《概率的概念》ppt课件

1、 随机事件具有偶尔性，在一次实验中不可事随机事件具有偶尔性，在一次实验中不可事先预知。但一样条件下反复进展多次实验，即会先预知。但一样条件下反复进展多次实验，即会发现不同事件发生的能够性存在大小之分。发现不同事件发生的能够性存在大小之分。事件事件A发生能够性大小的度量发生能够性大小的度量概率概率P(A) 概率是事件本身具有的属性，是经过大量反概率是事件本身具有的属性，是经过大量反复实验展现出来的内在特征。复实验展现出来的内在特征。引见众多概率定义之前，先引入频率。引见众多概率定义之前，先引入频率。).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并记记发发生生的的频频率率称称为为事事件件比比值

2、值生生的的频频数数发发称称为为事事件件发发生生的的次次数数事事件件次次试试验验中中在在这这次次试试验验进进行行了了在在相相同同的的条条件件下下定义定义 AnA(A)事事件件 出出现现的的次次数数试试验验总总次次数数nnf 实验序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5

3、 5 次、次、50 50 次、次、500 500 次次, , 各做各做 7 7 遍遍, , 察看正面出现的次数及频率察看正面出现的次数及频率. .处处波波动动较较大大在在21动摇最小随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21实验者德 摩根蒲 丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120210.5005()f H的增大的增大n1.2 Afn , 的的频频率率正正面面向向上上出出现现从从上上表表中中可可以以看看出出 , 次次但但总总的的趋趋势势是是随随着着试试验验的的不不同同

4、而而变变动动虽虽然然随随 n . 5 . 0 这这个个数数值值上上数数的的增增加加而而逐逐渐渐稳稳定定在在 可见，在大量反复的实验中，随机事件出现的可见，在大量反复的实验中，随机事件出现的频率具有稳定性，即通常所说的统计规律性频率具有稳定性，即通常所说的统计规律性. 我们我们可以用大量实验下频率的稳定值来描画事件发生的可以用大量实验下频率的稳定值来描画事件发生的能够性，得到概率的统计定义能够性，得到概率的统计定义.1. 概率的统计定义概率的统计定义 在一样的条件下反复进展在一样的条件下反复进展n次实验，其中事件次实验，其中事件发生了发生了nA 次，当实验次数充分大时，事件的频率次，当实验次数充

5、分大时，事件的频率nA /n将稳定在某一个常数将稳定在某一个常数p附近，那么称此常数附近，那么称此常数p为为事件出现的概率，记作事件出现的概率，记作( )P Ap 注：当实验次数注：当实验次数n充分大时，根据频率的稳定性，可充分大时，根据频率的稳定性，可以用频率近似的替代概率，即以用频率近似的替代概率，即( )AnP An 0( )1, ()0, ()1P APP 显显然然，留意：留意：1了解频率与概率的区别与联络了解频率与概率的区别与联络 概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只是随机性很大的外表景象。是随机性很大的外表景象。2频率稳定于概率，但并

6、非以概率为极限频率稳定于概率，但并非以概率为极限3统计定义的局限性统计定义的局限性 实验实验n+1次所计算的频率并不一定比次所计算的频率并不一定比n次实验更加次实验更加接近概率，更何况我们无法保证实验的条件不变以及接近概率，更何况我们无法保证实验的条件不变以及完成大量的实验，更何况那些存在危险的破坏性实验。完成大量的实验，更何况那些存在危险的破坏性实验。 鉴于统计定义的局限性，针对特殊实验人们鉴于统计定义的局限性，针对特殊实验人们往往按照长期积累的关于往往按照长期积累的关于“对称性的实践阅历，对称性的实践阅历，提出模型直接计算概率。这类模型称为等能够实提出模型直接计算概率。这类模型称为等能够实

7、验概型。验概型。古古典典概概型型样样本本空空间间有有限限集集等等可可能能试试验验概概型型几几何何概概型型样样本本空空间间无无限限集集1 1古典实验概型古典实验概型 假设随机实验具有如下两个特征：假设随机实验具有如下两个特征： 中根身手件总数中根身手件总数n有限有限有限性有限性每个根身手件发生的能够性一样每个根身手件发生的能够性一样等能够性等能够性 12=,n 1()()ijPPn那么称该实验为古典型随机实验。那么称该实验为古典型随机实验。2. 概率的古典定义概率的古典定义2 2古典定义古典定义 设古典型实验设古典型实验E的样本空间的样本空间中所含根身手件数中所含根身手件数为为n，A为恣意一个事

8、件，假设设事件为恣意一个事件，假设设事件A包含的根身包含的根身手件数为手件数为m，那么，那么A发生的概率为发生的概率为( )=事事件件包包含含样样本本点点数数包包含含样样本本点点总总数数AnmAP Ann 1211 0( )1,()1,()0; ()( )( );( ()( )( ) ,()()A BABnnniiiiP APPABP ABP AP BnnnP ABP AP BnnA AAPAP A 古古典典定定义义满满足足：两两两两互互斥斥注：利用该定义计算时应调查有限性和等能够性这注：利用该定义计算时应调查有限性和等能够性这两个条件两个条件例例1 一付扑克牌一付扑克牌54张，任取一张，求它

9、是黑桃的概率。张，任取一张，求它是黑桃的概率。解解: 以每一张扑克牌为根身手件，所以以每一张扑克牌为根身手件，所以设设A表示表示“任取一张是黑桃，任取一张是黑桃，注：假设以花样为根身手件，共注：假设以花样为根身手件，共5种花样，种花样，即即此种解法等能够性被破坏了，故结果是错误的。此种解法等能够性被破坏了，故结果是错误的。54n 13An 13( )54AnP An黑黑，红红，梅梅，方方，王王 1设设 表表示示“黑黑桃桃”，则则AAn 1( )5AnP An 假设标题条件改为：一付扑克牌无大小王共假设标题条件改为：一付扑克牌无大小王共52张，张，从中任取一张，求它是黑桃的概率，那么以张数或花从

10、中任取一张，求它是黑桃的概率，那么以张数或花样为根身手件数求解均正确。即样为根身手件数求解均正确。即以张数为根身手件：以张数为根身手件：以花样为根身手件：以花样为根身手件：131( )524AnP An1( )4AnP An1、选择适当的样本空间满足有限与等能够、选择适当的样本空间满足有限与等能够利用古典定义解题的根本步骤：利用古典定义解题的根本步骤：2、计算样本点数量，利用公式解题。、计算样本点数量，利用公式解题。3. 概率的几何定义概率的几何定义1 1几何实验概型几何实验概型 假设随机实验具有如下两个特征：假设随机实验具有如下两个特征：中根身手件总数无限不可数中根身手件总数无限不可数无限性

11、无限性每个根身手件发生的能够性一样每个根身手件发生的能够性一样均匀性均匀性那么称该实验为几何型随机实验。那么称该实验为几何型随机实验。2 2几何定义几何定义 设几何型实验设几何型实验E的样本空间的样本空间可用一有界区域描可用一有界区域描画，其中部分区域可描画画，其中部分区域可描画A事件所含样本点数量，事件所含样本点数量，那么那么A发生的概率为发生的概率为( )( )()事事件件对对应应子子集集的的几几何何度度量量整整个个空空间间的的几几何何度度量量L AAP AL注：实验一切样本点可视为等能够落入有界区域的注：实验一切样本点可视为等能够落入有界区域的随机点。虽然样本空间与事件均为无限集，但由于

12、随机点。虽然样本空间与事件均为无限集，但由于等能够性的保证，事件的发生能够性取决于二者无等能够性的保证，事件的发生能够性取决于二者无限集度量长度、面积等的比较，并且与区域位限集度量长度、面积等的比较，并且与区域位置外形无关。置外形无关。1211 0( )1,()1,()0; ()( )( ); ,()()几几何何定定义义同同样样满满足足：两两两两互互斥斥nnniiiiP APPABP ABP AP BA AAPAP A 三大定义的局限：三大定义的局限：统计定义统计定义大量反复实验、破坏性实验大量反复实验、破坏性实验古典定义古典定义样本空间有限等能够样本空间有限等能够几何定义几何定义样本空间无限

13、等能够样本空间无限等能够 鉴于此，数学家总结三者共性，提炼概率与事件鉴于此，数学家总结三者共性，提炼概率与事件间函数对应的本质以及诸多共同性质，于间函数对应的本质以及诸多共同性质，于19331933年，由年，由苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化构造，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化构造，给出了概率的严厉定义，使概率论有了迅速的开展给出了概率的严厉定义，使概率论有了迅速的开展. .4. 概率的公理化定义概率的公理化定义 ,(),0,1设设试试验验 的的样样本本空空间间为为以以 中中所所有有随随机机事事件件的的集集合合为为定定义义域域, ,定定义义一一个个函函数数对对于于任任意意的的

14、事事件件总总能能与与内内确确定定常常数数对对应应, ,且且满满足足：EEP AA 12110( )1,()1,()0,()()非非负负规规范范性性： 可可列列可可加加性性：两两两两互互斥斥nnniiiiP APPA AAPAP A ( )P AA则则称称函函数数为为事事件件 的的概概率率。思索：函数的定义域与值域是什么？思索：函数的定义域与值域是什么？性质性质1()0,()1PP 留意：不能够事件的概率为留意：不能够事件的概率为0，但概率为，但概率为0的事的事件不一定为不能够事件；必然事件的概率为件不一定为不能够事件；必然事件的概率为1，但概率为但概率为1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是

15、必然事件。性质性质212111211 ()( )( ); ,()(),()()两两两两互互斥斥两两两两互互斥斥nnniiiiniiiiABP ABP AP BA AAPAP AA AAPAP A 性质性质3,()()().若若为为两两个个任任意意的的随随机机事事件件，则则A BP ABP AP AB 证明证明(),()又又AABABABAB ( )()()()( )()P AP ABP ABP ABP AP AB 性质性质4,( )( ),()( )( ).若若为为两两个个随随机机事事件件, ,则则A BABP AP BP BAP BP A ()1().设设是是的的对对立立事事件件，则则AA

16、P AP A 性质性质5性质性质6(),()( )( )().加加法法公公式式 对对于于任任意意两两事事件件有有A BP ABP AP BP AB 证明证明AB由图可得由图可得(),ABABAB(),ABAB 且且()()().故故 P ABP AP BAB 又由性质又由性质 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ()( )( )().P ABP AP BP AB 推行推行 三个事件和的情况三个事件和的情况123()P AAA ).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况12()nP AAA

17、njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 例例2 某工厂职工可以订阅两种读物某工厂职工可以订阅两种读物报纸和杂志，报纸和杂志，其中订阅报纸的概率为其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为，订阅杂志的概率为0.2, 两种都订阅的概率为两种都订阅的概率为0.1. 求求解解 事件事件A , B分别表示分别表示“订阅报纸和订阅杂志订阅报纸和订阅杂志(1)()( )()0.70.10.6P ABP AP AB (1) 订阅报纸而不订阅杂志的概率订阅报纸而不订阅杂志的概率; (2) 至少订阅一种读物的概率至少订阅一种读物的概率; (3) 两种读物

18、都不订阅的概率两种读物都不订阅的概率.(2)()( )( )()0.8P ABP AP BP AB (3)()()0.2P A BP AB ()()()()( )()0.50.30.2P ABCP ABP ABCP ABP CABCC由由此此：例例3 ,()0.7,()0.4,()0.5()AC BC P AP ACP ABP ABC 设设，求求()( )()( )( )( )( )()0.70.40.3P ACP AP ACP AP CACCP CP AP AC解解：（）故故：2( )0.5,()0.2,( )0.4(),(),(),()P AP ABP BP AB P AB P AB P

19、AB . . 求求：3. ( )0.4,( )0.3,()0.6,()P AP BP ABP AB求求1. 在在10到到99的一切两位数中任取的一切两位数中任取1个数字，求个数字，求其能被其能被2或者或者3整除的概率。整除的概率。2 1 2. 0.2,0.3,0.7,0.3 3. 0.33答答案案： . . 求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的根身手求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的根身手件总数和对所求概率事件有利的事件个数在思索事件数件总数和对所求概率事件有利的事件个数在思索事件数的时候，必需分清研讨的问题是组合问题还是陈列问题，的时候，必需分清研讨的问题是组合问题还是陈列问题，掌

20、握以下关于陈列组合的知识是有用的：掌握以下关于陈列组合的知识是有用的： (1) 加法原理：设完成一件事有加法原理：设完成一件事有k类方法，每类又分类方法，每类又分别有别有m1 , m2, mk种方法，而完成这件事只需其中一种方法，而完成这件事只需其中一种方法，那么完成这件事共有种方法，那么完成这件事共有m1 + m2,+mk种方法种方法 (2) 乘法原理：乘法原理： 设完成一件事有设完成一件事有n个步骤第一步有个步骤第一步有m1种方法、第二步有种方法、第二步有m2种方法，种方法，第第n步有步有mn 种方法，种方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有m1 m2 mn种方法种方法.(3) 不同元

21、素的选陈列不同元素的选陈列 从从n个不一样的元素中无放回取个不一样的元素中无放回取k个的陈列个的陈列(k n)，称为从称为从n个不同元素中取个不同元素中取k个元素的选陈列个元素的选陈列,共有共有 种。种。当当 n k 时，称时，称n个元素的全陈列共有个元素的全陈列共有n！种。！种。knP 例如：从例如：从3个元素取个元素取出出2个的陈列总数有个的陈列总数有6种种236P!()()()()! 121knnpn nnn kn k(4) 不同元素的反复陈列不同元素的反复陈列例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k =3123第第1张张4123

22、第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种能够取法种能够取法kn nnn 从从n个不同的元索中，有放回地取个不同的元索中，有放回地取k个元素进展的陈个元素进展的陈列，共有种元素允许反复列，共有种元素允许反复 。kn1kn n(5) 不全相异元素的陈列不全相异元素的陈列在在n个元素中，有个元素中，有m类不同元素、每类各有类不同元素、每类各有k1, k2 , km 个，将这个，将这n个元素作全陈列，共有如下种方式：个元素作全陈列，共有如下种方式：12!mnkkkk1个个元素元素k2个个元素元素km个个元素元素n个元素个元素由于由于:12112!mmkkknn kkmnCCCkkk(6

23、) 环陈列环陈列 从从n个不同元素中，选出个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个不同的元素排成一个圆圈的陈列，共有：个圆圈的陈列，共有：(1)(2)(1)(1)!mnn nnnmCmm(7) 组合组合从从n个不同元素中取个不同元素中取m个而不思索其次序的陈列个而不思索其次序的陈列组合，共有组合，共有 种种.mnC4123412311242343每个陈列每个陈列反复了反复了4次次4!4陈列数为陈列数为. . )2(; )1(古古典典概概型型验验称称为为等等可可能能概概型型或或具具有有以以上上两两个个特特点点的的试试生生的的可可能能性性相相同同试试验验中中每每个个基基本本事事件件发发有有限限个个

24、元元素素试试验验的的样样本本空空间间只只包包含含 我们主要学习等能够概型我们主要学习等能够概型( (古典概型古典概型) )古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式( ).mAP An 所所包包含含样样本本点点的的个个数数中中样样本本点点总总数数 古典概型中主要引见两大典型例题：古典概型中主要引见两大典型例题：有有放放回回抽抽取取（一一）抽抽球球问问题题有有序序抽抽取取无无放放回回抽抽取取无无序序抽抽取取（一一把把抓抓） （二二）质质点点落落入入问问题题（生生日日、投投信信、分分房房问问题题）一抽球问题随机抽取问题一抽球问题随机抽取问题例例4 袋中有袋中有4个白球个白球2个红球，

25、从中任取个红球，从中任取2球，分析球，分析以下事件概率：以下事件概率：取取得得两两个个全全是是白白球球A 恰恰有有一一个个是是白白球球B 至至少少有有一一个个是是白白球球C 古典概型的等能够性决议了不能按照颜色划古典概型的等能够性决议了不能按照颜色划分样本空间，因此可将球编号，从而满足要求。分样本空间，因此可将球编号，从而满足要求。1 1、有放回抽取、有放回抽取 抽取问题中的有放回抽取自然区分顺序，因此抽取问题中的有放回抽取自然区分顺序，因此样本空间的样本点总数为：样本空间的样本点总数为：116636nC C 11441166164(1) ( )369C CP AC C111124421166

26、(884(2) ( )369）C CC CP BC C 例例4 袋中有袋中有4个白球个白球2个红球，从中任取个红球，从中任取2球球1111112442441166(328(3) ( )369C CC CC CP CC C + +）8,()()()9或或而而ABCABP CP AP B 1122116684( )1( )11369或或C CP CP CC C 2 2、无放回抽取、无放回抽取 无放回抽取分为有序与无序两种方式。有序即无放回抽取分为有序与无序两种方式。有序即每次取一，不放回；无序即指一次性取够，不放回。每次取一，不放回；无序即指一次性取够，不放回。116530nC C 1143116

27、5612(1) ( )3015C CP AC C 111124421165(888(2) ()3015）C CC CP BC C 例例4 袋中有袋中有4个白球个白球2个红球，从中任取个红球，从中任取2球球1111112442431165(2814(3) ( )3015+ +）C CC CC CP BC C 14,( )( )( )15或或而而ABCABP CP AP B 11211165214( )1( )113015或或C CP CP CC C有序抽取有序抽取2 2、无放回抽取、无放回抽取2615nC2042266(1) ( )15C CP AC 1142268(2) ( )15C CP B

28、C 例例4 袋中有袋中有4个白球个白球2个红球，从中任取个红球，从中任取2球球1120424226(14(3) ( )15+ +）C CC CP CC14,( )( )( )15或或而而ABCABP CP AP B 2226114( )1( )111515或或CP CP CC 无序抽取无序抽取 我们发现不同方式下结果一致，但显然无序我们发现不同方式下结果一致，但显然无序抽取要比有序抽取计算简单。抽取要比有序抽取计算简单。 重新整理无放回抽取的计算思绪，并且发现，重新整理无放回抽取的计算思绪，并且发现，三个事件均可转化成三个事件均可转化成“恰有类型的事件或运算，恰有类型的事件或运算，因此我们以第

29、二个事件因此我们以第二个事件“恰有一个白球为例恰有一个白球为例64白白2红红1白白1红红任取任取2球球26C14C12C1142268( )15C CP BC 传说中的传说中的“超几何概率模型超几何概率模型超几何概率：超几何概率：NMN-Mkn-k任取任取nnNCkMCn kNMC kn kMNMnNC CPC 条件：无放回抽取。目的：简化运算条件：无放回抽取。目的：简化运算特点：分子分母组合对应项满足和运算特点：分子分母组合对应项满足和运算NMNM 设设有有个个元元素素分分为为类类与与类类（数数量量分分类类）, ,Nn现现从从个个元元素素中中任任取取 个个元元素素（不不放放回回）, ,nkM

30、试试求求 个个元元素素中中恰恰好好有有 个个类类元元素素的的概概率率. .0,1,min( ,)klln M 例例5 一批产品有一批产品有12件，其中件，其中4件次品，件次品，8件正品，件正品，现从中任取现从中任取3件，求取出的件，求取出的3件中含有次品的概率件中含有次品的概率.解：设解：设 0,1,2,3iAii 取取出出的的三三件件中中恰恰有有 件件次次品品 A 取取出出的的三三件件中中含含有有次次品品123,AAAA那那么么123( ) =()P AP AAA 另解另解( )1( )P AP A两两互斥，两两互斥，123,A A A且且 12213048484831241()=55C C

31、C CC CC 123= ()()()P AP AP A034831241155C CC 1 袋中有袋中有10个球，编号个球，编号110，从中任取，从中任取3球，不放回球，不放回.求：最小号码是求：最小号码是5的概率；的概率； 最大号码是最大号码是7的概率。的概率。练习练习2 某油漆公司发出某油漆公司发出17桶油漆，其中桶油漆，其中10桶白漆，桶白漆，4桶黑桶黑 漆，漆，3桶红漆，在搬运中一切标签零落，交货人随意桶红漆，在搬运中一切标签零落，交货人随意将油漆发给顾客将油漆发给顾客. 问一个订了问一个订了4桶白漆桶白漆3桶黑漆桶黑漆2桶红桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到所订货的概率漆的顾客，能

32、按所订颜色如数得到所订货的概率.答案答案112521. ; 2. .1282431二生日问题分房问题二生日问题分房问题特点：特点：1每个人的生日有每个人的生日有 种能够；种能够；2恣意一天可以包容很多人的生日。恣意一天可以包容很多人的生日。例例6 房内有房内有500人，问至少一人生日是人，问至少一人生日是10月月1日的概率。日的概率。解：因每人生日都有解：因每人生日都有365种能够，故种能够，故设设A：至少一人生日在：至少一人生日在10月月1日，那日，那么么P(A)=P(至少一人生日在至少一人生日在10月月1日日)=1-P(大家生日都不在大家生日都不在10月月1日日)5005005003643

33、64=1=10.746.365365 500365n u分析分析此问题可以用投球入盒模型来模拟此问题可以用投球入盒模型来模拟500个人个人500个小球个小球365天天365个盒子个盒子类似地有分房问题与投信问题类似地有分房问题与投信问题 信件信件 邮筒邮筒人人 房子房子u特点：特点：每一个元素面对多个选择，一次只能自动选择一种；每一个元素面对多个选择，一次只能自动选择一种；每一种选择被动的可以包容多个元素。每一种选择被动的可以包容多个元素。u关键：关键：主主动动因因素素样样本本点点数数量量的的确确定定：被被动动元元素素解：每球都有解：每球都有N种放法，种放法，1当当n=N时，每盒恰有一球，时，

34、每盒恰有一球，n个球共个球共 n! 种放法，种放法，设设A表示表示“每盒恰有一球，那每盒恰有一球，那么么!( );nnP AN n个球共个球共 种放法，种放法，nN例例7 设有设有n个球，随机地放入个球，随机地放入N个盒子中，试求：个盒子中，试求：1当当n=N时，每盒恰有一球的概率；时，每盒恰有一球的概率；2当当nN时，恣意时，恣意n个盒子中各有一球的概率。个盒子中各有一球的概率。例例7 设有设有n个球，随机地放入个球，随机地放入N个盒子中，试求：个盒子中，试求：1当当n=N时，每盒恰有一球的概率；时，每盒恰有一球的概率；2当当nN时，恣意时，恣意n个盒子中各有一球的概率。个盒子中各有一球的概

35、率。解解: 2当当nN时，盒多球少，先从时，盒多球少，先从N个盒中任取个盒中任取n个，个，再在取出的再在取出的n个盒中每盒放一个，个盒中每盒放一个，共共 n! 种放法，种放法，设设B表示表示“恣意恣意n个盒中各有一球，个盒中各有一球，那么那么!( ).nnNNnnC nPP BNN共有共有 种能够，种能够，nNC例例8 将将3个球随机放入个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数最多为个杯子中，求杯子中球数最多为1，2，3的概率各是多少？的概率各是多少？解：设解：设A，B，C分别表示杯中球数最多为分别表示杯中球数最多为1，2，3，于是放球过程一切能够结果为于是放球过程一切能够结果为34n 3433!

36、3( )48CP A 341( )416P C 9( )1( )( )16P BP AP C例例9 9 将将 15 15 名新生其中名新生其中3 3名是优秀生随机地分名是优秀生随机地分配到三个班级中配到三个班级中, , 其中一班其中一班4 4人，二班人，二班5 5人，三班人，三班6 6人人. .求求 (1) (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? ? (2) 3 (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多名优秀生分配在同一个班级的概率是多少少? ? 解：解：15名新生按要求分配到三个班级中的分法总数名新生按要求分配到三个班级中的分法总数:

37、45615116C C C15!=.4!5!6!(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有34512953!(3! 12!) (3!4!5!).C C C 种种因此所求概率为因此所求概率为13! 12!15!3!4!5!4!5!6!p 24.91 (2)2123()()()0.07473pP AP AP A 31,2,3iAii表表示示 名名优优秀秀生生被被分分到到 班班 ， = =15645611211615116()P AC C CC C C 4264562128615116()P AC C CC C C 4534563128315116()P AC C CC C C 练习练习1 1 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 365 天中的任一天天中的任一天是等能够的是等能够的 , , 即都等于即都等于 1/365 , 1/365 ,求求 64 64 个人中至少个人中至少有有2 2人生日一样的概率人生日一样的概率. . 64 个人生日各不一样的概率为个人生日各不一样的概率为.365)164365( 364365641 p故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日一样的概率为人生日一样的概率为64365)164365( 3643651 p.997. 0 解：解：率为率为概概他们的生日