机械振动仿真研究1407100420王嵩博

1、 辽宁工程技术大学课程设计辽宁工程技术大学机械动力学综合训练题 目： 基于基于 MatlabMatlab 的机械振动仿真研究的机械振动仿真研究班级：机械 14-4 班 姓名： 王嵩博 学 号： 1407100420 完成日期：2017 年 1 月 1 日 辽宁工程技术大学课程设计目目 录录1 1 引言引言机机械械振动的仿真原理振动的仿真原理 .1 1 1.11.1 MATLABMATLAB SIMULINKSIMULINK 功功能能简述简述.1 11.21.2 机械振动的物理模型机械振动的物理模型.1 11.2.11.2.1 简谐振动的物理模型简谐振动的物理模型 .1 11.2.21.2.2

2、阻尼振动的物理模型阻尼振动的物理模型 .2 21.2.31.2.3 受迫振动的物理模型受迫振动的物理模型 .2 21.31.3 MatlabMatlab SimulinkSimulink 仿真原理简述仿真原理简述.4 42 2 简谐振动方简谐振动方程程的解及其模拟仿真的解及其模拟仿真 .5 52.12.1 简谐振动方程的求解简谐振动方程的求解.5 52.22.2 简谐振动模型的仿真研究简谐振动模型的仿真研究 .5 52.2.12.2.1 基本模型的建立基本模型的建立 .5 52.2.22.2.2 速度、加速度的监测速度、加速度的监测 .7 72.2.32.2.3 动能、势能、机械能监测动能、势

3、能、机械能监测 .8 82.32.3 简谐振动的图像分析简谐振动的图像分析.9 93 3 阻阻尼尼振动方程的求解和仿真模拟振动方程的求解和仿真模拟 .11113.13.1 弹簧振子做阻尼振动方程的求解弹簧振子做阻尼振动方程的求解.11113.23.2 弹簧振子做阻尼振动的模拟仿真研究弹簧振子做阻尼振动的模拟仿真研究.11113.33.3 阻尼振动的图像分析阻尼振动的图像分析.14144 4 受迫振动的方受迫振动的方程程的求解和仿真模拟的求解和仿真模拟 .16164.14.1 弹簧振子做受迫振动方程的求解弹簧振子做受迫振动方程的求解.16164.24.2 弹簧振子做受迫振动的仿真模拟研究弹簧振子

4、做受迫振动的仿真模拟研究.17174.2.14.2.1 策动力频率策动力频率时弹簧振子的受迫振动仿真模拟时弹簧振子的受迫振动仿真模拟.171704.2.24.2.2 策动力频率策动力频率时弹簧振子受迫振动的仿真模拟时弹簧振子受迫振动的仿真模拟.20200 辽宁工程技术大学课程设计i4.2.34.2.3 策动力频率策动力频率时弹簧振子的仿真模拟时弹簧振子的仿真模拟.222204.34.3 受迫振动的图像分析受迫振动的图像分析.23235 5 几点补充说明与仿真模拟中问题分析几点补充说明与仿真模拟中问题分析 .25255.15.1 物理振动模型建立的补充说明物理振动模型建立的补充说明.25255.

5、25.2 方程求解中的补充说明方程求解中的补充说明 .25255.35.3 仿真模拟中的问题分析仿真模拟中的问题分析 .25256 6 结语结语 .2727参考文献参考文献.2828MATLABMATLAB程序程序 .2929 辽宁工程技术大学课程设计ii摘 要机械振动主要有简谐振动，阻尼振动，受迫振动三种。对三种振动建立模型，列出振动方程，再对三种振动给定初始条件，就可以利用 Matlab Simulink 功能对三种振动进行仿真模拟，得出振动的位移，速度，加速度，动能，势能，机械能随时间的变化关系图像。另外，我们对振动方程求解，得出振子位移关于时间的函数，再分别对其求一阶、二阶导数，就可以

6、得出速度、加速度函数，再经过简单运算就可以得到动能、势能、机械能函数。我们再通过分析函数来分析其图像，再对比仿真模拟出的图像，就可以确定我们的仿真研究方法的可信度。关键词关键词：简谐振动；阻尼振动；受迫振动；共振 辽宁工程技术大学课程设计iiiAbstractThe mechanical vibration mainly includes three kinds of vibrations: the simple harmonic oscillator, the pure damping vibration and the forced damping vibration. According

7、 to the three vibrations, we can build models for them, list the vibration equations. After giving the initial conditions, we can carry out analog simulations to test the three vibrations by using Matlab Simulink functions, and obtain the images of vibration displacement, velocity, acceleration, kin

8、etic energy, potential energy, mechanical energy variation over time. In addition, we come to the function of oscillator displacement over time after we seek the solution of equations. And then we can gain the derivatives of their first order and second order respectively, so we can draw functions o

9、f speed and acceleration. Furthermore, we can get the functions of kinetic energy, potential energy, mechanical energy by a simple operation. Let us analyze the images by analyzing the functions, and then we make a comparison between the images of analog simulations and them. Finally, we can determi

10、ne the credibility of the simulation methodology. Keywords: Simple harmonic oscillator; Damping vibration; Forced vibration; Resonance 辽宁工程技术大学课程设计11 引言机械振动的仿真原理1.1 Matlab Simulink 功能简述Simulink 是基于 Matlab 的框图设计环境，可以用来对各种动态系统进行建模、分析和仿真，它的建模范围广泛，可以针对任何能用数学来描述的系统进行建模，例如航空航天动力学系统、卫星控制制导系统、通信系统、船舶及汽车等，其中

11、包括了连续、离散，条件执行，事件驱动，单速率、多速率和混杂系统等。Simulink 提供了利用鼠标拖放的方法来建立系统框图模型的图形界面，而且还提供了丰富的功能块以及不同的专业模块集合，利用 Simulink 几乎可以做到不书写一行代码即完成整个动态系统的建模工作。除此之外，Simulink 还支持 Stateflow，用来仿真事件驱动过程。Simulink 是从底层开发的一个完整的仿真环境和图形界面，是模块化了的编程工具，它把 Matlab 的许多功能都设计成一个个直观的功能模块，把需要的功能模块用连线连起来就可以实现需要的仿真功能了。也可以根据自己的需要设计自己的功能模块，Simulink

12、 功能强大，界面友好，是一种很不错的仿真工具1。1.2 机械振动的物理模型物理学中的机械振动主要分为简谐振动、阻尼振动、受迫振动三种。下面我们根据这三种类型的振动建立物理模型来分别研究。1.2.1 简谐振动的物理模型OAAxF图图 1弹簧振子做简谐振动物理实验模型弹簧振子做简谐振动物理实验模型如上图所示，弹簧振子在附近做简O 辽宁工程技术大学课程设计2谐振动。已知弹簧振子质量为，所受合力为，弹簧劲度系数为，则有：mFk。又由牛顿第二定律有：Fkx (1)22d xFmamdt于是可以得到： (2)220d xkxdtm令，则可得： (mk22220d xxdt3)方程(3)的解即为弹簧振子在时

13、刻 时的振动位移，一阶导数即为弹簧振子在时xtx刻 时振动速度，其二阶导数即为弹簧振子在时刻 时的加速度。txt1.2.2 阻尼振动的物理模型如图 1，若弹簧振子在 x 轴上受到粘滞阻尼的作用力，则弹簧振子做阻尼的振动。设弹簧振子受到的阻尼力为： (4)dxfvdt 式中 为阻尼系数，与物体的形状以及周围性质有关。弹簧振子受到的弹力为，则对弹簧振子，有牛顿第二定律有：Fkx (5)22ddddxxmkxtt 整理后得： (6)22ddddxkxxtmmt 令，则有：20km2nm (7)2202dd20ddxxnxtt这就是阻尼振动的振动方程。其解即为弹簧振子在时刻 t 时的振动位移，一阶导x

14、数即为弹簧振子在时刻 t 时振动速度，其二阶导数即为弹簧振子在时刻 t 时的加速度。x x 辽宁工程技术大学课程设计31.2.3 受迫振动的物理模型如图 2，弹簧振子在附近做阻尼振动。已知弹簧振子质量为,弹簧劲度系数为。Omk平行于轴的平面对弹簧振子有阻尼力的作用。对弹簧振子施加一外加激励力,设x( )f t，则称为谐激励力，其中为外施激励频率，t 是持续时间。 对弹簧振0( )sinf tFt子受力分析，其所受弹力为：。由于阻尼振动是振幅(或能量)随时间不断减Fkx 少的振动。能量减少的原因是有粘滞阻尼和辐射阻尼。为方便，均视为粘滞阻尼。则弹簧( )f tF弹fmxo图图 2弹簧振子在外加激

15、励力作用下做阻尼受迫振动弹簧振子在外加激励力作用下做阻尼受迫振动振子所受阻尼力为： (8)dxfvdt 式中 为阻尼系数，与物体的形状以及周围性质有关。则对弹簧振子，由牛顿第二定律有： (9)202sind xdxmkxFtdtdt 对(9)式变形可得: (10)202sinFd xkdxxtdtmm dtm 令，为固有频率，为阻尼因数，则(10)可变为：00,2,Fknhmmm0n (11)22022sind xdxnxhtdtdt方程(11)的解就是时刻 时弹簧振子的t 辽宁工程技术大学课程设计4位移，其一阶导数即为弹簧振子在时刻 时振动速度，其二阶导数即为弹簧振子在时xtx刻 时的加速度

16、2。t我们记为相对阻尼系数或阻尼比。根据阻尼对系统振动的影响，振动响应分0/n为弱阻尼(1)、强阻尼(1)和临界阻尼(=1)三种情况，这里仅讨论弱阻尼的情况。1.3 Matlab Simulink 仿真原理简述在得到弹簧振子的简谐振动、阻尼振动和受迫振动方程后，通过这三个方程，我们可以用高等数学的方法求出这三个方程的通解。同时，我们可以用 Matlab 的计算功能求出它们的通解。这三个方程的通解表示振子位移随时间的变化情况。我们得到的这三个方程，前两个为二阶常系数线性齐次微分方程，第三个为二阶常系数非齐次微分方程。根据这三个方程，我们可以通过 Matlab Simulink 中的各种模块模拟弹

17、簧振子的位移、速度、加速度，再添加一个平方模块，设置好系数，就可以模拟振子动能、势能、机械能，用线连接各模块，这样流程图就做好了。设置好各模块的参数后，再设置好系统环境变量，点击运行，通过示波器模块就可以模拟出相应的图像曲线3。图像的横坐标均表示时间，纵坐标相应为位移、速度、加速度、动能、势能、机械能。图像表示这些物理量随时间变化关系。通过这三种情况方程的通解，我们可以分析振子位移随时间变化情况，再和模拟出的图像对比分析。对方程通解求一阶导，就可以得到振子速度随时间变化关系，分析出速度随时间变化情况，再和模拟出的图像对比分析。同样我们可以求出方程通解的二阶导数，这就是振子加速度随时间变化关系，

18、分析函数特征，再和模拟出的函数图像对比分析，就可以分析模拟出的图像是否正确，及其与理论符合情况。 辽宁工程技术大学课程设计52 简谐振动方程的解及其模拟仿真 2.1 简谐振动方程的求解这里，我们设系统初始条件为s 时，。通过高等数学方法0t 04mx 00m/sv 解这个齐次微分方程可得： (12)221212cossincos()cos()xCtCtCCtAt式中。则速度表达式为:，将初始条件222121tan,CACCC sin()vxAt 代入(12)式，可得： (13)4cos()xt这就是满足初始条件的简谐振动方程的解。由(13)式我们可以得出弹簧振子位移随时间的变化情况。振子周期为

19、。时，振子位移正向最大位移出，即图 1 中2T0st 的 A 位置，此时振子速度为 0，加速度最大；经，振子向负方向运动到平衡位置，此4T时振子速度最大，加速度为 0；再经，振子继续向负方向运动到负的最大位移处，此4T时速度为 0，加速度最大；再经过，振子向正向运动到平衡位置，此时速度最大，加4T速度为 0；最后经过，振子回到初始位置，即正的最大位移处，完成一个周期的振动。4T通过 matlab7.0 符号运算，可以得出该微分方程的解，相关程序见附录程序 1。2.2 简谐振动模型的仿真研究2.2.1 基本模型的建立我们设系统的固有频率，则。于是(3)式变为：10.5s2200.5s。打开Sim

20、ulink Library Browser，选择新建按钮，根据所需要模拟220.50d xxdt的运动方程选取模块，其中包括Subtract、Intergrator、Gain以及Scope模块，需要注意的 辽宁工程技术大学课程设计6是将Subtract模块中的List of signs改为-，以便让前面的符号为负，为了使前的系xx数为0.5，将Gainl中的值设为0.5，速度项系数Gain设为0。设置位移模块的初始值为4，速度模块的初始值设为0，加速度模块的初始值设为0。这样，几个关键模块的属性就根据方程的需要设置好了。(1)运用Gain1将和0.5相乘。x(2)运用Subtract使前面的符

21、号为负。x(3)运用Intergrator将积分为，将积分为。xxxxScope为示波器输出模块。最后，将各个模块按照方程的需要逐一连接，如图3所示4。 图图 3简谐振动位移仿真模拟流程图简谐振动位移仿真模拟流程图 图图 4简谐振动位移仿真模拟图像简谐振动位移仿真模拟图像单击右键，选择Configuration 辽宁工程技术大学课程设计7Parameters设置系统的运行环境，初始运行时间设为0s，停止时间取为80 s,最大步长设为0.1，初始步长设为0.01，设好后，点击OK。再点击图3“Scope”输出模块得到振子位移仿真曲线如图4所示。图中横坐标表示时间，单位为 ，纵坐标表示位移，单位为

22、。sm2.2.2 速度、加速度的监测要得到速度与加速度的实时振动曲线只需要在图3的基础上加入两个Scope模块，如图5所示。图图 5弹簧振子速度、加速度仿真模拟流程图弹簧振子速度、加速度仿真模拟流程图运行 Scope1 得到弹簧振子速度图像，如图 6 所示。图中横坐标表示时间，单位为 ，s纵坐标表示振子速度，单位为。m/s 图图 6弹簧振子速度仿真模拟图像弹簧振子速度仿真模拟图像 图图 7弹簧振子加速度仿真模拟图像弹簧振子加速度仿真模拟图像 辽宁工程技术大学课程设计8运行Scope2，就得到弹簧振子加速度监测图像，如图7所示。图中横坐标表示时间，单位为 ，纵坐标表示振子加速度，单位为。s2m/

23、s2.2.3 动能、势能、机械能监测系统动能、势能、机械能的定义如下： (14)212kEmv (15)212pEkx (16)pktEEE根据动能与势能的公式在原有的简谐振动模拟流程图中加入Product模块(实现和2x运算)和增益模块Gain以及Sum模块将两输入信号进行叠加便可将动能与势能及机械2v能波形输出出来。先对各个模块名进行编辑，设置好字体大小，再进行各个模块的属性设定。前面我们已经设定了的系数即Gain1参数为0.5，即：，这里，我们取x0.5k m ,则。我们由此可得到动能中速度的平方项系数，即Gain21kgm 0.5N/mk 20.5m参数为0.5；势能中平方项系数,即G

24、ain3的参数为0.25。最后用仿真信号线将x20.25k各个模块连接起来，如下图8所示5。图图8简谐振动弹簧振子动能、势能、机械能流程图简谐振动弹簧振子动能、势能、机械能流程图单击运行后，点击“”输出模块得到总能量曲线，点击“”输出模块得到动tEkE 辽宁工程技术大学课程设计9能曲线，点击“”输出模块得到势能曲线如图9，图10，图11所示,图中横坐标代表pE时间，单位为s，纵坐标分别代表动能、势能、机械能，单位为J。 辽宁工程技术大学课程设计10 图图 9简谐振动弹簧振子动能图像简谐振动弹簧振子动能图像 图图 10简谐振动弹簧振子势能图像简谐振动弹簧振子势能图像图图 11简谐振动弹簧振子机械

25、能图像简谐振动弹簧振子机械能图像2.3 简谐振动的图像分析由简谐振动方程的解(13）式知：位移随时间的变化关系为余弦函数。即：。由初始条件知其振幅，初始位移为。周期4cos()xt4mA 4m。正如图 4 所示。这就是弹簧振子做简谐振动的位移随时间的变228.88s0.5T化关系。我们对(13)式求一阶导数，有： (17)4 sin()4 0.5sin( 0.5)2.83sin( 0.5)xttt 辽宁工程技术大学课程设计11这就是弹簧振子的速度随时间变化的关系。它的图像是正弦函数图像，周期为。根据初始条件，其初始速度为 0，正如图 6 所示。理论与图像228.88s0.5T相符合。我们再对(

26、13)式求二阶导数，有： (18)24cos()2sin( 0.5)xtt 这就是弹簧振子加速度随时间变化关系。它的图像是余弦函数，周期仍为。根据初始条件，其初始加速度为，正如图 7 所示。理论228.88s0.5T22m/s与图像是相符合的。我们将(14)式与(17)式联合，可以得到振子动能随时间变化关系如下： (19)2214sin ( 0.5)2kEmxt其图像是将正弦函数负半轴部分沿 轴对折上去后得到的。很容易看出上式必为非t负，故图像在时间轴上方。其周期变为原来周期的一半，即：。由4.44s0.5T于初始时刻速度为 0，故初始动能为 0，正如图 9 所示。理论与图像是相符合的。同理，

27、我们将(15)式与(13)式联合，可以得到弹簧振子势能随时间变化关系如下： (20)2214cos ( 0.5)2pEkxt由上式可知，振子势能图像是将余弦函数负半轴部分沿 轴对折上去得到的，上式t比为非负，图像在时间轴上方。其周期与动能周期一样，均为 4.44s。由初始条件知，其初始势能最大，为 4J，如图 10 所示。可见，理论与图像是相符合的。我们将(19)式和(20)式相加，就可以得到振子的机械能为：J。其图4tkpEEE像为平行于时间轴的一条直线，该直线在纵轴上的截距为 4J，如图 10 所示。图像与理论是符合的。我们得出振子的机械能为一定值。从能量角度分析，做简谐振动的振子只受弹力

28、作用，系统机械能守恒。 辽宁工程技术大学课程设计123 阻尼振动方程的求解和仿真模拟3.1 弹簧振子做阻尼振动方程的求解方程(7)是齐次方程。其特征方程为： (21)22020n这里我们只讨论相对阻尼系数(或阻尼比)的情况，即为弱阻尼振动。于01n是可以求得特征根为： (22)2210nin (23)2220nin 于是我们可以得到方程(7)的齐次方程通解为： (24)22221020( )cos)sinntx teCn tCn t我们用也可以用 Matlab 的数学计算功能编写程序求解方程(7)，相关程序见附录程序 2。3.2 弹簧振子做阻尼振动的模拟仿真研究如图 1 所示，我们假设有粘滞阻

29、尼力时，k=43.8N/m,，18.2kgm -11.49N/(ms )，=1.5513。由此我们可计算得到：10.0819N/(ms kg)2nm0-1s，。与简谐振动的仿真模拟流程图类似，只是的120.1638N/(ms kg)n202.4065-2sx系数不再为 0，而应是 0.1638。的系数为 2.4065。初始条件设为，x004m,0m/sxv连接好个模块后，如图 12 所示：图图 12做阻尼振动的弹簧振子仿真模拟流程图做阻尼振动的弹簧振子仿真模拟流程图 辽宁工程技术大学课程设计13弹簧振子的位移，速度，加速度仿真模拟图像分别如图 13、14、15 所示，图中横坐标表示时间，单位为

30、 ，纵坐标分别表示位移、速度、加速度，单位分别为sm、m/s、m/s2。图图 13弹簧振子做阻尼振动的位移仿真图像弹簧振子做阻尼振动的位移仿真图像 图图 14弹簧振子做阻尼振动的速度仿真图像弹簧振子做阻尼振动的速度仿真图像 图图 15弹簧振子做阻尼振动的加速度仿真图像弹簧振子做阻尼振动的加速度仿真图像类似于简谐振动的能量仿真模拟流程图，只需修改相关系数即可得出弹簧振子做阻尼振动的动能、势能、机械能模拟图像。动能表达式中速度平方项的系数为，即 Gain4 的 Gain 值设为 9.1；势能表达式中位移平方项的系数10.5 18.29.12m ，即 Gain3 中 Gain 值设为 21.9。其流

31、程图如图 16 所示，动能、10.5 43.821.92K 辽宁工程技术大学课程设计14势能、机械能分别如图 17、18、19 所示。图中横坐标均表示时间，单位为 ，纵坐标分s别表示动能、势能、机械能，单位均为 J。图图 16弹簧振子做阻尼振动的能量仿真模拟流程弹簧振子做阻尼振动的能量仿真模拟流程 图图 17阻尼振动的动能仿真模拟图像阻尼振动的动能仿真模拟图像 图图 18阻尼振动的势能仿真图像阻尼振动的势能仿真图像图图 19阻尼振动的机械能仿真模拟图像阻尼振动的机械能仿真模拟图像 辽宁工程技术大学课程设计153.3 阻尼振动的图像分析 根据图像模拟过程，我们已知的条件有：k=43.8N/m，1

32、8.2kgm ，=1.5513，-11.49N/(ms )10.0819N/(ms kg)2nm0-1s120.1638N/(ms kg)n，。202.4065-2s004m,0m/sxv阻尼振动方程的解即(24)式是振子位移随时间变化关系。我们将它稍作变形为： (25)2222221200( )cos()cos()ntntx teCCn tAen t式中：，。上式可以分为两部分，第一部分为，表征阻2212ACC21tanCC ntAe尼振动振子的振幅；第二部分为，表示阻尼振动位移随时间呈余弦函220cos()n t数变化。很显然，第一部分是随时间逐渐减小的，这说明振子的振幅在逐渐减小。由初始

33、条件可知：振子初始位移为。振子的位移变化周期为。由4m22024.054sTn于振子振幅随时间增大逐渐减小，因此初始位移为最大位移。以后，随时间增大振子的振幅逐渐减小。这与阻尼振动的概念是相符的。图 13 表示阻尼振动的位移随时间变化的图像，这与理论是相符的。我们再对(25)式求一阶导数，有： (26)2200( )sin()ntvx tAen t 式中，。上式表示振子速度随时间变化关系。与振子02200arctannn 位移与时间关系类似，(26)式也可以分为两部分。第一部分为，表征振子速度0ntAe极值；第二部分为，表征振子速度随时间呈正弦函数变化。我们容易220sin()n t看出，第一

34、部分的绝对值是随时间变化逐渐减小的，即速度大小的极值是随时间逐渐减小的。由初始条件知，其初速度为 0。由第二部分可知，振子的周期为。如图 14 所示，这就是振子做阻尼振动的速度随时间变化的图22024.054sTn像，图像与理论是相符合的。我们将(26)式再对时间求一阶导数，就可以得到振子加速度随时间变化关系为： (27)22200( )cos()ntax tAen t 辽宁工程技术大学课程设计16式中，。同样可以将(27)式分为两部分。第一部分为，表征加速度0220ntAe的极值情况；第二部分为，表征振子加速度随时间呈余弦函数。容220cos()n t易看出，第一部分的绝对值随时间增大逐渐减

35、小，即加速度大小的极值是逐渐减小的。初始时刻，其加速度大小的极值为最大值。从第二部分可以看出，其周期仍为。图 15 是我们模拟出的振子加速度随时间变化图像，这与理论22024.054sTn是相符合的。由于振子做阻尼振动的位移，速度的极值均随时间的增大而减小的，故其势能，动能，机械能的极值亦随时间增大而减小。一定时间后，它们都趋于 0。分别如图17、18、19 所示。我们从能量角度来分析振子的机械能。振子的弹力做功不改变其机械能，但振子所受的阻尼力一直做负功，所以振子的机械能不断减小，最后为 0。 辽宁工程技术大学课程设计174 受迫振动的方程的求解和仿真模拟4.1 弹簧振子做受迫振动方程的求解

36、方程(11)是非齐次方程，其齐次方程的解即为(20)式。现在我们来求方程(11)的一个特解。我们假设其有如下形式的特解： (28)*( )cossinxtAtBt代入方程(7)，比较左右两边系数，可得如下两个方程： (29)220()20AnB (30)220()2BnAh联立(13)、(14)式，可解得： (31)222202(2)()n hAn (32)22022220()(2)()hBn于是我们可以得到受迫振动的振幅，即为：0 x (33)22022220(2)()hxABn将其代入(12)式，我们可以得到方程(7)的一个特解： (34)*22220( )cos()(2)()hxttn其

37、中： (35)220tan2arcn结合(11)式和(18)式，于是我们得到方程(7)的通解： (36)2222102022220( )cos()sin()cos()(2)()nthx teCn tCn ttn这样，我们就求出了弹簧振子做受迫振动的方程的解。我们也可以通过 Matlab 编写程序来求得方程(11)的解，相关程序见附录程序 3。 辽宁工程技术大学课程设计184.2 弹簧振子做受迫振动的仿真模拟研究4.2.1 策动力频率时弹簧振子的受迫振动仿真模拟 0()基本模型的建立及位移、速度、加速度的仿真模拟 如图 2 所示，已知k=43.8N/m,，h 为一常数，固有频18.2kgm -1

38、1.49N/(ms )10.0819N/(ms kg)2nm率=1.5513。由此我们可计算得到：，。我们0-1s120.1638N/(ms kg)n202.4065-2s设初始条件为。20000m,0m/s,0m/sxva打开 Matlab Simulink 功能模块，新建一个 Model 文件，向其中添加模块。用 Math Operations 模块库下的 Substract 模块模拟弹簧振子的加速度，在其属性面板中的 List of signs 中设置为“+-” ；用连续型模块库 Continuous 下的积分模块 Integrator 模拟弹簧振子的速度和位置，其初始值均设置为 0；用

39、输入信号源模块库 Sources 下的正弦模块Sine Wave 模拟策动力，在其属性面板中设置 Sine type 为 Time based，振幅( )f tAmplitude 设为 1，策动频率 Frequency 设为 1，其余设为默认值；用 Math Operations 模块库下的 Gain 模块模拟速度、位移、策动力函数前面的系数，在速度系数的 Gain 模块属性面板中设置其 Gain 值为 0.1638，在位移系数的 Gain1 模块的属性面板中设置其Gain 值为 2.4066，在策动力模块前面的系数 Gain2 模块属性面板中设置其 Gain 值为1；用接收模块库 Sinks

40、 下的示波器模块 Scope 模块模拟输出信号。这样各个模块建立好了，其相应属性页设置好了，最后，用线把各个模块连接起来，如图 20 所示6。单击运行按钮，再双击各示波器模块，就可以得到弹簧振子相应的的位移、速度、加速度图像，分别如图 21、22、23 所示。图中横坐标均表示时间，单位为 s，纵坐标分别为位移、速度、加速度，单位分别为 m、m/s、m/s2。 辽宁工程技术大学课程设计19 图图 20做有阻尼的受迫振动的弹簧振子仿真模拟流程图做有阻尼的受迫振动的弹簧振子仿真模拟流程图 辽宁工程技术大学课程设计20 图图 21受迫振动的位移仿真模拟图像受迫振动的位移仿真模拟图像() 图图 22受迫

41、振动的速度仿真模拟图像受迫振动的速度仿真模拟图像()-11s-11s图图 23受迫振动的加速度仿真模拟图像受迫振动的加速度仿真模拟图像()-11s()弹簧振子的动能、势能、机械能仿真模拟和简谐振动弹簧振子的动能、势能、机械能模拟类似。首先写出弹簧振子做受迫振动的动能、势能、机械能表达式： (37)221122kEmvmx (38)212pEKx (39)tkpEEE根据动能与势能的公式在原有的受迫振动模拟流程图中加入 Product 模块(实现和2x运算)和增益模块 Gain 以及 Sum 模块将两输入信号进行叠加便可将动能与势能及机2v械能波形输出出来。新添加的模块和其属性设置如下： 辽宁工

42、程技术大学课程设计211、在 Math Operations 模块库下添加两个 Product 模块，设置其 Number of inputs属性为 2。2、在 Math Operations 模块库下添加两个增益模块 Gain3、Gain4，分别代表位移平方项和速度平方项前的系数。由(23)式知，动能表达式中速度平方项的系数为，即 Gain4 的 Gain 值设为 9.1。由(24)式知，势能表达式中位移平方10.5 18.29.12m 项的系数，即 Gain3 中 Gain 值设为 21.9。10.5 43.821.92K 3、在 Math Operations 模块库下添加 Sum 模块

43、，用以求动能、势能的和，从而模拟机械能。设置其 Icon shape 属性为 rectangular，List of signs 设为“+”。4、在 Sinks 模块库下再添加 3 个示波器 Scope 模块，用以模拟动能、势能、机械能图像7。其他模块不变，各自属性也不改变。添加好模块后，用线连接起来，如图 17 所示。图图 24弹簧振子做受迫振动的动能、势能、机械能模拟流程图弹簧振子做受迫振动的动能、势能、机械能模拟流程图在空白处单击右键，选择 Configuration Parameters 设置其运行环境。起始时间设为默认值 0，终止时间设为 80，设好后，点击 Ok 按钮，单击运行，再

44、双击动能、势能、机械能的示波器模块，分别得到的模拟图像如图 25、图 26、图 27 所示。图中横坐标均表示时间，纵坐标分别表示动能、势能、机械能。单位为国际制单位。 辽宁工程技术大学课程设计22 图图 25受迫振动的动能仿真模拟图像受迫振动的动能仿真模拟图像() 图图 26受迫振动的势能仿真模拟图像受迫振动的势能仿真模拟图像()-11s-11s图图 27受迫振动的机械能仿真模拟图像受迫振动的机械能仿真模拟图像() 图图 28受迫振动的位移仿真图像受迫振动的位移仿真图像()-11s-115s4.2.2 策动力频率时弹簧振子受迫振动的仿真模拟0系统固有频率，前面时，我们取的是的情况。时，-101

45、.5513s0-11s0我们取。系统模块和各模块属性与前面情况一样。只有 Sine Wave 模块的属性-115s中，将 Frequency 的值改为 15 即可。当时，弹簧振子振动的位移、速度、加速-115s度、动能、势能、机械能随时间变化的仿真模拟图像分别如图 28、29、30、31、32、33所示8。图中横坐标均代表时间，单位是 s，纵坐标分别代表位移、速度、加速度、动能、势能、机械能，单位分别对应为 m、m/s、m/s2，能量单位均为 J。 辽宁工程技术大学课程设计23 图图 29受迫振动的速度仿真模拟图受迫振动的速度仿真模拟图() 图图 30受迫振动的加速度仿真模拟图受迫振动的加速度

46、仿真模拟图()-115s-115s 图图 31受迫振动的动能仿真模拟图受迫振动的动能仿真模拟图() 图图 32受迫振动的势能仿真模拟图受迫振动的势能仿真模拟图()-115s-115s图图 33受迫振动的机械能仿真模拟图受迫振动的机械能仿真模拟图()-115s 辽宁工程技术大学课程设计244.2.3 策动力频率时弹簧振子的仿真模拟0当策动力频率，得到的受迫振动仿真模拟图像分别如图-101.5513s34、35、36、37、38、39 所示9。 图图 34受迫振动的位移仿真图像受迫振动的位移仿真图像() 图图 35受迫振动的速度仿真图像受迫振动的速度仿真图像()00 图图 36受迫振动的加速度仿真

47、图像受迫振动的加速度仿真图像() 图图 37受迫振动的动能仿真图像受迫振动的动能仿真图像()00 辽宁工程技术大学课程设计25图图 38受迫振动的势能仿真图像受迫振动的势能仿真图像() 图图 39受迫振动的机械能仿真图像受迫振动的机械能仿真图像()004.3 受迫振动的图像分析受迫振动方程的解即(36)式可以变形为： (40)222212022220( )cos()cos()(2)()nthx teCCn ttn令，则(40)式可变为：2212ACC2210n*22220(2)()hhn (41)*1( )cos()cos()ntx tAetht这个解可以分为两部分，第一部分我们称为阻尼振动，

48、记为：。第二部分我们称为稳定的振动，记为：。我1( )1cos()nttxAet*2( )cos()txht们很容易看出，第一部分与我们前面讨论的阻尼振动方程的解的表达式类似，第二部分与我们前面讨论过的简谐振动的方程的解类似。受迫振动正是这两种振动的合作用。前面我们已经知道，一定时间后，阻尼振动的位移趋于 0，这时，振子只剩下稳定振动了，其振幅趋于不变。我们分别对(41)式求一阶导数、二阶导数，就可以算出振子做受迫振动的速度、加速度随时间变化情况。分别如下： (42)*( )01sin()sin()nttvxAetht (43) 2*201( )cos()cos()ntax tAetht 与(

49、41)式类似，可将上二式分成两部分，第一部分代表阻尼振动，第二部分代表稳定振动（或简谐振动） 。在受迫振动的三种情况下，我们可以看出图像稳定前都有一定波动，这些波动是由于(41)式第一部分的阻尼振动引起的，当这部分消减趋于 0 后，就仅剩下第二部分简谐振动了，这时振动稳定，相应图像呈三角函数变化。在 条件下，图 21、22、23 分别表示该条件下振子的位移、速度、加速度随-11s时间的变化情况。图像中未稳定之前的情况是阻尼振动和简谐振动两种振动叠加的结果。当它们振动相位同步时，出现极值情况。随着时间的增大，阻尼振动的影响逐渐趋于0，这时只剩下简谐振动，振动稳定。同样，由于稳定前，受迫振动是阻尼

50、振动和简谐振动的合运动，故振子动能、势能、机械能图像稳定前有波动。另一方面，由于系统固有频率与策动力频率相差不大，振子按固有频率振动和按策动力频率振动力量配合默契，所以振子振动稳定前振幅较大，但我们比 辽宁工程技术大学课程设计26较三种情况可知，此时，振子振幅不是最大的。在条件下，图 28、29、30 分别表示该条件下振子的位移、速度、加速度随-115s时间的变化情况。从图像我们可以看出，振子的振幅非常小，几乎为 0。位移随时间变化图像类似于阻尼振动位移时间图像。其速度的极值也很小，只有零点几，稳定后，其改变非常快，周期很小。其加速度极值比较稳定，改变非常快，周期很小。其动能、势能极值变化与速

51、度、位移极值变化是相应的，能量都很小。这是因为受迫力的频率与系统固有频率相差很大的缘故。物体的固有频率在振动过程中也起着很大的作用，如果0驱动力的频率与物体的固有频率相差较大(策动力频率偏离系统固有频率-115s较大)，虽说物体仍不得不按驱动力的频率做受迫振动，但是物体本身按固-101.5513s有频率振动的力量仍“顽强”地与驱动力进行着“抵抗” ，结果导致物体实际振动的振幅很小。在的条件下，图 34、35、36 分别表示该条件下振子的位移、速度、-101.5513s加速度随时间变化的关系。由位移图像，我们可以知道，在条件下，-101.5513s弹簧振子的振幅有最大值，稳定后其振幅最大。这是因

52、为当驱动力的频率恰好等于弹簧振子的固有频率时，弹簧振子按固有频率振动的力量与按策动力频率振动的力量不0仅没有互相削弱，反而“配合默契”，结果物体振动的振幅就大大提高，这就是共振现象。也可以从能量积累的观点解释共振现象的原因，当物体的固有频率和驱动力频率相同时，使得驱动力若与物体按固有频率的振动同相位，驱动力时时刻刻都对物体做正功，从而使物体能量达到最大的稳定状态，形成共振 9。其速度、加速度在稳定后的极值为最大值。相应的动能、势能、机械能也在稳定后取得最大值。 辽宁工程技术大学课程设计275 几点补充说明与仿真模拟中问题分析5.1 物理振动模型建立的补充说明 我们首先建立的是做简谐振动的弹簧振

53、子模型，这里就不再补充。关键是做阻尼振动的物理模型，我们是在简谐振动模型的基础上考虑了有粘滞阻尼的振动模型。这里，同样没有外加激励力。当然，我们也可以去掉第三个物理模型中的外加激励力，这样，这个模型也是阻尼振动模型。第三个受迫振动模型中我们加的外加激励力是正弦函数，如果加的是余弦函数，对应的方程的解也就不一样了。5.2 方程求解中的补充说明在简谐振动方程的求解中，为方便起见，我们先设定了简谐振动的初始条件即时，即振子初始位置为正方向最大位移处。我们又设了系统0ts004m,0m/sxv的固有频率，将这些已知条件代入方程中进行求解和模拟。简谐振动方程是2-20.5s二阶线性齐次微分方程，只需用简

54、单微分方程解法就可解出，我们就不再多述。用Matlab 编写程序求解可以帮助我们检验计算结果。在阻尼振动求解中，其方程与简谐振动的方程都是二阶齐次线性微分方程，所不同的是未知数的一阶导数系数不再为 0。它的解的形式也比较简单，很容易解出它的通解。在求有阻尼的受迫振动方程的解时，我们先求的是齐次方程的通解，即是阻尼振动下的通解。然后比较困难的是求受迫振动方程的一个特解。我们采用试取法，先设定其特解形式，再代入原方程求出相关系数，就可得到特解。这是微分方程中常用的一种解法。当然，求特解的方法还有很多，比如利用指数求解，虚数求解等等，我们这里就不再详述。这样，几种物理振动的振动方程的解我们就解出来了。5.3 仿真模拟中的问题分析在初次进行仿真模拟时，有图像过尖的问题，经过反复实验，查找资料，终于发现这是步长设置的问题。将最大仿真步长设为 0.1；初始仿真步长为 0.01；绝对误差改为1e-6，这样就能得到与实际更接近的仿真 辽宁工程技术大学课程设计28图像10。在建立模块时，一定要弄清楚各个模块所代表的含义，设置好相应模块的属性值。比如增益模块代表的是未知量各阶导数前面的系数。另外还要注意设置好环境参量，起始运行时间是 0，终止时间是 80s，这是我们选取的，也可以任意选取，只要时间长度足够表现出各物理量的变化