖问题艺术品拍卖问题招标工程类型招标工程类型12345招标工程的数量招标工程的数量12334招标招标价钱价钱招标人招标人192863招标人招标人267915招标人招标人378634招标人招标人454

13、321假设每个招标人对每类艺术品最多只能购买假设每个招标人对每类艺术品最多只能购买1件件 每个招标人购买的艺术品的总数不能超越每个招标人购买的艺术品的总数不能超越3件件 问哪些艺术品可以卖出去？卖给谁？每类物品的清算问哪些艺术品可以卖出去？卖给谁？每类物品的清算价应该是多少？价应该是多少？ 优优 化化 建建 模模假设有一个中间商希望最大化本人的例润假设有一个中间商希望最大化本人的例润 问题分析与假设问题分析与假设 设有N类物品需求拍卖，第j类物品的数量为Sjj=1, 2，,N；有M个招标者，招标者ii=1，2，,M对第j类物品的招标价钱为bij假设非负。招标者i对每类物品最多购买一件，且总件数

14、不能超越ci。 实践中可以经过对一切招标的报价进展排序来处理实践中可以经过对一切招标的报价进展排序来处理 优优 化化 建建 模模目的：确定第目的：确定第j类物品的清算价钱类物品的清算价钱pj，它该当满足以下假，它该当满足以下假设条件：设条件：成交的第成交的第j类物品的数量不超越类物品的数量不超越Sjj=1，2，,N；对第对第j类物品的报价低于类物品的报价低于pj的招标人将不能获得第的招标人将不能获得第j类物类物品；品；假设成交的第假设成交的第 j 类物品的数量少于类物品的数量少于Sjj=1， 2，,N，可以以为可以以为pj=0 除非拍卖方另外指定一个最低的维护除非拍卖方另外指定一个最低的维护价

15、；价；对第对第j类物品的报价高于类物品的报价高于pj的招标人有权获得第的招标人有权获得第j类物品，类物品，但假设他有权获得的物品超越但假设他有权获得的物品超越3件，那么假设他总是希件，那么假设他总是希望使本人的称心度最大称心度可以用他的报价与市场望使本人的称心度最大称心度可以用他的报价与市场清算价之差来衡量。清算价之差来衡量。 优优 化化 建建 模模线性规划线性规划模型模型(LP)用0-1变量xij表示能否分配一件第j类物品给招标者i，即xij=1表示分配，而xij=0表示不分配。目的函数目的函数 虚拟的中间商的虚拟的中间商的总利润最大总利润最大 ,即即MiNjijijxb11max约束条件约

16、束条件(1)每类物品每类物品的数量限制的数量限制 ,.,N,jSxjMiij211(2)每个招标人所能分每个招标人所能分到的物品的数量限制到的物品的数量限制 ,.,M,icxjNjij211 优优 化化 建建 模模MODEL:TITLE 拍卖与招标拍卖与招标;SETS: ! S,C,B,X的含义就是上面建模时给出的定义的含义就是上面建模时给出的定义;AUCTION: S;BIDDER : C;LINK(BIDDER,AUCTION): B, X;ENDSETSDATA: ! 经过文本文件输入数据经过文本文件输入数据;AUCTION=FILE(AUCTION.TXT); BIDDER =FILE

17、(AUCTION.TXT);S=FILE(AUCTION.TXT);C=FILE(AUCTION.TXT);B=FILE(AUCTION.TXT);ENDDATAMAX=SUM(LINK: B*X);! 目的函数目的函数;FOR(AUCTION(J): ! 拍卖数量限制拍卖数量限制 AUC_LIM SUM(BIDDER(I): X(I,J) S(J) );FOR(BIDDER(I): ! 招标数量限制招标数量限制; BID_LIM SUM(AUCTION(J): X(I,J) C(I) );FOR(LINK: BIN(X);! 0-1变量限制变量限制;ENDLINGO模型为模型为 优优 化化

18、建建 模模最优解为：招标人1得到艺术品1、3、4，招标人2、3都得到艺术品2、3、5，招标人4得到艺术品4、5. 结果，第4、5类艺术品各剩下1件没有成交。 如何才干确定清算价钱呢？如何才干确定清算价钱呢？ 约束“AUC_LIM是针对每类艺术品的数量限制的，对应的影子价钱就是其清算价钱：即5类艺术品的清算价钱分别是5、5、3、0、0。第4、5类艺术品有剩余，所以清算价钱为0 推行推行: :大学生的选课问题大学生的选课问题 优优 化化 建建 模模交通流平衡问题例交通流平衡问题例6.4: 公路网汽车分布公路网汽车分布居民区居民区任务区任务区BCDA每天上班时间有6千辆小汽车要从居民区A前往任务区D

19、 道路道路ABACBCBDCD行驶行驶时间时间分分钟钟流量流量 220521252202 流量流量 330531353303 流量流量 440541454405条道路上每辆汽车的平均行驶时间和汽车流量之间的关系见下表 这些汽车将如何在每条道路上分布？ 优优 化化 建建 模模问题分析问题分析 交通流的规律交通流的规律:每辆汽车都将选择使本人每辆汽车都将选择使本人从从A到到D运转时间最少的道路运转时间最少的道路 必然的结果:无论走哪条道路从A到D，最终破费的时间应该是一样的，由于破费时间较长的那条线路上的部分汽车总会改动本人的道路，以缩短本人的行驶时间汽车在每条道路上的分布将到达平衡形状汽车在每条

20、道路上的分布将到达平衡形状 决决策策变变量量共有20个决策变量Y(j)和X(i,j)，(i=2， 3，4；j=AB，AC，BC，BD，CD 如如YAB表示道路表示道路AB上的总的流量，进一步分解成三部分：上的总的流量，进一步分解成三部分：道路道路AB上的流量不超越上的流量不超越2时的流量，用时的流量，用X2，AB表示；表示；AB上的流量超越上的流量超越2但不超越但不超越3时，超越时，超越2的流量部分用的流量部分用X3，AB表示；表示；AB上的流量超越上的流量超越3但不超越但不超越4时，超越时，超越3的流量部分用的流量部分用X4，AB表示。表示。 线性线性规划规划模型模型(LP) 优优 化化 建

21、建 模模目的函数目的函数 约约束束条条件件总的堵塞总的堵塞时间最小时间最小 用T(i，j)表示流量X(i，j)对应的堵塞时间 432,ijX(i,j) T(i,j)* 为道路并不是总并不是总堵塞时间堵塞时间 T(i，j)关于i是单调添加的，即不断添加的车流只会使以前的堵塞加剧而不能够使以前的堵塞减缓。故关于决策变量X(i，j)而言，与希望优化的目的的单调性一致每条道路上的总流量每条道路上的总流量Y等于该道路上的分流量等于该道路上的分流量X的和的和道路交汇处道路交汇处A、B、C、D(称为节点称为节点)的流量守恒即流入量的流量守恒即流入量等于流出量等于流出量决策变量的上限限制，如决策变量的上限限制

22、，如 X(2，AB)2，X(3，AB)1，X4，AB1等等 优优 化化 建建 模模LINGO模型如下：模型如下：MODEL:TITLE 交通流平衡交通流平衡;SETS:ROAD/AB,AC,BC,BD,CD/:Y;CAR/2,3,4/;LINK(CAR,ROAD): T, X;ENDSETSDATA: ! 行驶时间行驶时间;T=20,52,12,52,20 30,53,13,53,30 40,54,14,54,40;ENDDATAOBJ MIN=SUM(LINK: T*X); ! 目的函数目的函数; 优优 化化 建建 模模! 四个节点的流量守恒条件四个节点的流量守恒条件;NODE_A Y(IN

23、DEX(AB)+Y(INDEX(AC) = 6;NODE_B Y(INDEX(AB)=Y(INDEX(BC)+Y(INDEX(BD);NODE_C Y(INDEX(AC)+Y(INDEX(BC)=Y(INDEX(CD);NODE_D Y(INDEX(BD)+Y(INDEX(CD)=6;! 每条道路上的总流量每条道路上的总流量Y等于该道路上的分流量等于该道路上的分流量X的和的和;FOR( ROAD(I): ROAD_LIM SUM(CAR(J): X(J,I) = Y(I) );! 每条道路的分流量每条道路的分流量X的上下界设定的上下界设定;FOR(LINK(I,J)|I#EQ#1: BND(0

24、,X(I,J),2) );FOR(LINK(I,J)|I#GT#1: BND(0,X(I,J),1) );END 优优 化化 建建 模模平衡时道路AB、AC、BC、BD、CD的流量分别是4、2、2、2、4千辆车。留意这时得到的目的函数452并不是真正的总运转和堵塞时间 真正运转时间是：每辆车经过真正运转时间是：每辆车经过ABAB、ACAC、BCBC、BDBD、CDCD道道路分别需求路分别需求4040、5252、1212、5252、4040分钟，也就是三条道分钟，也就是三条道路路ABDABD、ACDACD、ABCDABCD上都需求上都需求9292分钟，所以这也阐明交分钟，所以这也阐明交通流确实到

25、达了平衡。于是，平衡时真正的总运转时通流确实到达了平衡。于是，平衡时真正的总运转时间应该是间应该是6 6* *92=55292=552千辆车千辆车* *分钟分钟 结果解释结果解释 优优 化化 建建 模模模型讨论模型讨论 平衡解并不一定是最优的流量分配方案，故上面的解并不是最优解。假设有一个权威的机构来统筹安排，如何最优分配这些交通流，使一切汽车的总运转时间最小？ 计算新增的流量计算新增的流量X(i,j)，(i=2, 3,4；j=AB,AC,BC,BD,CD呵斥的实践堵塞时间。以道路呵斥的实践堵塞时间。以道路AB为例：为例： 当流量为当流量为2千辆时，每辆车的经过时间为千辆时，每辆车的经过时间为

26、20分钟，所以总分钟，所以总经过时间是经过时间是40千辆车千辆车*分钟分钟当流量添加一个单位当流量添加一个单位1千辆到达千辆到达3千辆时，每辆车的经千辆时，每辆车的经过时间为过时间为30分钟，所以总经过时间是分钟，所以总经过时间是90千辆车千辆车*分钟分钟当流量再添加一个单位到达当流量再添加一个单位到达4千辆时，每辆车的经过时间千辆时，每辆车的经过时间为为40分钟，所以总经过时间是分钟，所以总经过时间是160千辆车千辆车*分钟分钟 优优 化化 建建 模模这样可以得到单位流量的添加导致总行驶时间的增量和汽车流量之间的关系，如下表 道路道路ABACBCBDCD总行驶时总行驶时间的增量间的增量千辆车

27、千辆车 分钟分钟流量流量 220521252202 流量流量 350551555503 01.5 x1 + 0.7 x2 - y 0求解得到求解得到 ：应该投资：应该投资A A、B B股票各股票各50%50%，至少可以，至少可以增值增值10% 10% 优优 化化 建建 模模求解得到求解得到 ：应该投资：应该投资A A股票股票54.5455%54.5455%， B B 股票股票45.4545%45.4545%，至少可以增值，至少可以增值13.6364% .13.6364% .如今，假设有一条重要信息：假设情形1发生，股票B的增值将到达30%而不是表中给出的20%。那么，普通人的想法应该是添加对股

28、票B的持有份额。果真如此吗？这个投资人假设将上面模型中的1.2改为1.3计算也就是说，应该减少对股票B的持有份额，添加对股票A的持有份额！这真是叫人大吃一惊！这相当于说：有人通知他有某只股票涨幅要添加了，他赶紧说：那我马上把这只股票再卖点吧。之所以出现如此奇异的景象，就是由于这个例子中的目的的特殊性引起的 优优 化化 建建 模模3.市场营销问题市场营销问题 优优 化化 建建 模模含义含义:最近购买某种产品用行表示的顾客，最近购买某种产品用行表示的顾客，下次购买四种产品的时机概率下次购买四种产品的时机概率现有新产品现有新产品A和已有的同类产品和已有的同类产品B、C、D ，市场调查如下表，市场调查

29、如下表例例6.106.10：新产品的市场预测问题：新产品的市场预测问题产品产品ABCDA0.750.10.050.1B0.40.20.10.3C0.10.20.40.3D0.20.20.30.3新产品新产品A未来的市场份额大约是多少？未来的市场份额大约是多少？ 优优 化化 建建 模模问问题题分分析析模模型型建建立立 离散动态随机过程离散动态随机过程A未来的市场份额未来的市场份额产品编号记为产品编号记为 ii=1，2，,N转移概率矩阵的元转移概率矩阵的元素记为素记为Tij稳定形状下每种产品的概率稳定形状下每种产品的概率优化模型优化模型(无目的函数无目的函数)稳定形状下产品稳定形状下产品i的的市场

30、份额记为市场份额记为pi,.,N,i,pTpNjjjii21111Njjppi非负 A的市场份的市场份额是额是47.5% 优优 化化 建建 模模成效函数成效函数- - 例例6.11: 6.11: 小汽车属性的成效函数小汽车属性的成效函数思索某牌号小汽车的两种属性：价钱和平安气囊。思索某牌号小汽车的两种属性：价钱和平安气囊。价钱分为价钱分为12.9、9.9、7.9万元万元 ；平安气囊的配置为两；平安气囊的配置为两个、一个、没有。顾客对该产品的不同配置的偏好个、一个、没有。顾客对该产品的不同配置的偏好程度成效如下表所示程度成效如下表所示 ：价钱万元价钱万元12.99.97.9平安气囊平安气囊278

31、913460125价钱和平安气囊的成效函数如何？价钱和平安气囊的成效函数如何？ 优优 化化 建建 模模模型建立模型建立 记价钱选项分别为H(高)、M(中)、L(低)，对应的成效为pjj=H，M，L；平安气囊选项分别为0、1、2，对应的成效为qii=0，1，2 目的目的:求出求出pj 和和qi 假设价钱和平安气囊的成效是线性可加的，即当价钱选项为j、平安气囊选项为i时，成效 ci，j=pj+qi 如何比较不同的估计的好坏呢？如何比较不同的估计的好坏呢？ 用最小二乘法确定pj和qi。也就是说，此时的目的为：20minij(i,j)cc(i,j)其中，其中，c0(ic0(i，j )j )是表中的是表中的数据数据( (平安气囊选项为平安气囊选项为i i、价、价钱选项为钱选项为j j时详细产品的成时详细产品的成效效) ) 优优 化化 建建 模模由于做成效分析的主要目的是未来用于把不同配置的详细产品的优劣次序排出来，所以另一种方法是希望c(i，j)和c0(i，j)坚持同样的顺序：即对恣意的(i，j)和(k，l),当c0(i，j) +1 c0(k，l)时，也尽量有c(i，j) + 1 c(k，l) (这里“+1表示c(i，j)严厉小于 c(k，l)，且至少相差1)。 思索目的思索目的 i,jk,lklijpppp)1 (min求和只对满足c0(i，j) +1 c0(k，