计量方法与误差理论CH3_2-误差部分

1、一、系统误差产生原因一、系统误差产生原因计量校准后发现的偏差、仪器设计计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。确等。测量时的实际温度对标准温度的测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公式引采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的测量人员固有的测量习性引起的误差等。误差等。 测量装置方面的因素测量装置方面的因素 环境方面的因素环境方面的因素 测量方法的因素测量方法的因素 测量人员的因

2、素测量人员的因素二、系统误差的分类和特征二、系统误差的分类和特征1 1、定值系统误差、定值系统误差2 2、变值系统误差、变值系统误差 线性系差（累进系差）：在线性系差（累进系差）：在整个测量过程中，随某因素而线性整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。如温度线递增或递减的系统误差。如温度线性变化引起的误差。性变化引起的误差。 周期系差：在整个测量过程中，周期系差：在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。如齿随某因素作周期变化的系统误差。如齿轮传动引起的正弦误差。轮传动引起的正弦误差。 三、系统误差对测量结果的影响三、系统误差对测量结果的影响1 1、定值系差的影响、定值系差的

3、影响2 2、变值系差的影响、变值系差的影响定值系差：定值系差：不影响随机误差分布曲线的形状及分布范围，不影响随机误差分布曲线的形状及分布范围， 只引起分布密度函数的位置变化（平移只引起分布密度函数的位置变化（平移 ）。）。变值系差：变值系差：不仅使随机误差的分布密度曲线平移，同时也不仅使随机误差的分布密度曲线平移，同时也 改变了曲线的形状和分布范围。改变了曲线的形状和分布范围。结论：结论：四、系统误差的发现四、系统误差的发现1 1、定值系差的发现、定值系差的发现（由于不影响残差，无法从测量原始数据自身判定）（由于不影响残差，无法从测量原始数据自身判定） （1 1）对比检定法（校准法）对比检定法

4、（校准法） 改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差。出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差。（2 2）均值与标准差比较法）均值与标准差比较法A. 当测试次数足够多时，采用正态分布判断：当测试次数足够多时，采用正态分布判断：xxxt21服从正态分布服从正态分布B. 当测试次数较少时，采用当测试次数较少时，采用t分布判断：分布判断：见见概率论与数理统计概率论与数理统计，北京北京:人民教育出版社，人民教育出版社，19792 2、变值系差的发现、变值系差的发现两种基本方法：两种基本方法：观察残差的变化观察残差的

5、变化或者或者检验是否服从已知的规律检验是否服从已知的规律（1）马林科夫判据马林科夫判据前后分组核算残差法（线性系差）前后分组核算残差法（线性系差） 按先后顺序将测量数据分两组，前一半和后一半的残差分别求按先后顺序将测量数据分两组，前一半和后一半的残差分别求和，然后求其差值。如果不存在累进性系差，该差值应近似为和，然后求其差值。如果不存在累进性系差，该差值应近似为0；否；否则，可能比较大。不适于检验周期性系差。则，可能比较大。不适于检验周期性系差。如果测量服从正态分布，则：如果测量服从正态分布，则：21n1inii阿贝判据为：阿贝判据为：21n1inii计算时以残差代替真差：计算时以残差代替真差

6、：21n1inii可以证明：可以证明： 修正：阿贝修正：阿贝赫梅特判据赫梅特判据211 -n1i1nii（2 2）阿贝阿贝- -赫梅特准则赫梅特准则（周期系差）（周期系差）（3）标准偏差不同公式检算法（类型不能确定）标准偏差不同公式检算法（类型不能确定）六、系统误差的减小和消除六、系统误差的减小和消除主要途径：主要途径： 1、从测量方法上消除；、从测量方法上消除； 2、测量数据的处理，掌握系差的大小，引入修正值。、测量数据的处理，掌握系差的大小，引入修正值。1 1、定值系差消除、定值系差消除A A、替代法、替代法 对被测量进行一次测量，使仪器上得到某一状态对被测量进行一次测量，使仪器上得到某一

7、状态（如指（如指针指示零位，显示某一示值）针指示零位，显示某一示值）。然后在相同的测量条件下，。然后在相同的测量条件下，以标准量代替被测量，调整标准量值的大小，尽量使仪器达以标准量代替被测量，调整标准量值的大小，尽量使仪器达到与被测量相同的状态，此时的标准量就等于被测量。到与被测量相同的状态，此时的标准量就等于被测量。 如：用电桥测电阻，用标准可变电阻代替被测量。如：用电桥测电阻，用标准可变电阻代替被测量。B B、交换法、交换法 在一次测量后，将某些测量条件交换一下，再进行一次测量。在一次测量后，将某些测量条件交换一下，再进行一次测量。 抵消法抵消法或或反向补偿法反向补偿法就属于一种交换法，即

8、先在有定值系差状态就属于一种交换法，即先在有定值系差状态下进行一次测量，再在该定值系差相反的状态下进行第二次测量。两下进行一次测量，再在该定值系差相反的状态下进行第二次测量。两次测量的平均值使定值系差完全被抵消。次测量的平均值使定值系差完全被抵消。C C、零示法、零示法 将待测量与标准的已知量比较，当二者作用相等时，测量装置将待测量与标准的已知量比较，当二者作用相等时，测量装置的指示器读数为零。它可以消除指示器不准所造成的系统误差。的指示器读数为零。它可以消除指示器不准所造成的系统误差。例：用零示法测电压例：用零示法测电压 实际测量中标准量不一定是连续可调的，这时只要标实际测量中标准量不一定是

9、连续可调的，这时只要标准量与被测量的差别较小，那么它们的作用相互抵消的结准量与被测量的差别较小，那么它们的作用相互抵消的结果也会使指示仪表的误差对测量的影响大大减弱。果也会使指示仪表的误差对测量的影响大大减弱。（利用（利用微差法可以达到很高的精度，即使测量精度不高。）微差法可以达到很高的精度，即使测量精度不高。）D D、微差法、微差法AEEsxxxsxxEAEEEEAAAEAAEEEEsssxxssEAEsssxxEAAAEEEE例：用微差法对标称值例：用微差法对标称值Ex=9V的电池进行测量，标准稳压源的电池进行测量，标准稳压源Es=9V，相对误差相对误差0.2；指示电压表；指示电压表A的相

10、对误差的相对误差5，当电压表，当电压表A指指示值为示值为0.1V时，问该电池电压为多少？测量误差多大？时，问该电池电压为多少？测量误差多大？)( 1 . 91 . 09VAEEsx%3 . 0%06. 0%2 . 091 . 0%5%2 . 0sssxxEAAAEEEE本例说明，用误差为本例说明，用误差为5的电压表进行测量，可得的电压表进行测量，可得0.3%的测量精确度。的测量精确度。2 2、线性系差消除、线性系差消除 线性误差一般多随时间呈线性变化，因此将测量顺序线性误差一般多随时间呈线性变化，因此将测量顺序对某一时刻对称地进行测量，再通过计算，可达到消除线对某一时刻对称地进行测量，再通过计

11、算，可达到消除线性系差的目的。性系差的目的。 周期性系差一般出现在由圆周运动的情况下，多周期性系差一般出现在由圆周运动的情况下，多呈现正弦形式。因此，在相距呈现正弦形式。因此，在相距180180度的两个位置上做两度的两个位置上做两次测量，取两次读数平均值，即可有效的消除周期性次测量，取两次读数平均值，即可有效的消除周期性系差。系差。3 3、周期性系差消除、周期性系差消除对于系差对于系差 tksin周期：周期： /2T所有时刻的测量值可写成：所有时刻的测量值可写成： tkxxtsin0再经再经T/2时刻可得到时刻可得到 tkxTtkxxTtsin)2(sin0022/ )(20Tttxxx两式相

12、加两式相加即可消除系差即可消除系差 可得可得粗大误差：疏忽误差、过失误差。粗大误差：疏忽误差、过失误差。 不能不知原因不加分析就轻易舍弃测量列中最大或不能不知原因不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据。最小的数据。 对怀疑是粗大误差而又不明原因的数据，应按照对怀疑是粗大误差而又不明原因的数据，应按照统计统计学方法学方法进行判别。进行判别。1. 莱特准则莱特准则3准则准则最常用、最简单判别粗大误差的准则（有资料推荐最常用、最简单判别粗大误差的准则（有资料推荐n50次）次）具体剔除办法：先计算，然后计算每次测量的残差具体剔除办法：先计算，然后计算每次测量的残差剔除完后，重新按准则计算，直至没有

13、数据剔除为止。剔除完后，重新按准则计算，直至没有数据剔除为止。3|iv若若 ，则剔除，则剔除2. 肖维勒（肖维勒（chauvenet）准则）准则 以随机误差服从正态分布为前提，思路与莱特准则相似。以随机误差服从正态分布为前提，思路与莱特准则相似。若残差若残差 ，则剔除该数据。，则剔除该数据。ciZv |肖维勒准则规定了一种确定肖维勒准则规定了一种确定 的方法的方法:cZn21显著度显著度: 与莱特准则的区别：置信度与测量次数相关。数据量越大，判据越严格！与莱特准则的区别：置信度与测量次数相关。数据量越大，判据越严格！将将 的误差中的最大一个剔除。的误差中的最大一个剔除。重新计算，再次用肖维勒准

14、则判断，直至全部符合判据。重新计算，再次用肖维勒准则判断，直至全部符合判据。ciZv |注意：肖维勒准则以大数据量为前提，注意：肖维勒准则以大数据量为前提，n10时，不适宜采用。时，不适宜采用。莱特准则和肖维勒准则都是基于莱特准则和肖维勒准则都是基于 这个前提，这个前提，n较小时都不可靠。较小时都不可靠。n3. 格罗布斯（格罗布斯（grubbs）准则）准则 如果样本观测值中存在异常数据，它一定是最大值或最小值。如果样本观测值中存在异常数据，它一定是最大值或最小值。将测量数据从小到大顺序排序（将测量数据从小到大顺序排序（x(1)最小，最小， x(n)最大）。构造异常值最大）。构造异常值的检验统计

15、量，通常可按照描述样本极值与样本主体之间的差异的的检验统计量，通常可按照描述样本极值与样本主体之间的差异的原则来进行。原则来进行。4. 罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则t检验准则检验准则 当测量次数较少时，按当测量次数较少时，按t t分布的实际误差分布范围剔分布的实际误差分布范围剔除粗大误差。先剔除一个可疑的测量值，然后按除粗大误差。先剔除一个可疑的测量值，然后按 t t分布分布检验是否含粗大误差。检验是否含粗大误差。根据测量次数根据测量次数n和选取的显著度和选取的显著度 ，查，查t分布检验系数分布检验系数 ),(nK若若 ，则剔除正确！，则剔除正确！Kxxj| 如狄克松等其他准则，这些方法都

16、是人为主观拟定，没有如狄克松等其他准则，这些方法都是人为主观拟定，没有统一规定，都是以随机误差服从正态分布为前提，否则，可靠统一规定，都是以随机误差服从正态分布为前提，否则，可靠性受影响性受影响5. 其他方法其他方法(3)按按格罗布斯准则（格罗布斯准则（grubbs）按测得值大小排列：按测得值大小排列： (1)20.3x(15)20.43x则：则： (1)0.104xx(15)0.026xx首先怀疑首先怀疑x(1)可能含有粗大误差：可能含有粗大误差： (1)20.40420.303.150.033g(0)(15,0.05)2.41g查表得：查表得： (1)(0)(15,0.05)gg由于：由于

17、： 因此第因此第8个测量值含有粗大误差，应剔除个测量值含有粗大误差，应剔除 余下的余下的14个数据做同样的处理，直至没有粗大误差的数据。个数据做同样的处理，直至没有粗大误差的数据。 IUR 误差？误差？电压测量误差电压测量误差(如如1.0级精度级精度)电流测量误差电流测量误差(如如0.5级精度级精度)nndxxfdxxfdxxfdy22111212.nnfffyxxxxxx 一、误差的合成一、误差的合成间接测量间接测量inxxxxfy),(,21为各直接测量参数为各直接测量参数取全微分：取全微分：误差误差 较小时：较小时：ix误差传递公式（绝对误差形式）误差传递公式（绝对误差形式）误差误差传递

18、系数传递系数1、误差传递公式、误差传递公式nnxxffxxffxxffyy1112211iixffxf1ln由于：由于：nnxxfxxfxxfyylnlnln2211误差传递公式（相对误差形式）误差传递公式（相对误差形式）两端同除以两端同除以y： 当测量函数为当测量函数为和、差和、差关系，求总和绝对误差关系，求总和绝对误差比较方便。比较方便。 当测量函数为当测量函数为积、商、开方、乘方积、商、开方、乘方关系时，关系时，求总和相对误差比较方便。求总和相对误差比较方便。例例1：321cxbxaxy332211xxfxxfxxfy321xcxbxa例例2：pnmxxxy321iixxpxnxmxyy

19、) 3lnlnln(2131332211xxpxxnxxm系系统统误误差差分分类类按误差出现规律按误差出现规律按对误差掌握程度按对误差掌握程度定值系统误差定值系统误差变值系统误差变值系统误差已定系统误差：已定系统误差：未定系统误差：未定系统误差：线性系差线性系差周期系差周期系差复杂系差复杂系差误差绝对值和符误差绝对值和符号已经确定号已经确定误差绝对值和符号误差绝对值和符号未能确定，但可估未能确定，但可估计出误差范围计出误差范围二、系统误差的合成二、系统误差的合成合成方法：合成方法：（1）定值系差：）定值系差：niixxfy1（2）变值系差：）变值系差：ix不是常数，合成复杂，难以计算不是常数，

20、合成复杂，难以计算对于未定系差：对于未定系差：通常按随机误差的合成方法。通常按随机误差的合成方法。三、随机误差的合成三、随机误差的合成 随机误差通常用随机误差通常用标准差标准差或或极限误差极限误差lim来来表示，随机误差的合成主要是在一定测量条件表示，随机误差的合成主要是在一定测量条件下的下的标准差标准差或或极限误差极限误差的合成。的合成。nndxxfdxxfdxxfdy22111、随机误差传递公式、随机误差传递公式对对xi多次重复测量多次重复测量n次：次：纵向归纳可得：纵向归纳可得：将以上各式一一平方后得：将以上各式一一平方后得：将各式相加后再除以将各式相加后再除以n得：得：由于相关系数由于

21、相关系数 为：为：ij代入上式：代入上式： 相关系数相关系数反映了各随机误差分量相互间的关联对函反映了各随机误差分量相互间的关联对函数总误差的影响数总误差的影响 若若n适当大，且各测量值的随机误差相互独立时，相关适当大，且各测量值的随机误差相互独立时，相关系数系数ij为零，则独立测量的合成误差为：为零，则独立测量的合成误差为：随机误差传递公式：随机误差传递公式：（=0=0）（0）2、随机误差的合成方法、随机误差的合成方法标准差合成标准差合成极限误差合成极限误差合成随机误差的合成形式包括：随机误差的合成形式包括：A、标准差合成、标准差合成211()2qqiiijijijiijaa a q个单项随

22、机误差，标准差个单项随机误差，标准差 12,q 误差传递系数误差传递系数 12,qa aa由间接测量的显函数模型求得由间接测量的显函数模型求得 根据实际经验给出根据实际经验给出 知道影响测量结果的知道影响测量结果的误差因素误差因素 而不而不知道每个知道每个 和和 iiiyaiaiiiafx B、极限误差合成、极限误差合成单项极限误差单项极限误差: : 1,2,.,iiikiq 单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差: : kiik 合成标准差 合成极限误差的置信系数 k合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式211()2qqjiiiijijiijiijaka a

23、kk k 单项极限误差单项极限误差应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意： 根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成即可进行极限误差的合成 各个置信系数各个置信系数 、 不仅与置信概率有关，而且与随不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关机误差的分布有关 ikk 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置

24、信系数也不相同的各个置信系数也不相同 211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 当各个单项随机误差的数目当各个单项随机误差的数目q较多、各项误差相互独立较多、各项误差相互独立时，此时合成的总误差接近于正态分布时，此时合成的总误差接近于正态分布12qkkkk合成极限误差：合成极限误差： 若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式广泛使

25、用的极限误差合成公式 时：此时332211xaxaxay232322222121xxxyaaa例例1： ，三个测量量相互独立，求结果的随机误差，三个测量量相互独立，求结果的随机误差 ,21xxy1x2x重复重复30次测量，次测量， 重复重复8次测量，两个测量量独立。次测量，两个测量量独立。 例例2： ylim求置信概率求置信概率95%时的时的 11136.096.11limxxxn22282. 036. 22limxxxnt分布分布正态分布正态分布211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 代入下式求解：代入下式求解： ylim项数项数q较小，且第较小，且第2项误差不服从正

26、项误差不服从正态分布。故计算态分布。故计算k时按时按t分布计算分布计算3、误差间的相关关系和相关系数、误差间的相关关系和相关系数njixjxiijjixmiiyxfxfxfi12212)(2)(（1）误差间的线性相关关系）误差间的线性相关关系 误差间的线性关系是指它们具有线性依赖关系，这种依误差间的线性关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱，强弱关系由相关系数决定。赖关系有强有弱，强弱关系由相关系数决定。100111正相关，一误差增大，另一误差的取值也增大正相关，一误差增大，另一误差的取值也增大 负相关负相关 完全正相关完全正相关 完全负相关完全负相关 0完全不相关完全不相关 观察

27、法：观察法： 用多次测量的用多次测量的对应值（对应值（xi, xj）作）作图图（2）相关系数的确定）相关系数的确定b) 简单计算法（点阵计算法）：简单计算法（点阵计算法）：（点数太少时不精确）（点数太少时不精确）c) 直接计算法：直接计算法：2222)()()(1)(1)(),cov(jjiijjiijjiixjxijijiijxxxxxxxxnxxnxxnxx四、系统误差与随机误差的合成四、系统误差与随机误差的合成不同性质的多项系统误差与随机误差的综合问题不同性质的多项系统误差与随机误差的综合问题1、按标准差合成（只考虑、按标准差合成（只考虑未定系统误差未定系统误差和和随机误差随机误差） 设

28、设s个未定系统误差项，个未定系统误差项，q个随机误差，误差的传递系数均个随机误差，误差的传递系数均为为1，各误差之间互不相关，则，各误差之间互不相关，则siqjjiu1122)()(测量结果总测量结果总的标准差的标准差第第i项已定系统误项已定系统误差的标准差差的标准差第第j项随机误项随机误差的标准差差的标准差n1若若n次重复测量，次重复测量，需除以次数需除以次数n2、按极限误差合成、按极限误差合成r个单项已定系统误差，误差值为个单项已定系统误差，误差值为 s个单项未定系统误差，极限误差为个单项未定系统误差，极限误差为 q个单项随机误差，极限误差为个单项随机误差，极限误差为 若各误差传递函数均为

29、若各误差传递函数均为1，且互不相关则：，且互不相关则：r,21seee,21q,21sjqkkijiirittet11221）（）（总合成后总极限误合成后总极限误差的置信系数差的置信系数各单项极限误各单项极限误差的置信系数差的置信系数 若各测量值是采用多次重复测量获得，合成中的若各测量值是采用多次重复测量获得，合成中的随机误差项应除以随机误差项应除以n，而未定系统误差不具有此特点：，而未定系统误差不具有此特点：sjqkkijiiritntet112211）（）（总例：例： 用用TC328B型天平，型天平， 3个标准砝码称一不锈钢球质量，一个标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量次称量得钢

30、球质量M14.004g，分析测量结果的标准差。，分析测量结果的标准差。解：解： 测量结果的主要误差分析如下：测量结果的主要误差分析如下：1、随机误差、随机误差 天平示值变动性（如读数不准）所引起的误差，通过多次重复测天平示值变动性（如读数不准）所引起的误差，通过多次重复测量同一球的质量，用贝赛尔公式可计算量同一球的质量，用贝赛尔公式可计算1 （假设为（假设为0.05mg）；）；2、未定系统误差、未定系统误差 标准砝码误差标准砝码误差和和天平示值误差天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差知道具体误差数值

31、，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。均属未定系统误差。 计算如下：计算如下： 砝码误差砝码误差: : 天平称量时所用的标准砝码有三个，即天平称量时所用的标准砝码有三个，即10g10g的一个，的一个，2g2g的两个，标准差分别为的两个，标准差分别为: :故三个砝码组合使用时，质量的标准差为故三个砝码组合使用时，质量的标准差为 mgumgu2 . 0,4 . 01211mmuuu5 . 02 . 024 . 02222122111 天平示值误差天平示值误差 该项标准差为该项标准差为: :mgu03. 02 三项误差互不相关，且各个误差传递系数均为三项误差互不相关，且各个误

32、差传递系数均为1 1，因此误，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为差合成后可得到测量结果的总标准差为 mguu5 . 0222121最后测量结果应表示为（倍标准差）：最后测量结果应表示为（倍标准差）： 14.004g0.0005gM 五、误差分配五、误差分配 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差，给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差，是误差合成的反问题（在误差分配时，是误差合成的反问题（在误差分配时，随机误差随机误差和和未定系统未定系统误差误差同等看待）。同等看待）。 假设各误差因素皆为假设各误差因素皆为随机误差（已修正定系差）随机误差（已修正定系差），且互，且互不相关，有：不相关，有：y 若已经给定若已经给定 ，如何确定，如何确定 Di 或相应的或相应的 i , ,使其满足使其满足22221nyDDD式中，式中， 称为部分误差，或局部误差称为部分误差，或局部误差iiiiiaxfD22221nyDDD1 1、按等影响原则分配误差、按等影响原则分配误差 等影响原则等影响原则： 各分项误差对函数误差的影响相等，即 由此可得： 11/yyiiifxann或用极限误差表示： 1