《弹塑性力学》第四章 应力应变关系（本构方程）ppt课件

1、本章讨论弹性力学的第三个根本规律。本章讨论弹性力学的第三个根本规律。应力、应变之关系，这是变形膂力学研讨问题应力、应变之关系，这是变形膂力学研讨问题根底之一。在前面第二、三章分别讨论了变形根底之一。在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律包括协调条件。体的平衡规律和几何规律包括协调条件。 ji,j+ fi = 0 ij =( ui,j+ uj,i)/2 共共9 9个方程，但需确定的未知函数共个方程，但需确定的未知函数共1515个：个： uiui，ij=ij=jiji， ij=ij=jiji， ij = ji = fij ( kl ) 还需求根据资料的物理性质来建立应力与还需求根据资

2、料的物理性质来建立应力与应变间的关系：应变间的关系： 1.1 应变能应变能U 和应变能密度和应变能密度 W比能比能 假设弹性体的外力的施加是缓慢进展的，物假设弹性体的外力的施加是缓慢进展的，物体无动能，物体发生变形，产生变形能，也体无动能，物体发生变形，产生变形能，也无热能耗散，那么根据能量守恒，外力实功无热能耗散，那么根据能量守恒，外力实功转化成应变能储存在弹性体中。转化成应变能储存在弹性体中。 外力做实功外力做实功 A A： A=U A=U 物体的应变能物体的应变能U U VWdVUW：应变能密度：应变能密度单位体积的应变能。单位体积的应变能。 1.2 1.2 应变能密度应变能密度W W与

3、资料的本构关系与资料的本构关系 当外载当外载 ， 缓慢施加过程中，调查外缓慢施加过程中，调查外力施加过程中，瞬时外力力施加过程中，瞬时外力功增量变化。功增量变化。 iieffiieFFx2x1x3oFf在某一时辰在某一时辰t t： iieffiieFF产生产生 iieuujiijeejiijee应变能密度应变能密度W W 的表达式？的表达式？时辰到达时辰到达 t + t + t t：位移有增量：位移有增量 iieuu应变增量应变增量 jiijee外力功增量外力功增量 ： SVdSuFdVufA ：函数增量：函数增量 VisiiiVWdVUdSuFdVuf应变能增量应变能增量A A 中有体积分和

4、面积分，利用中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。 SVdSuFdVufAiiiiVsVAfu dVF u dSUWdV()iiijijSSF u dSu n dS (),jiijVudV 代入外力功增量代入外力功增量 ,()iji jijii jVVAfudVu dV ijijVVdVWdVU ijijWWW为为 ij ij的函数。的函数。 由于W只取决于弹性体的初始应变形状和最终应变形状，与变形过程加载道路无关，所以W 为它的全微分 ijijWW比较上面二式，得：比较上面二式，得： )(klijijijfW本构关系方程 适用于各

5、种弹性情况线性、非线性适用于各种弹性情况线性、非线性 ijijWWijijW 由由 ijijW积分得积分得 ijijijWW0应变能密度定义式。应变能密度定义式。 应变能密度定义式应变能密度定义式ijijijWW0一些书上写为一些书上写为ijijddWWij0 ij ij ijdijdWW ij 2.1 各向异性资料 在线弹性体应力与应变为线性关系，资料均匀在线弹性体应力与应变为线性关系，资料均匀和小变形情况和小变形情况, ,以及当以及当 ij=0 ij=0 时时 ij=0ij=0。用目的符号表示：用目的符号表示： ij = Eijklij = Eijkl kl kl Eijkl 共有共有81

6、个元素四阶张量常数。个元素四阶张量常数。 由于由于 ij = ij = ji ji ，kl = kl = lk lk =c T123123332211 T123123332211Eijkl 减少为减少为66=36个独立系数，用矩个独立系数，用矩阵表示本构关系阵表示本构关系 2.1 各向异性资料 =c 666261262221161211CCCCCCCCCC 2.1 各向异性资料 根据根据 ijijW， 得得 ijklklijklijW2那么那么 C C 为对称矩阵为对称矩阵 C= C= CTCT。 2.1 各向异性资料各向异性资料2.1 各向异性资料各向异性资料 *对各向异性资料的本构关系可见

7、，剪应对各向异性资料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生剪应力。变引起正应力，正应变也产生剪应力。 弹性资料性质普通都具有某些对称性，弹性资料性质普通都具有某些对称性，利用对称可进一步简化利用对称可进一步简化 C C 中系数。中系数。 Eijkl 的独立系数为的独立系数为21个个资料为各向资料为各向异性线弹性资料。异性线弹性资料。 2.2 具有一个弹性对称面的资料具有一个弹性对称面的资料 x2x1x3弹性主轴弹性主轴假设物体内各点都有这样假设物体内各点都有这样一一个平面，对此平面对称方个平面，对此平面对称方向其弹性性质一样，那么向其弹性性质一样，那么称称此平面为弹性对称面，垂此平面为

8、弹性对称面，垂直弹性对称面的方向称为直弹性对称面的方向称为弹性主轴。弹性主轴。 如取弹性对称面为如取弹性对称面为x1 x2x1 x2面，面， x3 x3为弹性主轴或为弹性主轴或资料主轴，并取另一坐标资料主轴，并取另一坐标系系x xi i ，且，且x x1 = x11 = x1，x x2=x22=x2，x x3=-x33=-x3。在两个。在两个坐标下，弹性关系坚持不坐标下，弹性关系坚持不变，那么变，那么CC中元素减少为中元素减少为1313个独立系数。个独立系数。 x2x1x3弹性主轴弹性主轴x3Qij x1 x2 x3 x1 = x1 1 0 0 x2=x2 0 1 0 x3=-x3 0 0 -

9、1 代入代入 klljkijiQQklljkijiQQ得得 11xx22xx33xx2121xxxx1313xxxx2323xxxx应变张量具有一样关系应变张量具有一样关系 。代入两组坐标系下的弹性方程代入两组坐标系下的弹性方程 =c=c , , 比较得比较得 6655454436332623221613121100000000CCCCCCCCCCCCCC称对2.3 具有三个正交弹性对称面的资料具有三个正交弹性对称面的资料正交正交各向异性资料各向异性资料 木材、加强纤维复合资料属此种资木材、加强纤维复合资料属此种资料。取料。取x1x1，x2 x2 ， x3x3为弹性主轴。为弹性主轴。 CC中独

10、立系数减少为中独立系数减少为9 9个：个： 2.3 具有三个正交弹性对称面的资料具有三个正交弹性对称面的资料正交各正交各 向异性资料向异性资料 665544332322131211000000000000CCCCCCCCCC称对特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪应力。应力。 2.4 2.4 横观各向同性资料横观各向同性资料弹性体对一个轴对称弹性体对一个轴对称 假设经过物体每一点可作假设经过物体每一点可作这样的轴如这样的轴如x3x3轴，在轴，在此轴成垂直的平面内，一此轴成垂直的平面内，一切射线方向的弹性性质都切射线方向的弹性性质都是一样的，称这个平面

11、为是一样的，称这个平面为各向同性面，如地层属于各向同性面，如地层属于此类。此类。CC中独立系数为中独立系数为5 5个：个： x1x2x3x1x2各向同性面各向同性面 2.4 2.4 横观各向同性资料横观各向同性资料弹性体对一个轴对称弹性体对一个轴对称 )(00000000000012114444331311131211CCCCCCCCCCC称对2.5 2.5 各向同性资料各向同性资料 各个方向弹性性质一样，各个方向弹性性质一样，CC中仅有中仅有2 2个独立个独立系数：系数： 111212111211111211121112000000000()00()0()CCCCCCCCCCCCC对称2.5

12、 2.5 各向同性资料各向同性资料 200020002000200202GGGGGG对称12111211,2 ,2CCCGCG令则3.1 本构关系用本构关系用、G表示表示 采用目的符号表示： ijijkkijijijGG22 其中其中 ekk 应变第一不变量体积应变应变第一不变量体积应变 3.1 本构关系用本构关系用、G表示表示 或或 kkijijkkijijijGGGG2321221kk应力第一不变量；应力第一不变量； 3.1 本构关系用本构关系用、G表示表示 两个第一不变量关系 Gkkkk23 Ge2313.2 3.2 本构关系用弹性模量本构关系用弹性模量E E和泊松系数和泊松系数 表示表

13、示 令令 )21)(1 (E)1 (2EG或或 )()23(GGGE)(2G3.2 3.2 本构关系用弹性模量本构关系用弹性模量E E和泊松系数和泊松系数 表示表示 那么本构关系变为资料力学中最初见到那么本构关系变为资料力学中最初见到的广义虎克定理的方式：的广义虎克定理的方式： )(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzEyzyzE)1 (2 zxzxE)1 (2xyxyE)1 (2 采用目的符号表示： kkijijijE)1 (1kkijijijE211kkkkE21e21E3Kee )21 ( 33E323)21 (3GEK体积紧缩模量。体积紧缩模量。 两个第一不变量关系 或 E 拉压实验测定，拉压实验测定，G 改动测定，改动测定， 紧缩实验测定，紧缩实验测定， K 静水压力实验测定静水压力实验测定 1 . 证明，对各向同性弹性体，假设主证明，对各向同性弹性体，假设主 应力应力123，那么相应的主应变，那么相应的主应变 123。2将一小物体放在高压容器内，在静水压力将一小物体放在高压容器内，在静水压力 为为q=0.5N/mm2作用下，测得体积应变作用下，测得体积应