北京理工大学工科数学分析PPT课件

1、6.1 空间直角坐标系空间直角坐标系第1页/共226页x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.一、空间直角坐标系第2页/共226页xyozxoy面面yoz面面zox面面一个中心、三个一个中心、三个轴、轴、三个面、三个面、 八个卦限八个卦限第3页/共226页空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(OM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB( ,0, )C xz坐标轴上的点坐标轴上的点,

2、P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C( , , )x y z第4页/共226页设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离第5页/共226页,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M第6页/共226页例例 1 1 求证以求证以

3、)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.第7页/共226页解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为P在在x轴上，轴上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1()

4、,0 , 0 , 1( 第8页/共226页xaxybyzcz三、坐标系的平移三、坐标系的平移将空间直角坐标系将空间直角坐标系Oxyz平移，得到新的直角坐平移，得到新的直角坐标系标系Oxyz。 设点设点O在坐标系在坐标系Oxyz中的坐标为（中的坐标为（a,b,c），则），则两坐标系之间的坐标变换公式为：两坐标系之间的坐标变换公式为：第9页/共226页思考题思考题在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( DA:; B:; C:; D:;第10页/

5、共226页6.2 向量及其线性运向量及其线性运算算第11页/共226页向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：或或或或或或一、向量的概念第12页/共226页自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.

6、 .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM第13页/共226页1 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若a babc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （有时也称为三角形法则）（有时也称为三角形法则）二、向量的加减法第14页/共226页向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cb

7、a （3）. 0)( aa2 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab第15页/共226页设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 三、数与向量的乘法第16页/共226页数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa定理设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使向量

8、的平行向量的平行第17页/共226页同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.第18页/共226页例例 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC ADBC 结论得证结论得证.ABCDMab第19页/共226页空间两向量的夹角的概

9、念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与坐标轴向量与坐标轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 四、向量的投影第20页/共226页空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.第21页/共226页空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 0 uu

10、设为轴的单位向量0 A Bu ,使得 ()uAB 即：注：投影是一个数值，可正可负。注：投影是一个数值，可正可负。第22页/共226页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证uABA B B ()|cosuABAB u 第23页/共226页定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 第24页/共226页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该

11、该轴轴上上的的投投影影之之和和. .AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a1212()()()uuuaaaa第25页/共226页设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，五、向量的坐标表示五、向量的坐标表示xyzo 1M 2M第26页/共226页xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay

12、 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 第27页/共226页向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 第28页/共226页 /abba如何用向量的坐标来表示上述定理?111222212121111222 ,;/, ax y zbxyzabxx yy zzxyzxyz或者：（注：若分

13、母为零，分子也为零）第29页/共226页解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo第30页/共226页由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 第31页/共226页非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正

14、向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六、向量的方向角与方向余弦第32页/共226页xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR21212121RMQMPMMM 第33页/共226页0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第34页/共226页1co

15、scoscos222 方向余弦的特点方向余弦的特点0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为0,|cos , cos, cos .aaa aa 即，成立：第35页/共226页1212(1, 2,3),(0,2, 1), MMM M例：已知求 的模和方向余弦12222120 1,2( 2), 1 3144 |( 1)4( 4)33M MijkM M 解：121cos,|33xM M124cos,|33yM M124cos,|33xM M第36页/共226页 5 , 60 .ax yza例：已知向量的模为 ， 它与轴正方向的夹角都是度，与轴正方向

16、的夹角为钝角，求向量 |cos , cos, cos .aa分析：1coscoscos222 第37页/共226页解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 第38页/共226页7, 4, 4 2, 1,2| 5 6,abcaa 练习：向量 平行于两向量和的角平分线，且求第39页/共226页6.3 向量的乘积向量的乘积第40页/共226页 cos|sFW 启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b

17、的的夹夹角角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积第41页/共226页ab cos|baba |cos( )abb|cos( ) ,baa|( )aa bab |( ) .bba数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .第42页/共226页关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba .|)1(2aaa 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运

18、算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）数）数 ： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba 第43页/共226页,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式第44页/共226页 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式

19、两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为第45页/共226页(213)(121)(310)BCABCABCAD例 已知的三个定点， ， ， ， ，求边上的高的长。ABCD2 ;2BAijkBCijk 解： 2222221 2( 1) ( 1)2 ( 1)1cos6|1( 1)22( 1)( 1)BA BCBA BC 2135sin6 1 ( )66ADBA 第46页/共226页23 ,| 1| 2,( , ),cos( , )3cab dababa bc d 练习：设其中，求第47页/共226页第48页/共226页

20、|FOQM sin|FOP 实例实例LFPQO 二、向量的向量积第49页/共226页向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积向量积（ “叉积叉积”、“外积外积” ）第50页/共226页向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）数数 ： ).()()(bababa 第51页/共226页,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba

21、)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式第52页/共226页向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba abbac 向量积的几何意义向量积的几何意义第53页/共226页解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|cc所求向量为.5152 kj第54页/共226页ABC解解D3, 4 , 0 AC0

22、 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC. 5| BD第55页/共226页定义定义( , , )a b ccba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积第56页/共226页（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：(2) ( , , )a b ccba )(acb )(.)(bac ( , ,

23、 )0.a b c 第57页/共226页 (1,0,1)(4,4,6)(2,2,3)(1,2,0).ABCD例 已知空间四点， 。求以该四点为顶点的四面体的体积345 , 22 ,2; ,ABijkACijk ADjkAB AC AD 解：以为棱的平行六面体体积：345|(,)|1224021VAB AC AD 2故，所求的四面体体积为3第58页/共226页 设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦 . .)3,1,1( ,321cos 1211sin 答案答案: :ba,1 baba ,2jibkjia ,baba 及及第59页/共226页 用向量方法证明正弦定理用向量方法证明

24、正弦定理: :CcBbAasinsinsin BabcAC第60页/共226页证证: : 由三角形面积公由三角形面积公式式Acbsin Bacsin BbAasinsin 所以所以Ccsin Cbasin 而而BabcACABACSABC 21BCBA 21CACB 21ABAC BCBA CACB 第61页/共226页证明：证明： bababa,sin|2222,cos1|222 baba22|ba baba,cos|22222|ba .)(2ba 第62页/共226页证：证：cacbbca )()(cacbcbca )()()()(cacbcbca 0 cacbbca )()(第63页/共

25、226页解：解：nmnmnm,sin| , 8124 0, pnm pnm )( cos|pnm .2438 第64页/共226页6.4 平面的方程平面的方程第65页/共226页xyzo0MM问题问题：求过定点：求过定点 ，且垂直于向量且垂直于向量的平面方程。的平面方程。,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn一、平面的点法式方程,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA第66页/共226页xyzo0MM（平面的点法式方程）（平面的点法式方程）法向量的法向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂

26、直于平面内的任一向量n0)()()(000 zzCyyBxxA向量（向量（A，B，C）表示）表示法向量法向量第67页/共226页例例 1 1 求过三点求过三点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx第68页/共226页由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的

27、一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程第69页/共226页平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy方程不含常数项方程不含常数项方程不含自变量方程不含自变量x方程不含自变量方程不含自变量x, y0 DCzByAx第70页/共226页,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1

28、(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解第71页/共226页设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解第72页/共226页例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx得得 , 0,

29、 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距代入得：代入得：第73页/共226页第74页/共226页（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面的夹角可以由它们的法向量来确两平面的夹角可以由它们的法向量来确定定. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、两平面的夹角 平面的夹角平面的夹角 或者或者 . .第75页/共226页按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121

30、2121212121|cosCBACBACCBBAAnnnn两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 第76页/共226页例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos 第77页/共226页)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 ,

31、 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合01224, 012)2( zyxzyx解解第78页/共226页)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.02224, 012)3( zyxzyx解解四、四、 点到平面的距离点到平面的距离第79页/共226页1111( ,)P xyz任取平面内一点10|() |ndPP 1PNn0P 解解010101222|()()()|A xxB yyC zzABC000111222|()|,AxByCzAxByCzABC第80页/共226页0111 DCzByA

32、x.|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式第81页/共226页五、平面束五、平面束111112222211112222:0 :0.()0AxB yC zDA xB yC zDLLAxB yC zDA xB yC zD 设平面交于直线 过 可以做无数个平面构成平面束,此平面束的方程为：()第82页/共226页221022010 xyzxyzxyz 练习：求通过平面 和的交线，且与 平面垂直的平面方程。第83页/共226页3260 3270 xyzxyz练习：求两平行平面 及间的距离。第84页/共226页(1,2,3)4290 xyz练习：求通过点，且平行于平面的平

33、面方程.第85页/共226页54230yxyz练习：求通过 轴，且垂直于平面 的平面方程。第86页/共226页422()( )aaijkbijka babbab练习：设向量，求， ， ， 第87页/共226页,a ba ba思考：以向量为邻边作平行四边形，试用表示 边上的高向量。第88页/共226页2 3112 3 211-6dabcd练习：向量 垂直于向量， ，和， ，且与， ，的数量积为，求向量7572 34()ababababab练习：向量与分别垂直于向量与，求 ， 13 2234 312 6 abcabc 练习：设向量， ， ，和，证明三向量共面， 并用 ， 来表示 。第89页/共22

34、6页6.5 空间直线的方程空间直线的方程第90页/共226页xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程第91页/共226页xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于已知如果一非零向量平行于已知直线，这个向量称为这条直直线，这个向量称为这条直线的线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ),(zyxMsMM0/,pnms 二、空间直线的标准方程（点向式）000 x

35、xyyzzmnp第92页/共226页pzznyymxx000 直线的标准方程或称直线的标准方程或称为直线的对称式方程为直线的对称式方程直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的方向余弦称为直线的方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦方向余弦.222222222mnpmnpmnpmnp，第93页/共226页tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程第94页/共226页例例 用标准方程及参数方程表示直线用标准方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyz

36、y解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 直线方向直线方向 取取21nns ,3, 1, 4 标准方程标准方程,321041 zyx第95页/共226页标准方程标准方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx第96页/共226页解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx第97页/共226页( 1,0,2)(2,4,2)MN练习：求经过两点和的直线方程( 3,2,4)240,230Mxyzxyz练习：求经过点且与两平面的交线平

37、行的直线方程第98页/共226页定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角.（取锐角或直角）（取锐角或直角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角第99页/共226页两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s13 14121 221xyz

38、xyz练习：求两直线与直线的夹角第100页/共226页解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx第101页/共226页代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx第102页/共226页定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直

39、线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns 0.2 四、直线与平面的夹角第103页/共226页222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 第104页/共226页解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin

40、 为所求夹角为所求夹角第105页/共226页五、点到直线的距离解解10)3(2)2(31zyx）（过点过点A作与直线作与直线L垂直的平面，平面方程为垂直的平面，平面方程为求直线求直线L与平面的交点，从而得到距离与平面的交点，从而得到距离d。第106页/共226页解解2d1M0Msl)2, 3, 1 （s直线直线L的方向向量为的方向向量为在直线在直线L上任取一点上任取一点 ，1M201201)(|sMMMMd| s |)(0101sMMMMs第107页/共226页解解3)2, 3, 1 （s直线直线L的方向向量为的方向向量为在直线在直线L上任取一点上任取一点 ，d1M0Msl10|sM Mds1

41、M第108页/共226页解解4tztytx2334直线直线L的参数方程为的参数方程为设设N为直线为直线L上任意一点上任意一点 ，则，则d为线段为线段AN的的最小值。最小值。2222)233()342()1 (|AN|ttt第109页/共226页六、两直线共面的条件直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 在两直线上任取两点在两直线上任取两点 ）（）（22221111,cbaMcbaM),(1111pnms ),(2222pnms 第110页/共226页02222221112121111ccbbaapnmpnmMMss），（1L2L21ss，

42、21MM第111页/共226页第112页/共226页思考：如何求两异面直线间的距离？1M0M1s1l2l2s0N1N1010|()|N NdM M 101010|(|M MN NN N 101212|()|M Mssss第113页/共226页5842112321xyzxyz思考：求过点(2,3,4)且垂直于直线与的直线方程。第114页/共226页6.6 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线第115页/共226页定义：定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：一、基本概念空间曲面空间曲面第116页/共226页曲面的一般方程：曲面的一般方程：曲面的参数方程

43、：曲面的参数方程：0),( zyxF.,),(),(),(为参数其中vuvuzzvuyyvuxx第117页/共226页 0),(0),(zyxGzyxF 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上曲线上.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：空间曲线第118页/共226页曲线的一般方程：曲线的一般方程：曲线的参数方程：曲线的参数方程：.)()()(为参数其中ttzztyytxx 0),(0),(zyxGzyxF第119页/共226页解解设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM |0根据

44、题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 第120页/共226页解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为第121页/共226页设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解第122

45、页/共226页播放播放定义定义二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第123页/共226页定义定义二、柱面二、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第124

46、页/共226页定义定义二二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第125页/共226页定义定义二二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第126页/共2

47、26页定义定义二二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第127页/共226页定义定义二二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第128页/共226页定

48、义定义二二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第129页/共226页定义定义二二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第130页/共226页定义定义二

49、二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第131页/共226页定义定义二二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第132页/共226页定义定义二二、柱面

50、、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第133页/共226页定义定义二二、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第134页/共226页定义定义二二、柱面、柱面平

51、行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL返回返回观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL第135页/共226页柱面举例柱面举例xozyxozyyx22抛物柱面抛物柱面xy 平面平面柱面方程柱面方程第136页/共226页从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴

52、y第137页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第138页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第139页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一

53、周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第140页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第141页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第142

54、页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第143页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第144页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线

55、旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第145页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第146页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第147页/共22

56、6页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第148页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴第149页/共226页三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所

57、成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴返回返回第150页/共226页xozy11()0f yz，), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz |122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得得:第151页/共226页 , 0,22 zyxf . 0,22 zxyf第152页/共226页例例 4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴

58、轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面第153页/共226页绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面第154页/共226页四.椭圆锥面CPC设 是椭圆， 为 外的定点，PPC过 和 上的每一点作直线，所有这些直线形成的曲面 称为椭圆锥面。 CP母线准线所有直线称为， 称为，称为顶点。C与与圆锥面的区别圆锥面的区别?第155页/共226页22221(0)xyabzccC例5：求准线 为顶点在原点的椭圆锥面 的方程.0000(,)Mxyz ),(zyxMoxz

59、y 02202222222220002. .,1,MMst OMOMxx yy zzxyabxyzabzccC 解：,和 , 即： 代入准线方程： 消去 得：第156页/共226页(1,2,3),22 -10,30 xy z 例6：已知圆锥面的顶点为轴垂直于平面母线与轴组成度角，求圆锥面的方程( , , )1,2,3,2,2, 1M x y zPPMxyzs 解：设锥面上任一点，记顶点为 ，轴的方向数cos(, )cos(30 )PM s 222|2(1)2(2)(3)|323 (1)(2)(3)xyzxyz第157页/共226页 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：

60、0),( yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：五、空间曲线在坐标面上的投影第158页/共226页如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面第159页/共226页类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH