二元方程组解法初探

1、4 / 27 文档可自由编辑打印 学士学位论文学士学位论文Bachelors Thesis论文题目二元方程组解法初探作者姓名李丽华学号200811所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称余盛利 副教授论文答辩时间2012 年 5 月 5 日编号 2012110229研究类型理论研究 分类号 O12文档可自由编辑打印学士学位论文诚信承诺书中文题目： 二元方程组解法初探外文题目：Probing into Two Element Equations Solution学生姓名李丽华学生学号29院系专业数学与统计学院（数学与应用数学专业）学生班级0802学学 生生 承承 诺诺我承诺在学

2、士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）：年 月 日指导教师承诺指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 年 月 日文档可自由编辑打印目 录1前言 .12消去法 .12.1代入法 .22.2四则法 .42.3等值法 .63分解法

3、.64代换法 .94.1. 皆为对称方程的方程组 .94.2含有倒数关系的方程组 .104.3有理代换 .104.4代数代换 .115二元二次方程组的解法 .125.1第一类方程组 .125.2第二类方程组 .136结语 .20参考文献 .21文档可自由编辑打印二元方程组解法初探李丽华（指导教师，余盛利 副教授）（湖北师范学院数学与统计学院学院 中国 黄石 435002）摘要：方程组不仅在解决数学问题中有举足轻重的作用，而且在其他很多自然学科中都有用武之地，如物理学、化学、生物学等,甚至在生产劳动实践中也有广泛应用。总之，方程所能解决的问题的范围扩大了，因此方程组的解法也变得系统化，多种多样化

4、。方程式的解法是中学代数科的主要内容之一，本文讨论了方程组的“消去法、分解法、代换法”三种解法。紧接着讨论了中学最重要的二元二次方程组的解法以及它的几何意义。关键词：方程组；消去法；分解法；代换法中图分类号：O12 Probing into Two Element Equations SolutionLi Lihua （Tutor：Yu Shengli）(College of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi ,Hubei,435002)Abstract : Equations not only in sol

5、ving mathematical problems play a decisive role , but also in many other disciplines in the natural have play, such as physics, chemistry, biology, even in the production of labor practice also has wide application. In short, the equation can solve the problem of range expansion. so the equations be

6、come systematic, variety diversification. Equation solution is one of the main contents of middle school algebra section.this paper focuses on the discussion of equations elimination method, decomposition method, substitution method three kinds of solution,followed by discussion of the most importan

7、t the binary quadratic equations of the secondary schools and its geometrical meaning. Keywords : Equations; Elimination method; Decomposition method; Substitution method1 / 27 文档可自由编辑打印二元方程组解法初探李丽华（指导教师，余盛利 副教授）（湖北师范学院数学与统计学院学院 中国 黄石 435002）1前言明确解方程组的总方向：化复杂的方程组为简单的方程组，化未知的方程组为已会求解的方程组。解各种方程组应遵循的具体

8、方向和常见的方法：（1）多元高次方程组：逐步化为若干个与之同解的低次方程组例如:；一次方程一次方程一次方程可化为：和二次方程一次方程一次方程二次方程一次方程一次方程可化为：和二次方程二次方程二次方程常用的方法是消去法，分解法，代换法。（2）无理方程组、分式方程组：化为有理整式方程组。将分式方程组化为有理整式方程组常见的方法是去分母；将无理方程组化为有理整式方程组常见的方法是方程两边同乘方或代换法。（3）指数、对数、三角等超越方程组：化为代数方程。常见的方法是两边变为同底的幂；两边变为同底的对数；两边取对数；化为同名三角函数。但上述这些方法中最常用的，最有用的，最富技巧性的则是：消去法、分解法、

9、代换法三种。下面分述这三种方法（以下皆以二元方程组为例子展开解释） 。2消去法为了消去方程组中某种未知数，或某一部分含有几种未知数的式子时常用消去法。解方程组时常用的消去方法又有下述的代入法、四则法，等值法。2 / 27 文档可自由编辑打印2.1代入法2.1.1一般代入法从一个方程中将一个未知数用其余未知数的代数式表示出来，然后代入其他方程中，就达到消去此种未知数的目的。但用这种方法时，应注意尽可能使表示式不为分式或无理式 。例 1 解方程组 2229lglg2.5lg 9xyxy解：由得： 9yx 将代入得： 2229lglg2.5lg 9xx 222lg(lg9lg )2.5lg 9xx

10、即2222lglg 92lg9 lglg2.5lg 9xxx 即224lg4lg9 lg3lg 90 xx(2lglg9)(2lg3lg9)0 xx或2lglg9x 2lg =3lg9x则或（且）219x 239x 0 x 0y 或13x 27将值代入得：或x27y 13故原方程组的解为， 1327xy2713xy2.1.2联合代入法从一个方程中，将一部分代数式用另一部分代数式表示，然后代入另一的方程，以便一并消去一部分未知数的代数式。3 / 27 文档可自由编辑打印例 2 解方程组 33816xxyyxyxy解：由得： 16xyxy将代入得；3 1638xxyy于是，有：1631654xyx

11、y即：2(16)316540 xyxy(166)(169)0 xyxy又160 xy1690 xy则上面的方程化为： 即166xy1636xy 20 xy 将代入得：36xy 2036xyxy 解之得：，218xy182xy用此法须在两个方程中都含有同一个代数式的条件方可，而此时用此法非常简便。2.1.3辅助代入法设定一个辅助未知数，将方程中有关的未知数用此辅助未知数的代数式表示，然后把一方程变换的结果代入另一方程，从而求出辅助未知数 ，使方程组得解。方程组中在给定了各未知数之比的关系时，常采用这种方法。4 / 27 文档可自由编辑打印例 3 解方程组 222232353225xxyyxxyy

12、 解：设 xky将代入、得： 2235kky32 2225kky32由得： 2235kkyy （320）将代入得：223525kkkk3232(32)(1)75(2)(1)kkkk 1k 7=kk 22（3）5 即k16 =2432k=将值代入得： 即k2=4y2y 将值代入得：ky、3x 故原方程组的解为，32xy32xy 2.2四则法2.2.1 加减法这种方法是将各个方程各乘上一个适当的数，然后这些方程相加减，达到消去某些项的目的，从而使方程组得解。在代数方程组中用加减法消去项，经常是为了由此达到降低次数或未知数个数的具体目的。5 / 27 文档可自由编辑打印例 4 解方程组 22622x

13、yxyxyxy 【解题方向】 消去二次项：项xy 解： 2542xy 425yx将代入得：424222655yyyy 24140yy或74y 2y 将值代入得：或y1x 2x 故原方程组的解为， 174xy 22xy2.2.2乘除法将各个方程互相适当乘除，可消去某些未知数或含有某些未知数的代数式，达到消去某些未知数或降次的目的。当各个方程含有未知数的共同因式时常用此法。例 5 解方程组： 120353yxxyxxyy【解题方向】两方程的左边各提取因式，时，另一个因式都是。故两方程相1xx1yy除或相乘皆可达到减少未知数的目的。 6 / 27 文档可自由编辑打印解：由得: 11203yxy 由得

14、： 153x yy得： 即25313204x 12x 将值代入得：x1103yy 231030yy即3110yy或13y 3y 故原方程组的解为，1213xy1213xy 123xy123xy 2.3等值法 此法为从两个方程中求出同一种未知数的表达式，则此表达式相等，于是即消去一种未知数。但此法经常用于解二元一次方程组，故这里不多赘述。3分解法分解法是将高次方程组化为与其同解的几个低次方程组的最常用的一种方法。使用这种方法可解的方程组应具有的条件是：方程组中的至少有一个方程可以分解为两个以上因式乘积而且乘积等于零的形式；或者由原方程组中的几个方程适当结合后可以导出上述那样的方程来。使用这种方法

15、须要有较高的分解因式能力，善于洞察可分解的特点。以下举出几种常见的用分解法解方程组的情况：可用分组分解法解方程组的例子7 / 27 文档可自由编辑打印例 6 解方程组 2202xyyxyxy 解：由得：y xyxy()+()=0()(1)0 xyy或202xyxy2102yxy用代入法解之得： ， 22xy 11xy 31xy 31xy 可按二次三项式分解法解方程组的例子：例 7 解方程组 2223+2+ +64xxyyx yxyy 【解题方向】 把 6 移到左边，把含有的项及常数项结合在一起，按的降幂排列y6x后，左边成为关于的二次三项式，而右边为 0；如左边可分解，则本题可采用分x解法。

16、解：由得：22yyyxx3 -1+(2+ -6)=02232yyxyx31=02320 xyxy xy 23或 2xy将代入得：2340yy或4y18 / 27 文档可自由编辑打印将代入得：或y5x 5由得： ()4y xy将代入得：2y 将值代入得：y4x 故原方程组的解为， 54xy51xy 42xy可由几个结合导出一个可分解的方程，然后用分解法解方程组的例子 例 8 解方程组 222232302230 xxyyxxxyyx 【解题方向】 这两个方程的特点是：一次项（项）的系数与常数项都分别是绝对x值相同，符号相反。两式相加所得的新方程的左边为二次齐次而右边为 0 故采用分解法。解：22x

17、xyy：252=0(2)(2 )0 xy xy 2yx 2xy将代入得：12xi 将的值代入得：x2 12yi（）将代入得：2430yy，3y1y 将的值代入得：y6,2xx故原方程组的解为9 / 27 文档可自由编辑打印， 122(12 )xiyi 122(12 )xiyi 63xy21xy4代换法 如果方程中只有某一种（或几种）含有未知数的表达式时，则可先求出这种（这几种）表达式的值，然后通过表达式求未知数的值。这种解方程组的方法叫代换法。例如在一些超越方程组中常常先求出如的值，然后通过它们再求的值。,lg ,sinxaxxx以下举出几种常见的用代换法解方程组的情况：4.1皆为对称方程的方

18、程组例 9 解方程组 22727xxyyxyxy【解题方向】 皆化为由与表达的形式，先求出与的值。xyxyxyxy 解：由得： 237xyxy（）由得： 27xyxy（）2+ 3:23350 xyxy2025xyxy7 2xy7=0 5xy =将代入得：47xy 将得代入得：xy=6，2707xyxy456xyxy10 / 27 文档可自由编辑打印解之得：， 1( 721)41( 721)4yx 1( 721)41( 721)4yx 23xy32xy 4.2含有倒数关系的方程组例 10 解方程组 225217xyyxxy 解：设，则=xAy1=yxA将化为：152+=AA 即22520AA(2

19、1)(2)0AA或 即或12A2A14=xy=4xy 4yx或 4xy将代入得： 21717x 1x 将值代入得：x4y 将代入得： 即21717y 1y 将值代入得：y4x = 故原方程组的解为 ，14xy14xy 41xy41xy 4.3有理代换 先求出某些根式的值例 11 解方程组11 / 27 文档可自由编辑打印 12+215xyxy 解：设，则+2= ,1xAyB 22+2=1=xAyB，式变为 22+=13AB式变为： 22+=5AB将 2AB： =6由、得：=2=3,32BBAA即：，+2=41=9xy+2=91=4xy ，210yx75xy经验算是方程组的解4.4代数代换 先求

20、出某些超越表达式的值例 12 解方程组 221000lg() lg()2xyxyxy 解：由得：3()()=10yyxx两边取对数： lg()+lg()3xyxy由、得：，lg()=2lg()1xyxylg()=1lg()2xyxy， =10010 xyxy =10100 xyxy , 5545xy5545xy 12 / 27 文档可自由编辑打印5二元二次方程组的解法 二元二次方程组有两种类型。第一种类型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程所组成；第二种类型是由两个二元二次方程所组成。第一类方程组较简单，有一般求解方法可循，而第二类方程组复杂得多。5.1第一类方程组第一类方程组的求解，一般可

21、以用代入法。即在一次方程中，以一个未知数表示另一个未知数，然后代入二次方程，得到一个只含一个未知数的二次方程。于是，一个未知数可解出，进而求另一个未知数，使方程组得解。这个求解过程可表达如下：22111111222+E y00AxB xyC yD xFA xB yC22111111222+E y0yAxB xyC yD xFBCxA 22222222111111222222yyy()()()+E y0yBCBCBCAByC yDFAAABCxA 上列方程组的第一方程，是只含未知数的二次方程，因而即可求得，然后回yy代第二个方程，求出相应的.x 上面的求解过程中，先是用表示.自然，也可以先用表示

22、：yxxy，然后代入第一个方程。对具体的方程，计算并不这么复杂。222A xCyB 例 13 解方程组 22253425xyxy 解：由得： 2543xy 将代入得：22254+253yy（） 整理得： 即 2-8160yy2(4)0y4y 将值代入得：yx=313 / 27 文档可自由编辑打印故原方程组的解为34xy 上述的第一类方程组的实数解有如下的四种情况：一组解，二组解，无解，无穷多个解。而且，从上述求解可以看出，原方程组的实数解的组数，是与原方程组运用代入法后得到的一元二次方程的根的判别式有关。如果结合方程组的几何意义，对此更可以有直观的解释。我们知道，在平面直角坐标系内，二元一次方

23、程表示一条直线，二元二次方程表示一条二次曲线。于是，求第一类二元二次方程组的实数解的问题，即为求直线与二次曲线的交点问题。直线与二次曲线的各种不同的相对位置，就能反映出方程组解的各种不同情况。5.2第二类方程组第二类方程组常可表示成下面的形式：2211111122222222E0E0AxB xyC yD xyFA xB xyC yD xyF它可归结到解一个一元四次方程。具体消元过程如下：2211111122222222+E0+E0AxB xyC yD xyFA xB xyC yD xyF221111112222221111+E0()()0AxB xyC yD xyFAA xB xyFAxB x

24、yFA（这里假定.若，则交换原方程组两个方程的位置，即得下面形状的方10A 1=0A程组） 22111111222222+E0+E0AxB xyC yD xyFB xyC yD xyF22111111222222+E0+EAxB xyC yD xyFC yyFxB yD 14 / 27 文档可自由编辑打印22222222222222111111222222222222+E+E+E()()+E0+EC yyFC yyFC yyFAByC yDyFB yDB yDB yDC yyFxB yD 上列方程组的第一个方程可化为只含未知数的四次方程。它可用代数方法解出y，回代到第二类方程组，即得原方程的解

25、。y 上列的消元过程，是对一般的第二类方程组而言的。自然，有些特殊的第二类方程组，与第一类方程组一样，它们的解法可以归结为接一个一元二次方程，这就是所谓第二类方程组的可解情形。这种可解情形大致可分为四类。下面按分类进行讨论。由于未知数和的低位是对称的，因此讨论中关于未知数而言结果，关于未知数xyx而言也相应成立。y）经过加减消元可直接得到一个一元二次方程这类方程组中，两个方程含(或含)各项的系数必须成比例，即方程呈下列形式：yx 2211111122222111+E0(+E)0AxB xyC yD xyFA xD xFk B xyC yy例 14 解方程组 222263+213702610 x

26、xyyyxxyyy （本例两个方程中，含的项的系数成比例）x 解：，得的二次方程3y 255100yy 即或220yy2y 1y 将代入方程，整理得=2y 22290 xx 1172ix 将代入方程，整理得= 1y 即22+60 xx322,xx 15 / 27 文档可自由编辑打印 故原方程组有四组解 ，11722ixy11722ixy21xy 321xy ）经加减消元，可得一个二元一次方程这类方程组中，两个方程的二次项系数必成比例，即方程呈下列形式： 2211111122111222+E0()+E0AxB xyC yD xyFk AxB xyC yD xyF例 15 解方程组 2224220

27、3630 xxyxyxxyxy 解：，消去二次项，得32 960 xy4 9342xy 将代入，并整理得 即93228yy20142,9yy 将的值代入得y =3, =2xx故原方程组的解为=2=3,1429 xxyy）原方程组有（或经加减消元可得）一个能变形成两个一次式乘积等于零的二元二次方程（1）原方程组有一个二元二次方程能变形成两个一次式乘积等于零的二元二次方程，它的一般形式即是 22111111111222+E0(+b)(+b)0AxB xyC yD xyFa xyca xyc16 / 27 文档可自由编辑打印 它可转化为两个第一类方程组，即：22111111111+E0+b0AxB

28、xyC yD xyFa xyc及 22111111222+E0+b0A xB xyC yD xyFa xyc（2）经加减消元可得一个能变形成两个一次式乘积等于零的二元二次方程。这种情况较为复杂。下面两种形式是这种类型中常见的： 22111111222221110()0AxB xyC yD xE yFA xB xyC yK D xE yF 2211111122222110 +E y+K()=0AxB xyC yD xE yFB xyC yAxD xF对方程组，可消去一次项和常数项，而得 22333=0A xB xyC y若中有一个为 0，则它的左端可分解为两个一次式乘积；否则将它视为的二元33A

29、C、x方程，在时，有233340BAC2333334=2BBACxyA于是方程组即可转化为两个第一类方程组。 对方程组，可消去不含的项，而得， y23330B xyC yE y即 333()0y B xC yE因此方程组（）也可转化为两个第一类方程组。例 16 解方程组 22+2+2340324xxyyxxyyy 解：，得+2 23880 xyxy（2 ）（2 ）17 / 27 文档可自由编辑打印 即+=xyxy+211+280 故原方程组同解于下列两个第一类方程组： ，2+=0324xyxyyy+21128=0324xyxyyy+2 由前者得 ，4919xy 173xy 由后者得，2 3xy

30、88xy 故原方程组的四组解，4919xy 173xy 2 3xy88xy 例 17 解方程组 222223+2145xxyyxxyy （本例无一次项，可以认为是属于方程组的形式） 解：，消去常数项，得14 15 xxyy224+2924=0 xyxy4 -3+8=0 于是原方程组转化两个第一类方程组： ，22=05 xyxxyy4322=05xyxxyy+8 解之，可得原方程组的四组解： ，3 4xy34xy 811111xy 811111xy 例 18 解方程组18 / 27 文档可自由编辑打印 222+-+203630 xxy yx yxxyxy （本例不含的项的系数成比例，属于方程组的

31、形式）x 解：得：2 23+10 =0 xxyx (3 +10)=0 x xy 于是原方程组转化为两个第一类方程组： 220+20 xxxyyx y 223 +100+20 xyxxyyx y 解之，可得原方程组的四组解： ，=02xy=01xy =24xy26=112811 xy ）经过换元，可将方程组转化第一类方程组或前面三种可解形式 解这类方程组需要仔细观察方程组的特点，适当换元，以便收到事半功倍的效果。常用换元有，等。uaxbyvcxy下面两种形式是这种类型中常见的： 221111112222222200AxB xyC yD xD yFA xB xyC yD xD yF 这两种方程有这

32、样的特点：项的系数相等，、项系数也相等或仅差一22yx 、xy个“-”号。因此，如果用，换元，即可把它们成可解情形：uxyvxy 2111112212222020AuBA vDuFA uBA vD uF例 19 解方程组19 / 27 文档可自由编辑打印 2222373441405135121260 xxyyxyxxyyxy 解：令，则原方程组变为+ux yvxy 2234140531260uvuuvu ，消去一次项，即得3 24360u 33u 或 进而代入得：v 1或25 因此，原方程组转化成下列两个方程组 ，31 xyxy 325xyxy 于是，解两个一元一次方程：和tt2-3 -1=0

33、 tt2+3 -25=0 即得原方程组的四组解： ， 3+ 1323132xy3132 3+ 132xy3+ 1092 31092xy 31092 3+ 1092xy 从几何意义来说，解第二类方程组，就是在平面直角坐标系中求两条二次曲线交点问题。这样，第二类方程组的组数的讨论也可以与图像联系起来。两条二次曲线可能不相交，相交一点，相交两点，相交三点，相交四点。因而方程组可能无解、有一组解、有两组解、有三组解和有四组解。 在非常特殊的情况下，即在方程组两个二次方程所代表的二次曲线重合或者退化成两条直线，且一个方程中的一条直线与另一方程中的一条直线与另一方程中的一条直线重合的情况下，第二类方程组也

34、可能有无穷多组解。6结 语解方程组的主要方法就是以上三种方法：消去法、分解法、代换法。方程组在中20 / 27 文档可自由编辑打印学数学中是个很重要的知识点，它与代数中其它知识联系也比较紧密。以方程为知识的背景，穿插不等式内容，常用于解决综合应用性问题，要使方程和不等式很好地相互利用，是解决此类问题的关键。为了研究事物的变化规律，研究的是函数，函数与方程关系十分密切，函数与方程可比作两个亲密的战友，谁有困难，另个就勇敢的站出来帮助他。方程和几何更是好朋友，方程成了解决几何问题必不可少的代数工具。几何中的图形可以用某种方程来表示，而方程的解又可以形象、直观地反映为对应图象上的点。近年来的一些综合性很强、难度也较大的高考中考题（压轴题） ，往往涉及到以方程为知识背景，结合几何内容来解决此类问题。方程不仅在数学领域中有重要地位，它还涉及于其它很多自然科学领域中。虽然中学代数中的方程是方程界中一个很小的起点，但这是基础，是很小的一块落脚石，方程就是从这里起步。因此应该把它掌握得牢固些，把它的解法学得透彻些，为今后学习更多、更广泛的方程知识而打下坚实的根基。参考文献1 G波利亚 著,涂泓 冯承天 译.怎样解题M.上海:上海科技教育出版社,2002.2 王得福 朱维纶.方程组的解法和应用M.第二版.吉林:吉林人民出版社，1978 :1-34.3 李大元 武成章.代数方程组M.上海